系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其判定

1、系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其判定（羅斯陣列）6-6系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其判定所有工程實際系統(tǒng)的工作都應該具有穩(wěn)定 性，所以對系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究十分重要。本節(jié)將介紹系統(tǒng)穩(wěn)定性的意義及其判定方法。一、系統(tǒng)穩(wěn)定性的意義若系統(tǒng)對有界激勵f(t)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應從) 也是有界的，即當 陽割時，若有(式中 叫和叫均為有界的正實常數(shù))，則稱系統(tǒng)為穩(wěn)定 系統(tǒng)或系統(tǒng)具有穩(wěn)定性研究不同問題時，穩(wěn)定 的定義不盡相同。這里的定義是“有界輸入、有 界輸出意義下的穩(wěn)定。，否則即為不穩(wěn)定系統(tǒng) 或系統(tǒng)具有不穩(wěn)定性。可以證明，系統(tǒng)具有穩(wěn)定性的必要與充分條 件，在時域中是系統(tǒng)的單位沖激響應 h(t)絕對 可積，即匸卜(t)枇vOO(6-36)證明

2、設激勵f(t)為有界，即式中，為有界的正實常數(shù)。又因有yft)=比Jg故有|yf W| =匸h(T)f(t-T)dr 匸G-(6-37)由此式看出，若滿足則一)dr 2時，系統(tǒng)是否穩(wěn)定，還須排出如下的羅斯陣 列。則羅斯陣列的排列規(guī)則如下(共有n+1行):EI:%-l bn-3 bn-J 陣列中第1、第2行各元素的意義不言而喻，第3行及以后各行的元素按以下各式計算：bn-l1J a-丄卜In-1 Pn 11 K-l如法炮制地依次排列下去，共有(n+1)行，最后 一行中將只留有一個不等于零的數(shù)字。若所排出的數(shù)字陣列中第一列的 (n+1)個數(shù) 字全部是正號，則 H(s)的極點即全部位于s平 面的左半

3、開平面，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的；若第一列(n+1)個數(shù)字的符號不完全相同，則符號改變的 次數(shù)即等于在s平面右半開平面上出現(xiàn)的 H(s) 極點的個數(shù)，因而系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的在排列羅斯陣列時，有時會出現(xiàn)如下的兩種 特殊情況：(1) 陣列的第一列中出現(xiàn)數(shù)字為零的元素。 此時可用一個無窮小量& (認為&是正或負均可 來代替該零元素，這不影響所得結(jié)論的正確性。(2) 陣列的某一行元素全部為零。當D(s)=0的根中出現(xiàn)有共軛虛根土血時，就會出現(xiàn)此種情 況。此時可利用前一行的數(shù)字構成一個輔助的s多項式P(s)，然后將P(s)對s求導一次，再用 該導數(shù)的系數(shù)組成新的一行，來代替全為零元素 的行即可；而輔助多項式P(s)

4、=0的根就是H(s) 極點的一部分。例 6-22 已知 H(s) 的分母 D(s)=s4+2s3+3s2+2s+1。試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：因D(s)中無缺項且各項系數(shù)均為大于零 的實常數(shù)，滿足系統(tǒng)為穩(wěn)定的必要條件，故進一 步排出羅斯陣列如下：2 1lxD-2?l Q22xO-lxO=o 0護22 1x2 2x 3s = 2212 x1 2x23 = 10 2xO-lxl2x0-1 x03= I. = 0 U2 2可見陣列中的第一列數(shù)字符號無變化，故該H(s)所描述的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即H(s)的極點全 部位于S平面的左半開平面上。/ s3 + 2s+s + 2例 6-23已知一八一。試判斷系統(tǒng)的

5、穩(wěn)定性。解:因=|- - -L 中無缺項且各項系數(shù)均為大于零的實常數(shù)，滿足系統(tǒng)為穩(wěn)定的必 要條件，故進一步排出羅斯陣列如下:1 S2 201x20-2x8 nlx0-2xl d 2x01x212：0 21 x0-2121=I = u 可見陣列中的第一列數(shù)字符號有兩次變化，即從+2變?yōu)?2，又從-2變?yōu)?21。故H(s)的極 點中有兩個極點位于S平面的右半開平面上，故 該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。口r、J十2*十$十1例6-24 已知 旳 Sf+to。試判斷 系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解： 因 D(s)=s5+2s4+2s3+4s2+11s+10 中 的系數(shù)均為大于零的實常數(shù)且無缺項，滿足系統(tǒng) 為穩(wěn)定的必要條件，故進

6、一步排出羅斯陣列如 下：s5 1211?24 10s3 060/芒0由于第3行的第一個元素為0，從而使第4行12的第一個元素 飛成為(-8)，使陣列無法繼續(xù)排 列下去。對于此種情況，可用一個任意小的正數(shù) 來代替第3行的第一個元素0,然后照上述方 法繼續(xù)排列下去。在計算過程中可忽略含有 寫氏的項。最后將發(fā)現(xiàn)，陣列第一列數(shù)字符 號改變的次數(shù)將與無關。按此種處理方法，繼 續(xù)完成上面的陣列：12 1124 10(12-牝SU I畐圧丿S1 600s 10 00可見陣列中第一列數(shù)字的符號有兩次變化，_12 _12即從占變?yōu)?又從二變?yōu)?。故H(s)的極點中 有兩個極點位于s平面的右半開平面上，故系統(tǒng) 是

7、不穩(wěn)定的。_ 加 +3s+5例6-25已知“-一。試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解： 因中無缺項且各項系數(shù) 均為大于零的實常數(shù)，滿足系統(tǒng)為穩(wěn)定的必要條 件，故進一步排出羅斯陣列如下：?1 4 4s3 3 6 0s1 2 4 00 0 0可見第4行全為零元素。處理此種情況的方法之 一是：以前一行的元素值構建一個 s的多項式P(s)，即P(b) = 2s3-H4怪式(6-41)對s求一階導數(shù)，即凹i+Ods現(xiàn)以此一階導數(shù)的系數(shù)組成原陣列中全零行(? 1 s3 3F 2? 0行)的元素，然后再按原方法繼續(xù)排列下去。即4000彳640可見陣列中的第一列數(shù)字符號沒有變化，故H(s) 在s平面的右半開平面上無極點，

8、因而系統(tǒng)肯定 不是不穩(wěn)定的。但到底是穩(wěn)定的還是臨界穩(wěn)定 的，則還須進行下面的分析工作。令ps) = 25 + 4 = 25-賄 b + =0解之得兩個純虛數(shù)的極點：H 伍p廠忑胡。這說 明系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。實際上，若將D(s)分解因式，即為J -l-3s +6S4 4 =(2三-h 4)(g +1 ji.s += 2(s + 卜上、一倫)g H- 1)(l+ J)可見H（s）共有4個極點：一 “丄,位于軸 上；，位于s平面的左半開平面。故該系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。例6-26圖6-38所示系統(tǒng)。試分析反饋系數(shù)K對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。圖6-38解：叫二爲乂 嗣爲島X*（s）-K 詢=爲 島陽-Y（s）-KY*）, 解之得環(huán)）=樂=_U F（s） s3+?+10（K + 1）s+10欲使此系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是 （歸士+1唯+広+】0 中的各項系數(shù)均為大于零的實常數(shù)，故應有 K -1。但此條件并不是充分條件，還應進一步排出 羅斯陣列如下：護11O（K + 1：s111