中考沖刺數(shù)學(xué)專題10——幾何計(jì)算問題

1、2011中考沖刺數(shù)學(xué)專題10幾何計(jì)算問題【備考點(diǎn)睛】幾何計(jì)算問題常見的有：求線段的長、求角的度數(shù)，、求圖形的面積等。研究幾何圖形及其和相關(guān)的問題時(shí)，“幾何計(jì)算”具有廣泛的意義：一、幾何圖形的大小及形狀、幾何圖形間的位置關(guān)系，在許多時(shí)候本來就需要運(yùn)用相關(guān)的數(shù)量來表示，無疑地就會(huì)涉及到幾何量的計(jì)算；二、當(dāng)我們注重研究圖形的動(dòng)點(diǎn)問題，圖形的變換及運(yùn)動(dòng)問題，在坐標(biāo)系里研究圖形的一些問題時(shí)，就愈是不可避免地要借助幾何量的計(jì)算；三、那些基于實(shí)際而模型化為幾何圖形的應(yīng)用類問題，更是必須依靠幾何量的計(jì)算來解決。幾何計(jì)算是深入研究圖形性質(zhì)和圖形間關(guān)系的重要手段，是用代數(shù)形式刻劃變動(dòng)中圖形性質(zhì)的主要憑借。也就是說

2、，許多以圖形為基礎(chǔ)的研究性問題，許多幾何與代數(shù)相結(jié)合的問題，許多圖形的變換及其它形式運(yùn)動(dòng)的問題，都是以計(jì)算為基礎(chǔ)，為依據(jù)，為橋梁。因此幾何計(jì)算問題就成了中考中不得不考的一類問題，在填空選擇各類題型中都可以體現(xiàn)，且往往會(huì)多處出現(xiàn)?！窘?jīng)典例題】類型一、用解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行幾何計(jì)算例題1 如圖，在中，。將繞點(diǎn)c逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30得到， 與ab相交于點(diǎn)d。求bd的長。解答：分析：注意到若作于點(diǎn)g，如圖（1）則可得中，dg=bg，同時(shí)在，而cb=1，從而可構(gòu)造關(guān)于bd的方程，求得其值。解：如圖（2），作于點(diǎn)g，設(shè)bd=，中，在中，。即解得。的長為。例題2 如圖，在等腰梯形abcd中，ab/cd，ad=b

3、c，延長ab到e，使be=dc，連結(jié)ce，若于點(diǎn)f，且af平分求的值。abedcfg解答：首先，在中，剩下的任務(wù)就是去求cf和ac之間的數(shù)量關(guān)系，如去求出cf用ac表示的代數(shù)式。為此，去研究相應(yīng)的條件：由abcd為等腰梯形，becd為平行四邊形（be/cd，be=cd），可知：ac=bd=ec；由知 且af平分得是等腰三角形，設(shè)af交bd于點(diǎn)g，則由bg/ec，知,如此一來，當(dāng)然就有。例題3 如圖，把一副三角板如圖（1）放置，其中，斜邊把三角板dce繞點(diǎn)c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15得到如圖（2）， 這時(shí)ab與相交于點(diǎn)，與ab相交于點(diǎn)f。（1）求的度數(shù)；（2）求線段的長；（3）若把三角形繞著點(diǎn)c順時(shí)針再旋轉(zhuǎn)

4、30得到，這時(shí)點(diǎn)b在的內(nèi)部，外部，還是邊上？證明你的判斷。 解答：分析：對(duì)于（1），如圖（3），設(shè)cb與相交于點(diǎn)g，則可通過與內(nèi)角的關(guān)系，求得的值；對(duì)于（2），可先推出，并導(dǎo)出的長；對(duì)于（3），設(shè)直線cb交于，應(yīng)在中計(jì)算出的長，為此為基礎(chǔ)進(jìn)行判斷。解：（1）設(shè)cb與相交于點(diǎn)g，如圖（3），則：acbfog 。（2）連結(jié)，又。在 （3）。（3）點(diǎn)b在內(nèi)部，理由如下：設(shè)bc（或延長線）交于點(diǎn)，在，又，即點(diǎn)b在內(nèi)部。例題4 如圖，兩條寬度都為1的紙條，交叉重疊放在一起，且它們的交角為，則它們重疊（如圖中陰影）部分的面積是（ ）a、 b、 c、 d、解答： 分析：將原問題抽象為圖（2），在菱形abcd

5、中，頂點(diǎn)a到直線cd和直線cb的距離都為1，求菱形abcd的面積。為此，作交cd的延長線于點(diǎn)h，則有其中解：應(yīng)選a。類型二、用兩個(gè)三角形相似關(guān)系進(jìn)行幾何計(jì)算abcdfpeq例題5 如圖，在邊長為8的正方形abcd中，p為ad上一點(diǎn)，且bp的垂直平分線分別交正方形的邊于點(diǎn)e，f，q為垂足，則eq：ef的值是（ ）a、 b、 c、 d、（1）abcdfpeqg解答：分析：容易看出得即。而根據(jù)正方形的性質(zhì)，易知，如圖，把fe平移至cg的位置，由有，解：選c。說明：在本題是將三角形相似、三角形全等結(jié)合起來，分別將線段eq，ef借助bp表示出來，從而算出這兩條線段的比。例題6 已知，三個(gè)邊長分別為2，3

6、，5的正方形如圖排列，則圖中陰影分部的面積為 。235解答：分析：可以用直接法或間接法，但都需要計(jì)算出有關(guān)線段的長，這就需要借助于圖中的直角三角形的相似關(guān)系。解：如圖，則gjafihnedmcb。 說明：正是借助于圖中的相似三角形，使得線段cm，en，從而線段gm，fn的計(jì)算得以落實(shí)。abc例題7 某裝修公司要在如圖所示的五角星圖形中，沿邊每隔20厘米裝一盞閃光燈，若米，則共需要裝閃光燈（ ）a、 100盞 b、 101盞 c、 102盞 d、 103盞解答：分析：研究，由計(jì)算出ab的長來，如圖在中，（正五邊形的外角）=72，作交ac于點(diǎn)d，則ad=bd=bc，abcd又，得：，即，也既解得。

7、燈的盞數(shù)應(yīng)為解：選a。說明：在本題，關(guān)鍵是根據(jù)特定條件，構(gòu)造出。例題8 如圖，在矩形abcd中，ac，bd相交于o，于點(diǎn)e，連結(jié)ed，交oc于點(diǎn)f，作于點(diǎn)g。（1）cg和cb有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說明理由；（2）若想在cb上確定一點(diǎn)h，使，請(qǐng)依據(jù)（1）得出的結(jié)果，說出畫圖的方法（不必說明理由）abcdoegf解答：分析：顯然，圖中有一些相似三角形，比如：（組）；（組）（組）；（組）等。通過分析可知，應(yīng)用到第組，因?yàn)槠渲泻芯€段cg和cb（即與）而其中的cf又包含在第組的三角形中，這樣就有：解：（1）有結(jié)論在和中，由oe/cd，易知，即abcdoegfhm也即。在和中，得（2）應(yīng)這樣確定點(diǎn)h，連結(jié)d

8、g，交co于點(diǎn)m，作于h，則應(yīng)用。說明：在不少情況，需從較多的三角形相似關(guān)系中選取最為直接的能夠?qū)崿F(xiàn)計(jì)算目的的兩對(duì)或幾對(duì)相似三角形，這既需要對(duì)圖形性質(zhì)有深刻的認(rèn)識(shí)，也需要善于對(duì)問題情意及要達(dá)到的目的的進(jìn)行深入分析。例題9 在梯形abcd中，ad/bc，ab=dc=ad=6，點(diǎn)e，f分別在線段ad，dc上，（點(diǎn)e與點(diǎn)a，d不重合）且設(shè)。（1）求的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)為何值時(shí)，有最大值，最大值是多少？aedfcb解答：分析：這是由數(shù)量關(guān)系刻畫幾何量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，或說是幾何與代數(shù)結(jié)合的問題，其解決的依據(jù)就是通過“幾何計(jì)算”。解：（1）在梯形abcd中，ad/bc，ab=dc=ad=6，。的函數(shù)表達(dá)

9、式是；（2）。時(shí)，有最大值，最大值為。說明：象本題這樣的幾何與代數(shù)綜合題，正是以“幾何計(jì)算”作為主要解決工具的?！炯记商釤挕繋缀斡?jì)算的兩種主要方法是：1、借助于解直角三角形；2、借助于三角形的相似關(guān)系。1、善于用解直角三角形的方法完成幾何計(jì)算（1）凡涉及到幾何圖形中量的計(jì)算時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先考慮借助于解直角三角形，而在這許多情況下，就需要恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造出相應(yīng)的直角三角形。（2）在圖形復(fù)合，情況比較復(fù)雜時(shí)為了在直角三角形中完成計(jì)算，還常需要和題目的條件，圖形的其他特征相結(jié)合，通過有關(guān)的性質(zhì)及定理，把一些數(shù)值和數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化到這個(gè)直角三角形中去。2、善于用兩個(gè)三角形相似關(guān)系完成幾何計(jì)算當(dāng)兩個(gè)三角形相似時(shí)，就會(huì)

10、構(gòu)成相關(guān)線段的比例等式，而在比例等式當(dāng)中，若有一條線段是未知的，而其他線段是已知的或是未知線段的代數(shù)式，那么這樣的比例等式就成了未知線段的方程，借此方程求出未知線段，因此，用兩個(gè)三角形之間的相似關(guān)系，也可以實(shí)施與完成許多幾何計(jì)算。（1）要善于選用相似三角形，充分發(fā)揮相似三角形在幾何計(jì)算中的重要作用。（2）要善于構(gòu)造相似三角形，要有借助相似三角形完成幾何計(jì)算的高度意識(shí)。只要充分重視解直角三角形和兩三角形相似的數(shù)學(xué)功能，幾何計(jì)算問題就不是難題，從而能輕松解決更多的綜合型問題！【體驗(yàn)中考】1（2010廣西南寧）如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1，的三邊的大小關(guān)系式：（ ） （a） （b） （c） （d）

11、2（2010廣東湛江）下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（ ）a.1，2，3 b.2，3，4 c.3，4，5 d.4，5，63（2010浙江杭州）如圖，5個(gè)圓的圓心在同一條直線上, 且互相相切，若大圓直徑是12，4個(gè) 小圓大小相等，則這5個(gè)圓的周長的和為（ ） a. 48 b. 24 c. 12 d. 64（2010江蘇無錫）已知圓錐的底面半徑為2cm，母線長為5cm，則圓錐的側(cè)面積是（ ）a20cm2b20cm2c10cm2d5cm2 5（2010云南昆明）如圖，在abc中，ab = ac，ab = 8，bc = 12，分別以ab、ac為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積是（ ）abcd6

12、（2010湖南益陽）如圖，在abc中，abac8，ad是底邊上的高，e為ac中點(diǎn)，則de7（2010 浙江臺(tái)州）如圖，菱形abcd中，ab=2 ，c=60,菱形abcd在直線l上向右作無滑動(dòng)的翻滾，每繞著一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60叫一次操作，則經(jīng)過36次這樣的操作菱形中心o所經(jīng)過的路徑總長為(結(jié)果保留) 8（2010遼寧丹東）已知abc是邊長為1的等腰直角三角形，以rtabc的斜邊ac為直角邊，畫第二個(gè)等腰rtacd，再以rtacd的斜邊ad為直角邊，畫第三個(gè)等腰rtade，依此類推，第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長是 9（2010河南）如圖矩形abcd中,ab=1，ad=.以ad的長為半徑的a交bc邊于點(diǎn)

13、e，則圖中陰影部分的面積為 . 10（2010 浙江溫州）勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣l955年希臘發(fā)行了二枚以勾股圖為背景的郵票所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成，它可以驗(yàn)證勾股定理在右圖的勾股圖中，已知acb=90，bac=30，ab=4作pqr使得r=90，點(diǎn)h在邊qr上，點(diǎn)d，e在邊pr上，點(diǎn)g，f在邊_pq上，那么apqr的周長等于 11（2010福建泉州）如圖，兩同心圓的圓心為，大圓的弦切小圓于，兩圓的半徑分別為和，則弦長= ；若用陰影部分圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的底面半徑為.(結(jié)果保留根號(hào))12（2010四川宜賓）已知，在abc中，a= 45，ac

14、= ，ab= +1，則邊bc的長為 13（2010 福建南安）將一副三角板擺放成如圖所示，圖中 度14（2010 廣西欽州）一個(gè)承重架的結(jié)構(gòu)如圖所示，如果1155，那么2_ _ 15（2010 山東淄博）如圖是由4個(gè)邊長為1的正方形構(gòu)成的“田字格”只用沒有刻度的直尺在這個(gè)“田字格”中最多可以作出長度為的線段_條.16（2010山西）在d是ab的中點(diǎn)，cd=4cm，則ab= cm。17（2010湖北鄂州）如圖，四邊形abcd中，ab=ac=ad，e是cb的中點(diǎn)，ae=ec，bac=3dbc，bd=，則ab= 18（2010 廣西玉林）兩塊完全一樣的含30角的三角板重疊在一起，若繞長直角邊中點(diǎn)m轉(zhuǎn)

15、動(dòng)，使上面一塊的斜邊剛好過下面一塊的直角頂點(diǎn)，如圖6，a，ac10，則此時(shí)兩直角頂點(diǎn)c、間的距離是 。19（2010黑龍江綏化）rtabc中，bac=90，ab=ac=2，以ac為一邊，在abc外部作等腰直角三角形 acd ，則線段bd的長為 。20（2010浙江杭州）如圖，ab = 3ac，bd = 3ae，又bdac，點(diǎn)b，a，e在同一條直線上. (1) 求證：abdcae；(2) 如果ac =bd，ad =bd，設(shè)bd = a，求bc的長. 21. 如圖，是邊長為4的等邊三角形，d為bc邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作de/ca，交ab于點(diǎn)e，于點(diǎn)f，當(dāng)bd的長取什么值時(shí)，可使？aefbdc 22（20

16、10遼寧丹東）如圖，已知在o中，ab=4，ac是o的直徑，acbd于f，a=30（1）求圖中陰影部分的面積；（2）若用陰影扇形obd圍成一個(gè)圓錐側(cè)面，請(qǐng)求出這個(gè)圓錐的底面圓的半徑23（2010浙江杭州）已知直四棱柱的底面是邊長為a的正方形， 高為, 體積為v, 表面積等于s.(1) 當(dāng)a = 2, h = 3時(shí)，分別求v和s；(2) 當(dāng)v = 12，s = 32時(shí)，求的值. acbfe24. 如圖，已知中，點(diǎn)e，f在ab上，設(shè)的面積為。求證：25. （2009年清遠(yuǎn)）如圖，已知是的直徑，過點(diǎn)作弦的平行線，交過點(diǎn)的切線于點(diǎn)，連結(jié)（1）求證：；（2）若，求的長26. （2009濟(jì)寧）如圖，中，.半

17、徑為1的圓的圓心以1個(gè)單位/的速度由點(diǎn)沿方向在上移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為（單位：）.（1）當(dāng)為何值時(shí)，與相切；（2）作交于點(diǎn)，如果和線段交于點(diǎn)，證明：當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形.27（2010四川內(nèi)江）如圖，在rtabc中，c90，點(diǎn)e在斜邊ab上，以ae為直徑的o與bc相切于點(diǎn)d.（1）求證：ad平分bac .（2）若ac3，ae4.求ad的值；求圖中陰影部分的面積.28.（2009廣西欽州）如圖，已知拋物線yx2bxc與坐標(biāo)軸交于a、b、c三點(diǎn)， a點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），過點(diǎn)c的直線yx3與x軸交于點(diǎn)q，點(diǎn)p是線段bc上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過p作phob于點(diǎn)h若pb5t，且0t1（1）填空：點(diǎn)c的坐標(biāo)是_

18、 ，b_ _，c_ _；（2）求線段qh的長（用含t的式子表示）；（3）依點(diǎn)p的變化，是否存在t的值，使以p、h、q為頂點(diǎn)的三角形與coq相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由29（2010 福建南安）如圖，為o的直徑，于點(diǎn)，交o于點(diǎn)，于點(diǎn)（1）試說明abcdbe；（2）當(dāng)a=30，af=時(shí)，求o中劣弧 的長cbaofde30（2010河南）（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖，矩形abcd中，e是ad的中點(diǎn)，將abe沿be折疊后得到gbe，且點(diǎn)g在矩形abcd內(nèi)部小明將bg延長交dc于點(diǎn)f，認(rèn)為gf=df，你同意嗎？說明理由aedbcfg（2）問題解決保持（1）中的條件不變，若dc=2df，求的值；

19、（3）類比探求保持（1）中條件不變，若dc=ndf，求的值31（2010青海） 如圖，正方形abcd的對(duì)角線ac和bd相交于點(diǎn)o，o又是正方形a1b1c1o的一個(gè)頂點(diǎn)，o a1交ab于點(diǎn)e，oc1交bc于點(diǎn)f.（1）求證：aoebof（2）如果兩個(gè)正方形的邊長都為a，那么正方形a1b1c1o繞o點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積等于多少？為什么？答案：1【答案】c 2【答案】c 3【答案】b 4【答案】c5【答案】d 6【答案】47【答案】（8+4）8【答案】9【答案】10【答案】11【答案】12【答案】213【答案】12014【答案】6515【答案】816【答案】817【答案】1218【答案】

20、519【答案】4或或20【答案】(1) bdac，點(diǎn)b，a，e在同一條直線上， dba = cae,又 , abdcae. (2) ab = 3ac = 3bd，ad =2bd ， ad2 + bd2 = 8bd2 + bd2 = 9bd2 =ab2， d =90, 由（1）得 e =d = 90, ae=bd , ec =ad = bd , ab = 3bd ，在rtbce中，bc2 = (ab + ae )2 + ec2 = (3bd +bd )2 + (bd)2 = bd2 = 12a2 , bc =a . 21. 【答案】分析：本題是研究數(shù)量與位置關(guān)系的對(duì)應(yīng)性，可借助“逆向探究”的方法

21、。如圖，假若，則必有從而有。由此求出bd的長，再逆過來予以判定。解：如圖，若則進(jìn)而又有。aefbdc60設(shè)則，又。，解得成立。說明：在本題，雖用了直角三角形一些數(shù)量關(guān)系，但更主要是要借助于三角形相似。22【答案】（1）法一：過o作oeab于e，則ae=ab=2 在rtaeo中，bac=30，cos30=feoa=4 又oa=ob，abo=30boc=60 acbd，cod =boc=60bod=120s陰影=法二：連結(jié)ad acbd，ac是直徑，ac垂直平分bdab=ad，bf=fd， bad=2bac=60，bod=120 fbf=ab=2，sin60=，af=absin60=4=6ob2=

22、bf2+of2即ob=4 s陰影=s圓= f法三：連結(jié)bc ac為o的直徑， abc=90ab=4， a=30， acbd， boc=60， bod=120s陰影=oa2=42=以下同法一（2）設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，則周長為2r， 23【答案】(1) 當(dāng)a = 2, h = 3時(shí)，v = a2h= 12 ; s = 2a2+ 4ah =32. (2) a2h= 12, 2a(a + 2h) =32， , (a + 2h) =,=. 24. 【答案】注意到，就容易發(fā)現(xiàn)有。證明：在和中，得，即。說明：利用相似三角形解決問題，首先就要善于從圖形中找到相似三角形，這就需要對(duì)三角形相似的條件不僅熟悉

23、，且能靈活運(yùn)用。25.【答案】（1）證明：是直徑是的切線，切點(diǎn)為（2）26.【答案】(1)解：當(dāng)在移動(dòng)中與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，連，則.,.(2)證明：，. 當(dāng)時(shí)，.,.，.當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形.27【答案】（1）證明：連接od，則oaod，13； bc是o的切線，odbc.abcdeo123acbc ，odac，23，12，ad平分bac. （2）連結(jié)ed.ae為直徑，adec90,又由（1）知12，adeacd，,ac3，ae4，ad2aeac3412, ad2.在rtade中，cos1,130，aod120，de2.saodsadeadde，s扇形aod.s陰影s扇形aodsaod.28

24、.【答案】（1）（0，3），b，c3（2）由（1），得yx2x3，它與x軸交于a，b兩點(diǎn)，得b（4，0）ob4，又oc3，bc5由題意，得bhpboc，ocobbc345，hphbbp345，pb5t，hb4t，hp3tohobhb44t由yx3與x軸交于點(diǎn)q，得q（4t，0）oq4t當(dāng)h在q、b之間時(shí)，qhohoq（44t）4t48t當(dāng)h在o、q之間時(shí)，qhoqoh4t（44t）8t4綜合，得qh48t；（3）存在t的值，使以p、h、q為頂點(diǎn)的三角形與coq相似當(dāng)h在q、b之間時(shí)，qh48t，若qhpcoq，則qhcohpoq，得，t若phqcoq，則phcohqoq，得，即t22t10t11，t21（舍去）當(dāng)h在o、q之間時(shí)，qh8t4若qhpcoq，則qhcohpoq，得，t若