高中數(shù)學 數(shù)學思想在不等式問題中的體現(xiàn)學法指導_第1頁
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高中數(shù)學 數(shù)學思想在不等式問題中的體現(xiàn)學法指導_第3頁
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文檔簡介

1、數(shù)學思想在不等式問題中的體現(xiàn)一、分類討論思想 例1. 已知不等式，（1）求該不等式中x的集合；（2）若1不是不等式的解，0是不等式的解，求k的取值范圍。 解：（1） 當k1時，解集為 當時，解集為 當k1時，解集為 （2） 所以 評注：當一次項系數(shù)為0時，不等式成為兩個常數(shù)比較大小的形式，與x取值無關(guān)。因此，不等式的解集為R（不等式成立時）或（不等式不成立時）。二、轉(zhuǎn)化與化歸思想 例2. 已知a，b，c為正整數(shù)，且，求的值。 解：因為不等式兩邊均為正整數(shù)，所以不等式與不等式等價，這個等價不等式又可轉(zhuǎn)化為。 即a=2，b=3，c=6 評注：將等式與不等式對應等價轉(zhuǎn)化，是轉(zhuǎn)化數(shù)學問題的常用且非常有

2、效的手段。三、換元思想 例3. 解不等式 解：若令則 ，且 不等式化為 即 解得 從而 即 不等式的解集是四、數(shù)形結(jié)合思想 例4. 設a0為常數(shù)，解不等式。 解：不等式轉(zhuǎn)化為 令函數(shù)和 其圖象如圖所示 由 解得（舍去） 兩個函數(shù)圖象的交點為 由圖知，當時，函數(shù)的圖象位于函數(shù)的圖象的上方 不等式的解集是 評注：在不等式的求解過程中，換元法和圖象法是常用的技巧。通過換元，可將較復雜的不等式化歸為較簡單的不等式或基本不等式，通過構(gòu)造函數(shù)，數(shù)形結(jié)合，則可將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關(guān)系。對含有參數(shù)的不等式，運用圖象法，還可以使得分類標準更加明晰。五、方程思想 例5. 已知，求證 分析：結(jié)論可以轉(zhuǎn)化為，恰好是一元二次方程有實根的必要條件。 解：由已知可化為，這表明二次方程有實根，從而需要判別式，即成立。六、構(gòu)造思想 例6. 解不等式 分析：本題若直接將左邊通分采用解高次不等式的思維來做，運算較繁雜。但注意到，且題中出現(xiàn)，啟示我們構(gòu)造函數(shù)去投石問路。 解：將原不等式化為 令 則不等式等價于 在R上為增函數(shù) 原不等式等價于 解得七、整體思想 例7. 已知，且，求的范圍。 解：令 可得 又 可

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