高等數(shù)學(xué)方明亮42換元積分法課件

1、返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021-10-111復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)引入(Introduction)在上次課中，我們學(xué)習(xí)了在上次課中，我們學(xué)習(xí)了“不定積分的概念和性質(zhì)不定積分的概念和性質(zhì)” 給出了給出了“基本積分公式表基本積分公式表” 。但是，但是，對(duì)于形如對(duì)于形如2sin2 d ;x x21d ;xx這樣的積分，利用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式表這樣的積分，利用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式表我們就無(wú)能為力了。我們就無(wú)能為力了。為此，為此，返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021-10-112第二節(jié)第二節(jié) 換元積分法換元積分法(1)(1) 第四章第四章 一、第一類換元積分法一、第一類換元積分法二

2、、第二類換元積分法二、第二類換元積分法（Integration by Substitution）三、小結(jié)與思考題三、小結(jié)與思考題返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021-10-113第二類換元法第二類換元法第一類換元法第一類換元法xxxfd)()(uufd)(設(shè), )()(ufuF)(xu可導(dǎo),xxxfd)()(CxF)()(d)(xuuuf)()(xuCuF)(dxFxxxfd)()(則有基本思路基本思路 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021-10-114一、第一類換元積分法一、第一類換元積分法定理定理1 ,)(有原函數(shù)設(shè)uf,)(可導(dǎo)xu則有換元公式xxxfd)()()d( )( )x

3、fx( )duf u)(xu(也稱配元法配元法 , 湊微分法湊微分法)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021-10-1152sin2 d .x x提示：令提示：令2ux例例1 求cos2xC 例例2 求1d1 2xx提示：令提示：令1 2ux 1ln |1 2 |2xC 例例3 （補(bǔ)充題）（補(bǔ)充題）求() d(1 . )maxbmx 解解: 令,bxau則,ddxau 故原式原式 =muuad1a1Cumm1111)() 1(1mbxamaC返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021-10-11622 exxdx例例4 求答案：答案：2exC例例5 求tan dcot dx xx x和例例6

4、求22d.xax答案：答案：1arctanxCaa例例7 （補(bǔ)充題）（補(bǔ)充題）求22d(0).xaax解解:2)(1daxax2)(1)(daxaxCax arcsin22dxax例例8 （課本（課本 例例7）求22d.xxa答案：答案：1ln2xaCaxa返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021-10-117xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1萬(wàn)萬(wàn)能能湊湊冪冪法法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosd

5、常用的幾種配元形式常用的幾種配元形式: 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021-10-118xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd.)ln21 (dxxxxln21xlnd解解: 原式 =xln2121)ln21 (dxCx ln21ln21例例9（補(bǔ)充題）（補(bǔ)充題）求求返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021-10-119.d3xxex解解: 原式 =xexd23)3d(323xexCex332例例11（補(bǔ)充題）（補(bǔ)充題）求.dsec6xx解解: 原式 =xdxx222sec) 1

6、(tanxtandxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC例例10（補(bǔ)充題）（補(bǔ)充題） 求自學(xué)課本自學(xué)課本例例1819返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021-10-1110.1dxex解法解法1xex1dxeeexxxd1)1 (xdxxee1)1 (dxCex)1ln(解法解法2 xex1dxeexxd1xxee1)1 (dCex)1ln()1(ln)1ln(xxxeee兩法結(jié)果一樣兩法結(jié)果一樣例例12（補(bǔ)充題）（補(bǔ)充題）求返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021-10-1111.dsecxx解法解法1 例例13（課本（課本 例例14）求求（與課本解法

7、不一樣）（與課本解法不一樣）xxsin11sin1121xxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sindxsindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021-10-1112xxtansecxxdsecxxdsecxxtansec )tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxx Cxxtansecln同樣可證xxdcscCxxcotcscln或xxdcscCx2tanln(課本課本 例例13 )解法解法 2 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021-10-1113222d)(2123x

8、ax.d)(23223xaxx解解: 原式 =23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax 23)(2222axa)(d22ax 22ax 222axaC例例14（補(bǔ)充題）（補(bǔ)充題）求返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021-10-1114)2cos2cos21 (241xx .dcos4xx解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21 (24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4si

9、n321C例例15 （補(bǔ)充題）（補(bǔ)充題）求返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021-10-1115.d3cossin22xxx解解:xx3cossin22221)2sin4(sinxx xxxx2sin2sin4sin24sin24141241)8cos1 (81xxx2cos2sin2)4cos1 (81x原式 =xd41)8d(8cos641xx)2(sind2sin221xx)4d(4cos321xxx41x8sin641x2sin361x4sin321C例例16（補(bǔ)充題）（補(bǔ)充題）求求返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021-10-1116xxexex111xexexxxdd xexx

10、d) 1(.d)1 (1xexxxx解解: 原式=xexxxxd)1 () 1(xexe)1 (1xxxexe)(d)111(xxxexexex)1 (1xxxxxexexexe)(dxxexexlnxex1lnCCexxxx1lnln分析分析: 例例17 （補(bǔ)充題）（補(bǔ)充題）求返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021-10-1117內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)常用簡(jiǎn)化技巧常用簡(jiǎn)化技巧:(1) 分項(xiàng)積分分項(xiàng)積分:(2) 降低冪次降低冪次:(3) 統(tǒng)一函數(shù)統(tǒng)一函數(shù): 利用三角公式利用三角公式 ; 配元方法配元方法(4) 巧妙換元或配元巧妙換元或配元等xx22cossin1; )2cos1 (sin212xx

11、; )2cos1 (cos212xx萬(wàn)能湊冪法xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11利用積化和差; 分式分項(xiàng);利用倍角公式 , 如返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021-10-1118課后練習(xí)課后練習(xí)習(xí)題習(xí)題4-2 1；2（1）（）（18）思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 下列各題求積方法有何不同下列各題求積方法有何不同? xx4d) 1 (24d)2(xxxxxd4)3(2xx4)4(d22221)(1)d(xx22214)4(dxxxxxd4)4(2224d)5(xxxxd441241xx2121xd24d)6(xxx2)2(4x)2(dx返回返回上

12、頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021-10-1119xxxd) 1(110.) 1(d10 xxx提示提示:法法1法法2法法3 ) 1(d10 xxx10)x ) 1(d10 xxx) 1(1010 xx ) 1(d10 xxx)1 (d1011xxx101x10d x10110(x10dx1012. 求求返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021-10-1120.d)()()()()(32xxfxfxfxfxf 解解: 原式原式)()(xfxfxxfxfxfxfxfd)()()(1)()(2 xxfxfxfxfd)()()()(22 Cxfxf2)()(21)()(d(xfxf)()(xfxf3.求求返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021-10-1121xxxd11) 132) 1(d113133xxCx1323xxxxd2132)22xxxd2125)22(x2221)21d(xxxx 52) 1(2