隨機(jī)變量及其分布律

1、主要內(nèi)容（主要內(nèi)容（1.5學(xué)時(shí)）學(xué)時(shí)）一、離散型隨機(jī)變量的分布律；一、離散型隨機(jī)變量的分布律；二、二、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 ;三、分布函數(shù)三、分布函數(shù) 第二節(jié)第二節(jié) 隨機(jī)變量及其分布函數(shù)隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 一、離散型隨機(jī)變量的分布律一、離散型隨機(jī)變量的分布律kkX(k1,2,.,), (k1,2,.,), xp k k設(shè)設(shè) 為為離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量, , 則則X X的的及及取取各各個(gè)個(gè)可可能能所所有有可可能能取取值值P P X X= =值值的的概概率率稱(chēng)稱(chēng)為為離離散散x x型型X X的的分分布布律律. .k; b.(1) .=pk kk k兩兩個(gè)個(gè)a a. .所所有有可可能能取

2、取值值x x取取各各值值的的概概率率P P X X= =x x要要素素: : 說(shuō)明：說(shuō)明：kkkk=1a. p0 (k=1,2,.) (2) p b. : p 1 滿(mǎn)滿(mǎn)足足兩兩個(gè)個(gè)條條件件k(3) : p (k=1,2,.).k k分分布布律律表表示示方方法法 a a. . ( (列列出出所所有有可可能能取取值值x x 及及其其概概率率列列舉舉法法kbp(k=1,2,.).k k. . ( (列列出出X X取取一一般般項(xiàng)項(xiàng)x x 的的概概率率計(jì)計(jì)算算公公式式公公式式法法X kp12kx x . x . 12kp p . p . k (k1,2,.p,) k kP P X X= =x xc. .

3、 線(xiàn)線(xiàn)條條圖圖，概概圖圖示示法法率率直直方方圖圖例例1 1( (P P3 33 3) ) 一一批批產(chǎn)產(chǎn)品品的的廢廢品品率率為為5 5% %，從從中中任任意意抽抽取取一一個(gè)個(gè)進(jìn)進(jìn)行行檢檢驗(yàn)驗(yàn)，用用隨隨即即變變量量 來(lái)來(lái)描描述述廢廢品品出出現(xiàn)現(xiàn)的的情情況況。寫(xiě)寫(xiě)出出 的的分分布布。 解解: : 隨隨機(jī)機(jī)變變量量X X取取值值范范圍圍0 0, ,1 1. .= =0 0表表示示產(chǎn)產(chǎn)品品為為不不合合格格品品= =1 1表表示示產(chǎn)產(chǎn)品品為為合合格格品品 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的概概率率值值01 P P( () )= =9 95 5% %P P( () )= =5 5% % 0 1P 95% 5% 0-1分布（伯努里

4、分布）分布（伯努里分布） 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X取值兩個(gè)：取值兩個(gè)：0、1，P(X=1)=p，則分布律為：，則分布律為：X 0 1P(X=k) 1-p p列表法：列表法：公式法：公式法：1(1) (k=0,1)kkP Xkpp舉例：舉例：（1 1）隨機(jī)抽取醫(yī)院一產(chǎn)嬰是否為男嬰。）隨機(jī)抽取醫(yī)院一產(chǎn)嬰是否為男嬰。（2 2）工廠隨機(jī)抽取一產(chǎn)品是否合格。）工廠隨機(jī)抽取一產(chǎn)品是否合格。（3 3）擲骰子一次是否出現(xiàn)）擲骰子一次是否出現(xiàn)6 6點(diǎn)。點(diǎn)。110 ee,6)X=X(e)=1 ee, 6) ( (女女?huà)雼? ,不不合合格格 非非 點(diǎn)點(diǎn) ( (男男嬰嬰, ,合合格格點(diǎn)點(diǎn)二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布（1 1）n n重伯

5、努里試驗(yàn)重伯努里試驗(yàn)：A A, , A A隨隨機(jī)機(jī)試試驗(yàn)驗(yàn) 的的結(jié)結(jié)果果只只有有兩兩個(gè)個(gè): : , , 則則稱(chēng)稱(chēng)試試驗(yàn)驗(yàn)E E為為伯伯努努里里試試驗(yàn)驗(yàn). .E地地進(jìn)進(jìn)行行n n次次伯伯努努里里試試n n獨(dú)獨(dú)立立重重復(fù)復(fù)重重伯伯努努驗(yàn)驗(yàn)E, E, 里里試試驗(yàn)驗(yàn). .X X為為n n次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中A A發(fā)發(fā)生生的的次次數(shù)數(shù)中中, , 每每次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中事事件件A A發(fā)發(fā)生生的的概概率率, , 記記, , 則則X X所所服服從從的的分分布布稱(chēng)稱(chēng)為為二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布. .表表示示n n重重伯伯努努里里試試驗(yàn)驗(yàn)P P( (A A) )= =p pX Xb b( (為為: : n n, ,p p) )

6、（2 2）二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 例例 設(shè)射手每次擊中目標(biāo)的概率設(shè)射手每次擊中目標(biāo)的概率p=0.75, 且各次射擊相互獨(dú)立。且各次射擊相互獨(dú)立?，F(xiàn)共射擊現(xiàn)共射擊4次，以次，以X表示擊中目標(biāo)的次數(shù)。表示擊中目標(biāo)的次數(shù)。（1）寫(xiě)出）寫(xiě)出X的分布律；的分布律；（2）求恰擊中）求恰擊中3次的概率；（次的概率；（3）求至少擊中）求至少擊中2次的概率。次的概率。4410 750 250 1 2 3 4( ) ()( .) ( .) (, , , , )kkkPXkCk 334 34230 750 25( ) ()( .) ( .)=0.422PXC X X的的可可能能取取值值有有: :0 0, ,1 1, ,2

7、 2, ,3 3, ,4 4. .X Xb b( (2 2, , 顯顯然然, , 0 0. .7 75 5) ): , .A 解解定定義義擊擊中中目目標(biāo)標(biāo)伯伯努努利利試試驗(yàn)驗(yàn)3212( ) ()()P XP X 101()()PXPX 4114 1410 250 750 25( .)( .) ( .)=0.949C 例例 某人每次射擊命中率為某人每次射擊命中率為0.02，獨(dú)立射擊，獨(dú)立射擊400次，試求至次，試求至少擊中兩次的概率。少擊中兩次的概率。解解: 400重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。設(shè)重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。設(shè)X表示表示400次射擊中的擊中次數(shù)次射擊中的擊中次數(shù)顯然顯然, X b (400, 0.02)4

8、004000 020 98()( .) ( .) k=0,1,2,.,400 kkkP XkC4004000 020 98( .) ( .) 4 40 00 0k k= =2 2所所求求概概率率為為: : P P( (X X2 2) )= =kkkC01 1 1- -P P( (X X) )- -P P( (P P2 2) )= =X X( (X X) )40039910 98400 0 02 0 980 997.* .* . 啟示：?jiǎn)⑹荆阂淮卧囼?yàn)中概率很小，但在大量重復(fù)試驗(yàn)中幾乎必然發(fā)生一次試驗(yàn)中概率很小，但在大量重復(fù)試驗(yàn)中幾乎必然發(fā)生幾何分布幾何分布X X為為事事件件A A首首次次發(fā)發(fā)生生

9、時(shí)時(shí)已已試試驗(yàn)驗(yàn)的的次次數(shù)數(shù)伯伯努努里里試試驗(yàn)驗(yàn)中中, , 事事件件A A發(fā)發(fā)生生的的概概率率P P( (A A) )= =p p. . 記記, , 則則X X服服從從幾幾何何分分X X布布. . G G記記作作: : e e( (p p) )特點(diǎn)：特點(diǎn)：kk-1-1=P(A.A A) =P(A).PPX=k(1-p)p(A)= 1,2,. k(1)(1)某產(chǎn)品不合格率某產(chǎn)品不合格率0.10.1，則首次查到不合格品的檢查次數(shù)，則首次查到不合格品的檢查次數(shù)X XGe(0.1).Ge(0.1).即前即前m m次試驗(yàn)中次試驗(yàn)中A A沒(méi)有出現(xiàn)條件下，則在接下來(lái)沒(méi)有出現(xiàn)條件下，則在接下來(lái)n n次試驗(yàn)中次

10、試驗(yàn)中A A仍仍未出現(xiàn)的概率只與未出現(xiàn)的概率只與n n有關(guān)，而以前的有關(guān)，而以前的m m次試驗(yàn)無(wú)關(guān)次試驗(yàn)無(wú)關(guān). .: XGe(p), m,nN, P(Xm +n|Xm)= P(Xn) 設(shè)設(shè)則則對(duì)對(duì)任任憶憶意意無(wú)無(wú)記記性性成成立立分布律：分布律：舉例：舉例：(2)(2)某射手命中率為某射手命中率為0.60.6，則首次擊中目標(biāo)的射擊次數(shù)，則首次擊中目標(biāo)的射擊次數(shù)Y YGe(0.6).Ge(0.6).(3)(3)同時(shí)擲兩骰子，則點(diǎn)數(shù)之和首次為同時(shí)擲兩骰子，則點(diǎn)數(shù)之和首次為8 8點(diǎn)的投擲數(shù)點(diǎn)的投擲數(shù)Z ZGe(5/36).Ge(5/36).超幾何分布超幾何分布 X X為為其其中中的的次次品品數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)N

11、 N個(gè)個(gè)產(chǎn)產(chǎn)品品中中有有M M個(gè)個(gè)次次品品, , 從從中中不不放放回回地地隨隨機(jī)機(jī)任任取取n n個(gè)個(gè), ,設(shè)設(shè). .則則稱(chēng)稱(chēng)X X服服從從超超幾幾何何分分布布. .記記作作: : X X( (n n, ,) ) N N, ,M Mh分布律：分布律：舉例：舉例：X X的可能取值為的可能取值為0 0，1,2,1,2,，min(n,M)min(n,M)。袋中白球袋中白球5 5個(gè)，黑球個(gè)，黑球1010個(gè)，任取個(gè)，任取3 3個(gè)，其中白球個(gè)數(shù)為個(gè)，其中白球個(gè)數(shù)為X X h(3,15,5) (3,15,5) kn-kMN-MnNCCPX=k= k=0,1,2,.,min(n (C,M )(1) p p二、連

12、續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度二、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 特點(diǎn)：特點(diǎn)：1 1、隨機(jī)變量的取值充滿(mǎn)某個(gè)區(qū)間，不能一一列出。、隨機(jī)變量的取值充滿(mǎn)某個(gè)區(qū)間，不能一一列出。 2 2、隨機(jī)變量取任一值的概率為、隨機(jī)變量取任一值的概率為0 0，即，即P(X=x)=0P(X=x)=0。 用直方圖近似正態(tài)分布的概率密度演示用直方圖近似正態(tài)分布的概率密度演示矩形寬度代表分組個(gè)數(shù)，高度代表落在該區(qū)間樣本的頻率矩形寬度代表分組個(gè)數(shù)，高度代表落在該區(qū)間樣本的頻率高度越大，相應(yīng)區(qū)間的樣本數(shù)越多，分布越密集，反之亦然高度越大，相應(yīng)區(qū)間的樣本數(shù)越多，分布越密集，反之亦然分組越多，則頻率直方圖趨于一光滑曲線(xiàn)：概率密度分組越多，

13、則頻率直方圖趨于一光滑曲線(xiàn)：概率密度例子：例子：1 1、燈泡（電視機(jī)）的壽命；、燈泡（電視機(jī)）的壽命； 2 2、股票的收益率等。、股票的收益率等。背景背景:1、概率密度的定義、概率密度的定義 1. ()0. 2. ()=1. 3. , (), (), : ()(.)bafxfx dxa bRabP aXbfXfxXfxXx dx 設(shè)設(shè)是是隨隨機(jī)機(jī)變變量量, , 如如果果存存在在非非負(fù)負(fù)可可積積函函數(shù)數(shù)滿(mǎn)滿(mǎn)足足則則稱(chēng)稱(chēng)為為連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量, ,稱(chēng)稱(chēng)為為成成的的概概率率密密度度立立說(shuō)明：說(shuō)明：f(x)f(x)、x x軸所圍曲邊梯形面積等于軸所圍曲邊梯形面積等于1 1概率密度定義及性質(zhì)概

14、率密度定義及性質(zhì)(重點(diǎn)重點(diǎn))PaXbPaXb等于等于 f(x)f(x)、x x軸、直線(xiàn)軸、直線(xiàn)x=ax=a、x=bx=b所圍曲邊梯形面積所圍曲邊梯形面積改變改變f(x)f(x)在個(gè)別點(diǎn)的值，不影響在個(gè)別點(diǎn)的值，不影響PaXb的值的值2、概率密度的主要性質(zhì)（重點(diǎn)）、概率密度的主要性質(zhì)（重點(diǎn)） 啟示：概率為啟示：概率為0 0，不一定是不可能事件。，不一定是不可能事件。 , ( )0aRP Xaf x dx a aa a( (1 1) ) 對(duì)對(duì) , )(baabP aXbP aXbP aXbP aXbf x dx ( (2 2) ) 若若則則 ( ), ( )f xxP xXxxf xx (3)(3

15、) 如如果果在在 處處連連續(xù)續(xù) 則則 ( )xxxP xXxxf x dx ( )f xx 均勻分布均勻分布 X X落在落在(a,b)(a,b)任意子區(qū)間的概率只與區(qū)間寬度有關(guān)，與區(qū)間的位置無(wú)關(guān)任意子區(qū)間的概率只與區(qū)間寬度有關(guān)，與區(qū)間的位置無(wú)關(guān)1 axb0 baXf f( (x x) )= =其其設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量具具有有概概率率密密度度則則稱(chēng)稱(chēng)X X服服從從( (a a, ,b b) )的的均均勻勻分分布布, , 記記為為它它X XU U( (a a, ,b b) ) 說(shuō)明：說(shuō)明：1dx+ +- -( (1 1) ) f f( (x x) )滿(mǎn)滿(mǎn)足足: : f f( (x x)

16、 )0 0, , f f( (x x) ) , dRlxba c c+ +l lc c( (2 2) ) 對(duì)對(duì)c c, ,l l如如果果, , f f( (x x則則 ( (c c, ,c c+ +l l) )( (a a, ,b b) )P P( (c c x=1-PXx=1-F(x). ( (3 3) ) 對(duì)對(duì)分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)F(x)可完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律可完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律12122121xx ( R), Pxx =Px -Px =F(x )-F(x )XXX 對(duì)對(duì)3、分、分布函數(shù)的基本性質(zhì)布函數(shù)的基本性質(zhì) F(x)=P(Xx).X 設(shè)設(shè)為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量 的

17、的分分布布函函數(shù)數(shù)0F(x)1xR, . limlim ( (2 2) ) : : 對(duì)對(duì)成成立立并并且且 F F( (- -) )= =F F( (x x) )= =0 0 F F( (+ +) )= =F F( (1 1有有界界= =性性x x) )xx2112 F(x )-F(x )=P(xx )0X 簡(jiǎn)簡(jiǎn)證證: : 1212xx (R), F(x )F(x ).(1) : (1) : 對(duì)對(duì)則則單單調(diào)調(diào)性性00lim F(x)=F(xR, )F(x) 0 00 0( (3 3) ) : : 對(duì)對(duì)右右連連續(xù)續(xù)在在x x 處處右右連連性性續(xù)續(xù), , 即即x xxx注意：這三個(gè)性質(zhì)也是判斷某函數(shù)

18、是否為分布函數(shù)的充要條件注意：這三個(gè)性質(zhì)也是判斷某函數(shù)是否為分布函數(shù)的充要條件: , . limxxXxXx 幾幾何何意意義義時(shí)時(shí)即即4、分、分布函數(shù)的應(yīng)用（重點(diǎn)）布函數(shù)的應(yīng)用（重點(diǎn)）F(x)=P(Xx)X 設(shè)設(shè)為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的分分布布函函數(shù)數(shù), ,對(duì)對(duì)a ab b( (a a, ,b bR R) ) P P( (a a X Xb b) )= =P P( (X Xb b) )- -P P( (X Xa a) )= =F F( (b b) )- -F F( (a a) )iiX P(Xx )p (i=1,2,.) 設(shè)設(shè)離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的分分布布律律為為: : iiiiiix

19、xxxP(XxP(Xx)p xxp F F( (x x) )= =( (滿(mǎn)滿(mǎn)足足的的所所有有之之和和) )11121223n0 x xp xxx(x)pp xxx.1 xx F F., 1 12 2n n假假設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量X X的的所所有有可可能能取取值值從從小小到到大大分分別別為為: : x xx xx x則則, .i ii i 圖圖形形特特點(diǎn)點(diǎn): : ( (1 1) )函函數(shù)數(shù), , . . ( (2 2分分段段連連續(xù)續(xù)階階梯梯形形遞遞增增每每個(gè)個(gè)x x 處處跳跳躍躍 跳跳躍躍度度為為p p右右連連續(xù)續(xù)) )在在 ( (3 3) )左左不不連連續(xù)續(xù). .二、離散型、連續(xù)型二、離散型、

20、連續(xù)型X的分布函數(shù)的分布函數(shù)1、離散型、離散型X的分的分布函數(shù)布函數(shù) 解解: : X X的的所所有有可可能能取取值值為為- -1 1, , 1 1, , 3 3. .0 x -10.4 -1x12 , .0.8 1x31 x3例例隨隨機(jī)機(jī)變變量量X X分分布布函函數(shù)數(shù)F F( (x x) )求求X X分分布布律律 1 F F( (- -1 1- -0 0) )P P( (X X) )= =F F( (- -1 1) )- -= =0 0. .4 4- -0 0= =0 0. .4 4P P( (X X= =1 1) )= =F F( (1 1) )- -F F( (1 1- -0 0) )=

21、=0 0. .8 8- -0 0. .4 4= =0 0. .4 4 ( (2 2) ) P P( (0 0X X4 4) )= =F F( (4 4) )- -= =1 1- -0 0. .F F( (0 0- -0 0) )4 4= =0 0. .6 6 X X= =1 1 X X= =3 3 或或P P( (0 0X X4 4) )= =P P( () )= =0 0. .4 4+ +0 0. .2 2= =0 0. .6 6i i由由此此可可見(jiàn)見(jiàn), , 離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的. .確確定定一一個(gè)個(gè), , 則則另另一一個(gè)個(gè)也也相相應(yīng)應(yīng)確確定定分分布布律律p p 與與分分布布函函數(shù)數(shù)F F( (x x) )一一一一對(duì)對(duì)均均可可表表示示隨隨機(jī)機(jī)試試驗(yàn)驗(yàn)的的統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)應(yīng)應(yīng), ,規(guī)規(guī)律律. . P P( (X X= =3 3) )= =F F( (3 3) )- -F F( (3 3- -0 0) )= =1 1- -0 0. .8 8= =0 0. .2 2X -1