格林函數(shù)與輸運(yùn)

1、多粒子物理學(xué)讀書(shū)報(bào)告：格林函數(shù)與輸運(yùn)內(nèi)容提要：1概述；2單粒子性質(zhì)的格林函數(shù)表述；3用格林函數(shù)推導(dǎo)遷移率中項(xiàng)1概述1 1金屬中電子輸運(yùn)特性對(duì)于金屬，是輸運(yùn)馳豫時(shí)間，它的物理意義是處在某動(dòng)量本征態(tài)的電子的平均壽命，即時(shí)一個(gè)處于某動(dòng)量本征態(tài)的電子在時(shí)完全失去了對(duì)其原有動(dòng)量的記憶。輸運(yùn)馳豫時(shí)間包括各種相互作用的貢獻(xiàn)主要有雜質(zhì)散射電子-聲子相互作用電子-電子相互作用等等：即輸運(yùn)馳豫時(shí)間由各種機(jī)構(gòu)中最小的決定。絕對(duì)零度時(shí)，純金屬晶體中電子不受散射，具有無(wú)窮大電導(dǎo)。T0時(shí)實(shí)際金屬的電阻是由電子受到雜質(zhì)和晶格振動(dòng)的散射引起的。在室溫時(shí)，典型金屬的電阻率約為10-8.m，隨著溫度降低到室溫以下，電阻近似線性地

2、減小（圖1,see, p.131 in Ref.1），在低溫時(shí)水平地達(dá)到一定值。低溫時(shí)的電阻率與試樣的純度密切相關(guān)，對(duì)于高純度的退火單晶體，約可以達(dá)到室溫電阻率的10-4倍。不純?cè)嚇又械母郊与娮柙谡麄€(gè)溫度范圍內(nèi)近似地與溫度無(wú)關(guān)。這個(gè)事實(shí)叫做馬賽厄司定則（Mathiessen rule，又翻譯為馬提生定則（1862）。這個(gè)附加電阻是由于雜質(zhì)引起的電子散射，在低溫下它構(gòu)成電阻的主要部分。雜質(zhì)散射電阻與溫度無(wú)關(guān)的事實(shí)暗示出可動(dòng)電子的濃度與溫度無(wú)關(guān)，這與半導(dǎo)體中電子濃度與溫度呈指數(shù)函數(shù)關(guān)系大不一樣。聲子散射電阻依賴于溫度，在高溫時(shí)可變得很大。這兩部分電阻具有可加性，因此可分別處理。上述金屬中的雜質(zhì)不含

3、磁性雜質(zhì)。磁性雜質(zhì)的散射將導(dǎo)致低溫下電阻值的對(duì)數(shù)上升，稱為近藤(Kondo)效應(yīng)。1 2半導(dǎo)體輸運(yùn)特性半導(dǎo)體中的散射仍可分為電離雜質(zhì)和晶格振動(dòng)的散射兩大類。晶格振動(dòng)的散射又分為聲學(xué)波和光學(xué)波散射兩種。聲學(xué)波通過(guò)兩種方式散射電子：引起密度變化從而產(chǎn)生形變勢(shì)（聲學(xué)聲子形變勢(shì)散射）；在沒(méi)有反演中心的極性晶體中引起壓電極化（壓電散射,長(zhǎng)聲學(xué)波明顯）。光學(xué)波也通過(guò)兩種方式散射電子：二種不等價(jià)原子之間的相對(duì)移動(dòng)所引起的形變勢(shì)（光學(xué)波形變勢(shì)散射）；在極性晶體中伴隨光學(xué)波的極化所產(chǎn)生的微擾勢(shì)（極性光學(xué)波散射）。后者只有縱光學(xué)波（LO聲子）才產(chǎn)生，橫光學(xué)波不產(chǎn)生。對(duì)于離子性晶體，這時(shí)電子與LO聲子形成極化子（詳

4、見(jiàn)后文）。各種散射機(jī)制中，電離雜質(zhì)散射聲學(xué)聲子形變勢(shì)散射壓電散射中馳豫時(shí)間與電子能量的關(guān)系可統(tǒng)一地寫成2對(duì)于不同的散射機(jī)構(gòu)和r有不同的值。電離雜質(zhì)散射r=3/2；聲學(xué)聲子形變勢(shì)散射r=-1/2；壓電散射r=1/2。光學(xué)聲子形變勢(shì)散射形式比較復(fù)雜，這里略。對(duì)于極性光學(xué)聲子散射不能有馳豫時(shí)間的定義。對(duì)于不同的散射機(jī)構(gòu)，隨溫度的變化關(guān)系不同。電離雜質(zhì)散射；聲學(xué)聲子形變勢(shì)散射；壓電散射。光學(xué)聲子形變勢(shì)散射形式比較復(fù)雜，這里略。在低溫下值最小，所以低溫下主要散射機(jī)構(gòu)是電離雜質(zhì)散射。典型半導(dǎo)體中各種散射機(jī)構(gòu)下遷移率溫度的變化關(guān)系如圖2（p.135 in Ref.2）所示。一般地中電子濃度可通過(guò)霍爾效應(yīng)精確

5、測(cè)定，叫做霍爾遷移率，它與我們常規(guī)定義的電導(dǎo)率遷移率相差一個(gè)常數(shù)因子。圖3(Fig.7.9 in Ref.3)是CdTe霍爾遷移率的溫度依賴關(guān)系。1 3極性光學(xué)波散射長(zhǎng)期以來(lái)電導(dǎo)問(wèn)題是用Boltzmann方程處理的4。1958年Edward首先將格林函數(shù)方法應(yīng)用于輸運(yùn)問(wèn)題。Kadanoff和Baym用格林函數(shù)方法證明，在金屬中只有kFl1時(shí)Boltzmann方程才是正確的，這里kF是費(fèi)米波矢，l是平均自由程?，F(xiàn)在格林函數(shù)已經(jīng)用于推導(dǎo)很多不同系統(tǒng)的輸運(yùn)性質(zhì)，包括Boltzmann方程不適用的情況。格林函數(shù)方法的優(yōu)點(diǎn)是，用它可以推導(dǎo)出輸運(yùn)系數(shù)的準(zhǔn)確表達(dá)式，然后在各種條件下作近似計(jì)算。嚴(yán)格的計(jì)算必須

6、同時(shí)考慮晶格振動(dòng)和雜質(zhì)對(duì)電子的散射。單獨(dú)考慮這兩種散射時(shí)計(jì)算方法非常相近。下面只考慮晶格振動(dòng)（LO聲子）的散射，不考慮雜質(zhì)散射，電子哈密頓為Frohlich極化子的哈密頓3(7.2.1) 其中為L(zhǎng)O聲子的頻率。我們討論弱耦合()的情況，所以極化子尺寸很大，是所謂的大極化子。1 4極化子遷移率理論有許多關(guān)于極化子遷移率的理論3，例如（1）通過(guò)求解Boltzmann方程(BE)；（2）通過(guò)計(jì)算電流-電流關(guān)聯(lián)函數(shù)（見(jiàn)后文）； 式中u是(x,y,z)之一，當(dāng)系統(tǒng)各向同性時(shí)所以。令則可由電流-電流關(guān)聯(lián)函數(shù)得到推遲的電流-電流關(guān)聯(lián)函數(shù)。(久保公式)說(shuō)明得到的是直流電導(dǎo)。在久保公式中，為了求直流電導(dǎo)需要先計(jì)

7、算交流電導(dǎo)，然后取極限。若開(kāi)始就從直流電場(chǎng)出發(fā)則計(jì)算要麻煩一些。久保的上述理論又叫線性響應(yīng)理論。（3）通過(guò)計(jì)算力-力關(guān)聯(lián)函數(shù)；令則可由力-力關(guān)聯(lián)函數(shù)得到推遲的力-力關(guān)聯(lián)函數(shù)。力-力關(guān)聯(lián)函數(shù)的嚴(yán)格推導(dǎo)是由Mahan給出的。（4）通過(guò)求解量子Boltzmann方程(QBE)。QBE 與BE的差別是：BE是關(guān)于分布函數(shù) 的微分方程；而 QBE是關(guān)于Wigner分布函數(shù) 的微分方程。這些理論各自不同，但在弱耦合 ()和低溫（）極限下結(jié)論是一致的，這些理論都預(yù)言 (7.2.2)(7.2.2)對(duì)于檢驗(yàn)理論是有用的，但在同實(shí)驗(yàn)比較方面無(wú)能為力，原因是（1）在溫度范圍，遷移率的計(jì)算只考慮了光學(xué)聲子散射。這是一

8、個(gè)低溫理論，我們需要能在更高溫下計(jì)算遷移率的理論（2）我們感興趣的大多數(shù)材料的極化子耦合常數(shù)都在中間耦合（）的范疇內(nèi)。所以我們需要一個(gè)在中間耦合下適用的計(jì)算遷移率的理論。在這方面最成功的是費(fèi)曼路徑積分方法。對(duì)于中間耦合和高溫的情況，格林函數(shù)并不擅長(zhǎng)，所以我們下面的計(jì)算仍限于低溫弱耦合的情況。我們通常采用的方法是1964年Langreth和Kadanoff用過(guò)的方法（1）利用格林函數(shù)從久保公式出發(fā)推導(dǎo)(7.2.2)式。遷移率可寫成冪級(jí)數(shù)形式(7.2.3)得到(7.2.2)即得到上面級(jí)數(shù)的首項(xiàng)（項(xiàng)）；（2）在上面基礎(chǔ)上獲得量級(jí)為的所有修正項(xiàng)。定義則L-K結(jié)果為 (7.2.4)這個(gè)結(jié)果同用下面方法，

9、即由，然后將分別按展開(kāi)：，得到的結(jié)果精確符合。我們將推導(dǎo)L-K公式中的第一項(xiàng)（即項(xiàng)）。2 單粒子性質(zhì) (see, Section 7.2 of Ref.3)我們用格林函數(shù)來(lái)表述單粒子性質(zhì)。因?yàn)槭窃诘蜏貑温曌忧闆r下，所以用零溫格林函數(shù)。首先看電子自能。自能算符是一個(gè)非局域的且與能量有關(guān)的非厄密算符。由于非厄密，一般為復(fù)數(shù)，實(shí)部代表多體效應(yīng)引起的能級(jí)移動(dòng)，而虛部為粒子在該狀態(tài)壽命的倒數(shù)。電子自能的實(shí)部為在零溫上式退化為 (7.2.6)根據(jù)自能我們可寫出有效質(zhì)量和重整化系數(shù)（或重整化因子）Z的表達(dá)式(7.2.7)我們用到的另一個(gè)量是壽命，電子壽命定義為(7.2.8)這里Z(p)是重整化系數(shù)。(7.2

10、.8)式中我們計(jì)算的是點(diǎn)的自能（虛部），而不是點(diǎn)的自能（虛部）。Ep是粒子的基態(tài)能量，它可從方程中自恰計(jì)算求得。這個(gè)方程近似為。作為一級(jí)近似，Ep也可由下法得出：將Ep展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)形式顯然=。根據(jù)參考文獻(xiàn)3第六章算出的一階電子自能即從中展開(kāi)得到所以。由(7.2.8)式我們看到Z(p)與壽命的定義有關(guān)。下面我們看Z(p)的物理意義。由譜函數(shù)的定義 (7.2.9)在的極限下，譜函數(shù)變成一個(gè)函數(shù)（表示能量守恒）和重整化系數(shù)的乘積推遲格林函數(shù)定義為 (7.2.10)根據(jù)格林函數(shù)的衰減我們可定義弛豫時(shí)間。在譜函數(shù)的峰值附近我們有這樣譜函數(shù)近似為上式用(7.2.8)定義的弛豫時(shí)間改寫為這樣(7.2.10)

11、變成由此可知，Z是準(zhǔn)粒子強(qiáng)度，即衰減波的振幅。我們還可以從另外一個(gè)角度來(lái)理解壽命定義中的因子Z。（壽命的倒數(shù)）是態(tài)衰減的速率，而Z是準(zhǔn)粒子強(qiáng)度的一部分，準(zhǔn)粒子強(qiáng)度的其余部分通常色散掉了?，F(xiàn)在我們可以計(jì)算單聲子自能對(duì)準(zhǔn)粒子壽命的貢獻(xiàn)了。由表達(dá)式 (7.2.11)在時(shí)這樣壽命3 遷移率中項(xiàng)的推導(dǎo)(see, Section 7.2 of Ref.3)利用久保公式計(jì)算電導(dǎo)率e和n0分別是電子電荷和濃度。一階項(xiàng)為 (7.2.13)假設(shè)電子遵循Maxwell-Boltzmann分布因?yàn)?，所以是正值?(7.2.14)其中譜函數(shù)平方在（或）的極限下，引入新變量則在低溫極限下（）能量指數(shù)另外，在低溫極限下（）。所以，則 (7.2.15)用代入則. (7.2.16)將和代