初二數(shù)學(xué)上冊(cè)--多邊形及其內(nèi)角和

1、2021/3/141溫故而知新溫故而知新 在在ABCABC中中, ,（1 1）C C = 90 = 90,B B=30=30, , 則則 A A = =; ;（2 2）A A = 100 = 100,B B=C C , , 則則 B B = =；（3 3）若若ABCABC中的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為中的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為2 2: :3 3: :4 4, , 則相應(yīng)外角之比為則相應(yīng)外角之比為（4 4）三角形的三個(gè)內(nèi)角中，最多有）三角形的三個(gè)內(nèi)角中，最多有個(gè)銳角，最個(gè)銳角，最 多有多有個(gè)直角，最多有個(gè)直角，最多有個(gè)鈍角個(gè)鈍角 2021/3/14211.3.1多邊形2021/3/143觀察下列圖案觀察下列

2、圖案由這圖形你抽象出什么幾何圖形由這圖形你抽象出什么幾何圖形?2021/3/144生活中的平面圖形由這圖形你抽象出什么幾何圖形?三角形三角形2021/3/145 長(zhǎng)方形長(zhǎng)方形生活中的平面圖形由這圖形你抽象出什么幾何圖形?2021/3/146由這圖形你抽象出什么幾何圖形? 四邊形四邊形生活中的平面圖形2021/3/1472021/3/148 六邊形六邊形生活中的平面圖形由這圖形你抽象出什么幾何圖形?2021/3/149 八邊形八邊形生活中的平面圖形由這圖形你抽象出什么幾何圖形?2021/3/142021/3/141010三角形三角形 長(zhǎng)方形長(zhǎng)方形 六邊形六邊形 四邊形四邊形 八邊形八邊形在平面內(nèi)

3、在平面內(nèi),由若干條不在同一條直線上由若干條不在同一條直線上的線段首尾順次相連組成的封閉圖形的線段首尾順次相連組成的封閉圖形叫做叫做多邊形多邊形。多邊形的定義你能仿照三角形的定義給出多邊形的你能仿照三角形的定義給出多邊形的定義嗎定義嗎?2021/3/142021/3/141111了解一下了解一下頂點(diǎn)頂點(diǎn)內(nèi)角內(nèi)角邊邊對(duì)角線對(duì)角線對(duì)角線對(duì)角線:連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段。點(diǎn)的線段?？杀硎緸榭杀硎緸?五邊形五邊形ABCDE或或五邊形五邊形DCBAEABCDE2021/3/142021/3/141212ABCD12345內(nèi)角內(nèi)角:多邊形相鄰兩邊組成的角多邊形相鄰兩邊組成的角

4、外角外角:多邊形的邊與它的鄰邊多邊形的邊與它的鄰邊 的延長(zhǎng)線組成的角。的延長(zhǎng)線組成的角。內(nèi)角內(nèi)角外角外角6789102021/3/142021/3/141313比一比你能說(shuō)出這兩幅圖形的異同點(diǎn)嗎?（1）（2） 如圖（如圖（1 1）這樣）這樣, ,畫出多邊形的任何一條邊所在的直線畫出多邊形的任何一條邊所在的直線, ,整個(gè)四邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個(gè)多邊形整個(gè)四邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個(gè)多邊形就是凸多邊形。本節(jié)我們只討論凸多邊形。就是凸多邊形。本節(jié)我們只討論凸多邊形。2021/3/142021/3/141414想一想想一想: :觀察下面多邊形觀察下面多邊形,它們的邊它們的邊,角有什

5、么特點(diǎn)角有什么特點(diǎn)? 在平面內(nèi)在平面內(nèi),內(nèi)角都相等內(nèi)角都相等,邊也都相邊也都相等的多邊形叫做等的多邊形叫做正多邊形正多邊形2021/3/142021/3/14151511.3.2 11.3.2 多邊形的內(nèi)角和多邊形的內(nèi)角和2021/3/1416v1、在平面內(nèi)、在平面內(nèi),_叫叫做多邊形。做多邊形。v、在多邊形中連接、在多邊形中連接_的線段叫做多邊形的對(duì)角線。的線段叫做多邊形的對(duì)角線。v、三角形的內(nèi)角和是、三角形的內(nèi)角和是_度度v、你能夠利用三角形的內(nèi)角和求四邊形、你能夠利用三角形的內(nèi)角和求四邊形的內(nèi)角和嗎的內(nèi)角和嗎?試試看？試試看？ABCD思路思路:多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題來(lái)解

6、決三角形問(wèn)題來(lái)解決四邊形的內(nèi)角和為四邊形的內(nèi)角和為360由一些線段首尾順次相接組成的圖形由一些線段首尾順次相接組成的圖形多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段18002021/3/1417問(wèn)題問(wèn)題, ,新知新知 長(zhǎng)方形的內(nèi)角和是長(zhǎng)方形的內(nèi)角和是多少多少?為什么？為什么？如果是任意如果是任意四邊形呢四邊形呢?2021/3/1418BADC（1 1）四邊形）四邊形ABCDABCD的內(nèi)角的內(nèi)角 和是多少和是多少? ?（2 2）你是怎樣求的？）你是怎樣求的？2021/3/1419(1)(1)從頂點(diǎn)從頂點(diǎn)A A可以畫幾條對(duì)可以畫幾條對(duì)角線角線? ?分別是哪幾條？分別是哪幾條？(2)(2

7、)這樣五邊形被分成了這樣五邊形被分成了幾個(gè)三角形幾個(gè)三角形? ? (3)(3)五邊形的內(nèi)角和是多少五邊形的內(nèi)角和是多少度度? ?ABDCE2021/3/1420你來(lái)探索六邊形的內(nèi)角和你來(lái)探索六邊形的內(nèi)角和,你一定行你一定行!ABCDEF被分得三角形個(gè)數(shù)被分得三角形個(gè)數(shù)六邊形的內(nèi)角和六邊形的內(nèi)角和4 41802021/3/1421這種探索方法你掌握了嗎這種探索方法你掌握了嗎?請(qǐng)完成下表請(qǐng)完成下表多邊形的多邊形的邊數(shù)邊數(shù)34567n分成的三分成的三角形個(gè)數(shù)角形個(gè)數(shù)12多邊形的多邊形的內(nèi)角和內(nèi)角和18018021803345n-2180 5(n-2) 180180 4想一想想一想:從表中你能發(fā)現(xiàn)什么

8、從表中你能發(fā)現(xiàn)什么?2021/3/1422n n邊形的內(nèi)角和等于邊形的內(nèi)角和等于(n(n2)2)1801802021/3/1423想一想想一想 An A5 A1 A4 A2 A3 An A5 A1 A4 A2 A3PP(1)(2)你還有其他的方法將多邊形分割成三角形嗎你還有其他的方法將多邊形分割成三角形嗎?2021/3/1424ABCDABCDEABCDEF 該圖中該圖中n邊形共有邊形共有n個(gè)三角形個(gè)三角形,故所有三角故所有三角形內(nèi)角和為形內(nèi)角和為n180 ,但每個(gè)圖中都有一個(gè)以但每個(gè)圖中都有一個(gè)以紅圈圈住的點(diǎn)，它是一個(gè)圓周角紅圈圈住的點(diǎn)，它是一個(gè)圓周角360 ，因此，因此n邊形的內(nèi)角和為邊形

9、的內(nèi)角和為 n180 - 360 = (n-2)180 多了什么多了什么?如何處理？如何處理？2021/3/1425多了什么多了什么?如何處理？如何處理？ABCDABCDEABCDEF 這種分割方式這種分割方式,將多邊形分成將多邊形分成n-1個(gè)三角形個(gè)三角形,故故所有三角形的內(nèi)角和為（所有三角形的內(nèi)角和為（n-1）180 ，邊上，邊上一點(diǎn)周圍所形成的平角不是多邊形的內(nèi)角，因一點(diǎn)周圍所形成的平角不是多邊形的內(nèi)角，因此此n邊形的內(nèi)角和為邊形的內(nèi)角和為 （n-1）180 - 180 = (n-2)180 2021/3/1426例1:求八邊形的內(nèi)角和的度數(shù)。 解:（n2）180（82）180 1080

10、答:八邊形的內(nèi)角和為1080。 2021/3/1427例2:一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角為一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角為150150, , 你知道它是幾邊形嗎你知道它是幾邊形嗎? ? 解:設(shè)這個(gè)多邊形為n邊形,根據(jù)題意得:（n2）18010n n12答：這個(gè)多邊形是12邊形。另解:由于多邊形外角和等于360 而這個(gè)正多邊形的每個(gè)外角都等于 18015030, 所以這個(gè)正 多邊形的邊數(shù)等于 3603012。2021/3/1428例題例題3 3、已知兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和為、已知兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和為14401440, ,且兩且兩多邊形的邊數(shù)之比為多邊形的邊數(shù)之比為1 13, 3,求它們的邊數(shù)分別是求它們的邊數(shù)分別

11、是多少多少? ? 解解:設(shè)它們的邊數(shù)分別是設(shè)它們的邊數(shù)分別是x,y.由題意得：由題意得： （x-2）180+（ y -2）180=1440 x : y=1 : 3 解之得解之得 x =3 y =9 答：它們的邊數(shù)分別是答：它們的邊數(shù)分別是3和和9。2021/3/1429 牛刀小試牛刀小試: :（1 1）八邊形的內(nèi)角和等于）八邊形的內(nèi)角和等于 。（2 2）已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于）已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于23402340, , 它的邊數(shù)是它的邊數(shù)是 。（3 3）小明在計(jì)算多邊形的內(nèi)角和時(shí)求得的）小明在計(jì)算多邊形的內(nèi)角和時(shí)求得的 度數(shù)是度數(shù)是10001000, ,他的答案正確嗎他的答案正確嗎?

12、 ?為為 什么？什么？ 1080152021/3/1430 （4 4）已知四邊形）已知四邊形4 4個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是1 12 23 34,4, 那么這個(gè)四邊形中最大角的度數(shù)那么這個(gè)四邊形中最大角的度數(shù)是是 。（5 5）一個(gè)五邊形的三個(gè)內(nèi)角是直角）一個(gè)五邊形的三個(gè)內(nèi)角是直角, ,另兩個(gè)內(nèi)角另兩個(gè)內(nèi)角 都是都是n n，則，則n=n= 。（6 6）六角螺母的面是六邊形，它的內(nèi)角都相等，）六角螺母的面是六邊形，它的內(nèi)角都相等，則則 這個(gè)六邊形的每個(gè)內(nèi)角是這個(gè)六邊形的每個(gè)內(nèi)角是 。 （7 7）在四邊形）在四邊形ABCDABCD中，中，A A與與C C互補(bǔ)，那么互補(bǔ)，那么B B 與與D D有

13、什么關(guān)系呢有什么關(guān)系呢? ?為什么？為什么？ 1441351202021/3/1431探索探索 （1 1）什么是三角形的外角）什么是三角形的外角? ?外角有什么性外角有什么性質(zhì)？質(zhì)？ （2 2）類似地）類似地, ,在多邊形中找出在多邊形中找出外角外角DEABCF多邊形的一邊與另一邊的多邊形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線的夾角延長(zhǎng)線的夾角, ,叫做叫做多邊形多邊形的外角的外角。 2021/3/1432（1 1）如圖）如圖, ,求求ABCABC的三個(gè)外角的和。的三個(gè)外角的和。 321ABC三角形的三個(gè)外角三角形的三個(gè)外角之和為之和為3603600 0 2021/3/1433（2 2）四邊形的外角和等于多少

14、度）四邊形的外角和等于多少度? ? 4321DABC（3 3）五邊形的外角和怎么求）五邊形的外角和怎么求?n?n邊形呢？邊形呢？ 2021/3/1434猜想與說(shuō)理猜想與說(shuō)理:n邊形的外角和是多少度呢邊形的外角和是多少度呢? 答:都是360.因?yàn)槎噙呅蔚耐饨桥c它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角,所以n邊形的外角和加內(nèi)角和等于n180,內(nèi)角和為(n2)180,因此，外角和為:n180(n2)180= 360. 結(jié)論結(jié)論: :多邊形的外角和都等于多邊形的外角和都等于360. 2021/3/1435例例1:一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等 于它的外角和的于它的外角和的3倍倍,它它 是幾邊形是幾邊形?解解:設(shè)

15、它是設(shè)它是n邊形邊形,則則(n-2).180=3360解得解得:n=8答：它是答：它是8邊形邊形2021/3/1436例例2 2:一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角比相鄰?fù)饨谴?6求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。 解:設(shè)一個(gè)外角為x, 則內(nèi)角為（x36） 根據(jù)題意得: x+x+36180 x72 360725答：這個(gè)正多邊形為正五邊形。2021/3/14372021/3/1438 1. 三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是（三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是（x+y)o, (x-y)o,xo,且且xy0,則該三角形有一個(gè)內(nèi)則該三角形有一個(gè)內(nèi)角為角為 （）（）A、30OB、45OC、60OD、90O2.一個(gè)正多邊形每一個(gè)內(nèi)角都是一個(gè)正多

16、邊形每一個(gè)內(nèi)角都是120o,這個(gè)這個(gè)多邊形是（）多邊形是（）A、正四邊形正四邊形B、正五邊形、正五邊形C、正六邊形、正六邊形D、正七邊形、正七邊形CC2021/3/1439一個(gè)多邊形木板一個(gè)多邊形木板,截去一個(gè)三角形后（截線不經(jīng)截去一個(gè)三角形后（截線不經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)）過(guò)頂點(diǎn)）,得到新多邊形內(nèi)角和為得到新多邊形內(nèi)角和為2160o，則原多，則原多邊形的邊數(shù)為（邊形的邊數(shù)為（ ）A、13條條B、14條條C、15條條D、16條條4. 下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（ ）A、一個(gè)三角形中至少有一個(gè)角不大于、一個(gè)三角形中至少有一個(gè)角不大于60O;B、有一個(gè)外角是銳角的三角形是鈍角三角形；、有一個(gè)外角

17、是銳角的三角形是鈍角三角形；C、三角形的外角中必有兩個(gè)角是鈍角；、三角形的外角中必有兩個(gè)角是鈍角；D、銳角三角形中兩銳角的和必然小于、銳角三角形中兩銳角的和必然小于60O；AD2021/3/14405.5.小明繞五邊形各邊走一圈小明繞五邊形各邊走一圈, ,他共轉(zhuǎn)了他共轉(zhuǎn)了_ _ _度。度。6.6.下列正多邊形下列正多邊形（1 1）正三角形（正三角形（2 2）正方形（）正方形（3 3）正）正五邊形（五邊形（4 4）正六邊形）正六邊形, ,其中用一種正多邊形能鑲其中用一種正多邊形能鑲嵌成平面圖案的是嵌成平面圖案的是; ;360（1）、（）、（2）、（）、（4） 7. 7.如下圖如下圖,AD,AD是是BCBC邊上的高邊上的高,BE,BE是是 ABDABD的的角平分線，角平分線，1=401=40，2=302=30，則，則C=C=_ _ _BED=BED= 。6560ABCD1 2E2021/3/14418 8、兩個(gè)多邊形的邊數(shù)比是、兩個(gè)多邊形的邊數(shù)比是1:2,1:2,兩個(gè)多邊形兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和為的內(nèi)角和為14401440度度, ,求這兩個(gè)多邊形的邊數(shù)求這兩個(gè)多邊形的邊數(shù), ,2021/3/1442思考、有一六邊形思考、有一六邊形,截去一三角形截去一三角形,內(nèi)角和內(nèi)角和會(huì)發(fā)生怎樣變化會(huì)發(fā)生怎樣變化?請(qǐng)畫圖說(shuō)明。請(qǐng)畫圖說(shuō)明。內(nèi)角和減少內(nèi)角和減少1