(1.1)第一節(jié)函數(shù)(同濟少學(xué)時第三版簡約型)

1、 微積分的研究對象是函數(shù)，和初等數(shù)學(xué)討論函數(shù)不微積分的研究對象是函數(shù)，和初等數(shù)學(xué)討論函數(shù)不同的是，微積分是以極限的方法來考察和認(rèn)識函數(shù)的變同的是，微積分是以極限的方法來考察和認(rèn)識函數(shù)的變化過程及內(nèi)在屬性?；^程及內(nèi)在屬性。 集合是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，所謂最基本概集合是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，所謂最基本概念就是不能由其它概念來定義，只能通過常識來描述。念就是不能由其它概念來定義，只能通過常識來描述。具有具有“某種屬性某種屬性”的有限多個或無限多個一的有限多個或無限多個一類事物的全體稱為一個集合，構(gòu)成集合的每一個事物稱類事物的全體稱為一個集合，構(gòu)成集合的每一個事物稱為該集合的一個元素。為該集合

2、的一個元素。 若事物若事物 a 是集合是集合 M 的一個元素，記作的一個元素，記作 a M，若事若事物物 a 不是集合不是集合 M 的元素，則記作的元素，則記作 a M 由有限個元素組成的集合稱為有限集，由無窮多個由有限個元素組成的集合稱為有限集，由無窮多個元素組成的集合稱為無限集。元素組成的集合稱為無限集。 表示集合的方法通常有兩種：表示集合的方法通常有兩種： 列出集合中所有元素，其形式為列出集合中所有元素，其形式為 A = A中的所有元素中的所有元素 . . 列出集合中元素的屬性，其形式為列出集合中元素的屬性，其形式為 M = x x 所具有的特征所具有的特征 . . 設(shè)有集合設(shè)有集合 A

3、、B，若對，若對 a A，都有，都有a B，則稱則稱 A 是是 B 的子集，記作：的子集，記作：A B . . 不含任何元素的集合稱為空集，記作不含任何元素的集合稱為空集，記作: : 空集可認(rèn)為是任何集合的空集可認(rèn)為是任何集合的子集。子集。BAABaaBA 設(shè)有集合設(shè)有集合 A、B，若有，若有 A B ，且，且 B A，則稱，則稱 A、B 相等，記作：相等，記作：A = B 例如，若例如，若 A = = 1 , ,2 ，B = x x 2 - - 3x + 2 = 0 ，則有，則有 A = B . . 兩集合相等的意義就是彼此相互包含，這一定義實兩集合相等的意義就是彼此相互包含，這一定義實際也

4、給出了集合相等的證明方法，即證明兩集合相等就際也給出了集合相等的證明方法，即證明兩集合相等就是證明它們相互包含。是證明它們相互包含。 設(shè)有集合設(shè)有集合 A、B，由至少屬于，由至少屬于 A、B 中一個的元素中一個的元素的全體所構(gòu)成的集合稱為集合的全體所構(gòu)成的集合稱為集合 A、B 并，記作并，記作: : AB . .即有即有 AB = x x A 或或 x B .ABAB 設(shè)有集合設(shè)有集合 A、B，由同時屬于，由同時屬于 A、B 的元素的全體的元素的全體所構(gòu)成的集合稱為集合所構(gòu)成的集合稱為集合 A、B 的交，記作的交，記作: : AB . . 即即有有 AB = x x A 且且 x B ABAB

5、 區(qū)間是一類特殊的數(shù)集，它通常用來表示連續(xù)型變區(qū)間是一類特殊的數(shù)集，它通常用來表示連續(xù)型變量的變化范圍。區(qū)間可分為兩類，一類是有限區(qū)間，另量的變化范圍。區(qū)間可分為兩類，一類是有限區(qū)間，另一類是無窮區(qū)間。一類是無窮區(qū)間。 設(shè)設(shè) a , ,b R，且且 a b，則數(shù)集則數(shù)集 x a x b 稱為稱為開區(qū)間，記作開區(qū)間，記作: :( a , ,b )，即即( a , ,b )= x a x b . . Oxba 設(shè)設(shè) a , ,b R，且且 a b，則數(shù)集則數(shù)集 x a x b 稱為閉稱為閉區(qū)間，記作區(qū)間，記作: : a , ,b ，即即 a , ,b = x a x b . . 由開區(qū)間和閉區(qū)間的

6、概念容易理解，下列數(shù)集均稱由開區(qū)間和閉區(qū)間的概念容易理解，下列數(shù)集均稱為半開半閉區(qū)間：為半開半閉區(qū)間： ( a , ,b = x a x b ， a , ,b )= x a x b . . 數(shù)數(shù) b - - a 稱為上述這些區(qū)間的長度，長度為有限值稱為上述這些區(qū)間的長度，長度為有限值的區(qū)間稱為有限區(qū)間。上述這些區(qū)間的長度均為有限的區(qū)間稱為有限區(qū)間。上述這些區(qū)間的長度均為有限數(shù)，故均是有限區(qū)間。數(shù)，故均是有限區(qū)間。Oxba b , , a, , 長度為無窮大的區(qū)間稱為無窮區(qū)間。長度為無窮大的區(qū)間稱為無窮區(qū)間。 下列數(shù)集均為無窮區(qū)間下列數(shù)集均為無窮區(qū)間： ( a ,+,+ )= x a x ， a

7、 ,+,+ )= x a x ； ( - - , ,b )= x x 0 ，數(shù)集數(shù)集 x x - - a 稱為點稱為點 a 的的 鄰域，記作鄰域，記作: :U( a , , )，即，即 U( a , , )= x x - - a =( a - - , ,a - - ). . Oxaa a 在點在點 a 的的 鄰域中去掉中心點鄰域中去掉中心點 a 后所得點集后所得點集，稱為稱為點點 a 的的 空心空心鄰域，記作鄰域，記作: :函數(shù)在一點的性狀不僅和該點的函函數(shù)在一點的性狀不僅和該點的函數(shù)值有關(guān)，還和函數(shù)在該點鄰近點處的數(shù)值有關(guān)，還和函數(shù)在該點鄰近點處的函數(shù)值有關(guān)。函數(shù)值有關(guān)。 鄰域的鄰域的重要性

8、就在于用以討論函數(shù)重要性就在于用以討論函數(shù)在一點的性狀與其鄰近點處性狀的關(guān)系。在一點的性狀與其鄰近點處性狀的關(guān)系。 oU a , , 即即 o 0U axxaaaa a ,. .Oxaa a 客觀事物總是變化著的，而其變化過程必然總是伴客觀事物總是變化著的，而其變化過程必然總是伴隨著各種不同量的變化，且不同量在各自的變化范圍內(nèi)隨著各種不同量的變化，且不同量在各自的變化范圍內(nèi)變化時常常是既相互聯(lián)系又相互變化時常常是既相互聯(lián)系又相互制約的。這種不同變量間既相互制約的。這種不同變量間既相互聯(lián)系又相互制約的關(guān)系就是所謂聯(lián)系又相互制約的關(guān)系就是所謂 函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系。例：例：某一天的氣溫和時間的關(guān)系是一

9、種函數(shù)關(guān)系某一天的氣溫和時間的關(guān)系是一種函數(shù)關(guān)系。 在此問題中包含兩個變量：氣溫在此問題中包含兩個變量：氣溫 C ，時間時間 t . . 兩變量兩變量在各自的變化范圍內(nèi)變化，變化時彼此在各自的變化范圍內(nèi)變化，變化時彼此間既相互間既相互聯(lián)系又相互依存，因而氣溫聯(lián)系又相互依存，因而氣溫 C 和時間和時間 t 構(gòu)成函數(shù)關(guān)系構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。 CC tt3691215182124OC1520105例：例：我國我國 GDP 總值與年份的關(guān)系構(gòu)成函數(shù)關(guān)系總值與年份的關(guān)系構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。 問題中包含兩個變量問題中包含兩個變量：年份年份 t，GDP 總值總值 y . . 兩變量兩變量各在一定范圍內(nèi)變化，變化時彼此既

10、相互聯(lián)系又各在一定范圍內(nèi)變化，變化時彼此既相互聯(lián)系又相互制約，相互制約，因而因而年份年份 t 和和 GDP總值總值 y 構(gòu)成函數(shù)關(guān)系構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。例：例：設(shè)有邊長為設(shè)有邊長為 a 的正方形金屬薄板，在其四角各剪去的正方形金屬薄板，在其四角各剪去一個邊長為一個邊長為 x 的小正方形做成無蓋正方體小盒，試考察的小正方形做成無蓋正方體小盒，試考察小正方形邊長小正方形邊長 x 與金屬盒的容積與金屬盒的容積 V 間的函數(shù)。間的函數(shù)。 問題中包含兩個變量問題中包含兩個變量：小正方形的邊長小正方形的邊長 x，容積容積 V ，兩變量兩變量在一定的范圍內(nèi)變化，在一定的范圍內(nèi)變化，變化時兩變量間有對應(yīng)關(guān)系變化時兩

11、變量間有對應(yīng)關(guān)系 V = x( a - - 2 x )2. 因而小正方形的邊長因而小正方形的邊長 x和所做成的和所做成的金屬金屬盒的盒的容積容積 V構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。x2ax2axxa例：例：在解析式在解析式 中，變量中，變量 x，y 構(gòu)成構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。函數(shù)關(guān)系。 此解析式包含兩個變量此解析式包含兩個變量：x 、y 兩變量各兩變量各在一在一定范圍內(nèi)變化，變化時兩變量定范圍內(nèi)變化，變化時兩變量 x 、y 間有對應(yīng)關(guān)系：間有對應(yīng)關(guān)系：因此兩變量因此兩變量 x 、y 間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。1 lg11yxx 1 lg.11yxx例：例：表達式表達式 給出了變量給出了變量 x，y

12、間的一個間的一個函數(shù)關(guān)系。函數(shù)關(guān)系。 此解析式包含兩個變量此解析式包含兩個變量：x 、y 兩變量各兩變量各在一在一定范圍內(nèi)變化，定范圍內(nèi)變化， x 、y 變化時其對應(yīng)關(guān)系以一個由多個變化時其對應(yīng)關(guān)系以一個由多個式子組成的分段表達式給出。因此兩變量式子組成的分段表達式給出。因此兩變量 x 、y 間構(gòu)成間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。函數(shù)關(guān)系。 10 0010 xyxx,xOy11 由以上的例可見，構(gòu)成函數(shù)關(guān)系需滿足以下條件由以上的例可見，構(gòu)成函數(shù)關(guān)系需滿足以下條件: : 在一個變化過程中至少存在兩個變量，兩個變量各在在一個變化過程中至少存在兩個變量，兩個變量各在 一定范圍內(nèi)變化。一定范圍內(nèi)變化。 當(dāng)一個量變化時

13、，另一個也隨之發(fā)生當(dāng)一個量變化時，另一個也隨之發(fā)生 變化，當(dāng)一個變量變化，當(dāng)一個變量取定某一定值時，取定某一定值時， 另一個也隨之確定。另一個也隨之確定。 各變量在其各自變化范圍內(nèi)變化時，各變量在其各自變化范圍內(nèi)變化時， 遵守確定的對應(yīng)法則。遵守確定的對應(yīng)法則。 設(shè)設(shè) x、y 是兩個變量是兩個變量，D 是一個給定數(shù)集，如果按是一個給定數(shù)集，如果按照某個法則照某個法則 f ，對于每個數(shù)，對于每個數(shù) x D，變量變量 y 都有唯一確定都有唯一確定的值和它相對應(yīng)，則稱這個對應(yīng)法則的值和它相對應(yīng)，則稱這個對應(yīng)法則 f 為定義在為定義在 D 上上的的函數(shù)。函數(shù)。數(shù)集數(shù)集 D 稱為該函數(shù)的定義域稱為該函數(shù)

14、的定義域，x 稱為自變量稱為自變量, , y 稱為因變量稱為因變量。 與自變量與自變量 x 對應(yīng)的因變量對應(yīng)的因變量 y 的值記作的值記作 f( x )，稱為稱為函函數(shù)數(shù) f 在點在點 x 處的函數(shù)處的函數(shù)值。比如當(dāng)值。比如當(dāng) x 取值取值 x 0 D 時，時，y 對對應(yīng)應(yīng)的值就是的值就是 f( x 0 ). 當(dāng)當(dāng) x 遍取定義域遍取定義域 D 內(nèi)的所有值時，內(nèi)的所有值時，對應(yīng)全體函數(shù)對應(yīng)全體函數(shù)值所組成的集合值所組成的集合 W 稱為稱為函數(shù)的函數(shù)的值值域，即域，即 W = y y = f( x )，x D . . 函數(shù)定義可簡單地歸結(jié)為構(gòu)成函數(shù)的兩個要素：函數(shù)定義可簡單地歸結(jié)為構(gòu)成函數(shù)的兩個

15、要素： 定義域定義域 D f ： 自變量的變化范圍。自變量的變化范圍。 對應(yīng)法則對應(yīng)法則 f ：自變量與因變量的對應(yīng)法則自變量與因變量的對應(yīng)法則。 函數(shù)的值域可由其定義域和對應(yīng)規(guī)則確定，即函數(shù)的值域可由其定義域和對應(yīng)規(guī)則確定，即 R f = y y = f( x )，x D f = f( D f ). 函數(shù)的兩個要素實際也給出了判別函數(shù)的兩個要素實際也給出了判別兩函數(shù)是否相同的方法，即若兩函數(shù)的兩函數(shù)是否相同的方法，即若兩函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)法則也相同，這兩函定義域相同，對應(yīng)法則也相同，這兩函數(shù)就是相同的，否則就是不同的。數(shù)就是相同的，否則就是不同的。 需注意需注意定義中定義中記號的雙重身份

16、，記號的雙重身份，x 既表示自變量又既表示自變量又表示自變量的值表示自變量的值；y 既表示因變量又表示因變量的值既表示因變量又表示因變量的值。因此在以后抽象命題的討論中，應(yīng)注意區(qū)分字母因此在以后抽象命題的討論中，應(yīng)注意區(qū)分字母 x 、y在所論在所論命題中的意義。命題中的意義。 定義中定義中記號記號 f 表示自變量表示自變量 x 與因變量與因變量 y 間的對應(yīng)法間的對應(yīng)法則，則，記號記號 f( x )表示自變量表示自變量 x 所所對應(yīng)函數(shù)值。但在一些對應(yīng)函數(shù)值。但在一些問題的討論中，為敘述方便，也常用記號問題的討論中，為敘述方便，也常用記號 f( x )，x D, ,或或 y = f( x )，

17、x D 來表示定義在來表示定義在 D 上的上的函數(shù)值。函數(shù)值。 函數(shù)函數(shù)記號是可以任意選取的，記號是可以任意選取的，除常用的除常用的 f 外外，還可，還可用其它英文字母或希臘字母用其它英文字母或希臘字母表示表示，如，如 g、F、 等。相等。相應(yīng)地，函數(shù)可記作應(yīng)地，函數(shù)可記作 y = g( x )，y = F( x )，y = ( x )等。等。有時還可直接用有時還可直接用因變量因變量記號來記號來表示函數(shù)，即把函數(shù)記作表示函數(shù)，即把函數(shù)記作 y = y( x ). . 一般而言，不同的字母表示不同一般而言，不同的字母表示不同的的對應(yīng)法則。特別是在同一問題中，對應(yīng)法則。特別是在同一問題中，在討論到

18、幾個不同函數(shù)時，需用不同在討論到幾個不同函數(shù)時，需用不同記號來表示不同的函數(shù)。記號來表示不同的函數(shù)。 函數(shù)的性質(zhì)取決于其定義域與對應(yīng)法則函數(shù)的性質(zhì)取決于其定義域與對應(yīng)法則，在表示形，在表示形式上體現(xiàn)在式上體現(xiàn)在定義域與對應(yīng)法則定義域與對應(yīng)法則所用的字母，而與自變量所用的字母，而與自變量和和因變量因變量用什么字母無關(guān)。用什么字母無關(guān)。 y = f( x )，x D ；y = f( x )，x E ； y = g( x )，x D ，y = g( x )，x E ，通常表示通常表示不同的不同的函數(shù)。函數(shù)。 y = f( x )，x D ； u = f( x )，x D ； y = f( t )，t

19、 D ； u = f( t )，t D ；卻表示卻表示同一個同一個函數(shù)。函數(shù)。例如：例如：y = f( x )= sin x，x R =( - - ,+,+ )； y = f( x )= sin x，x D =( - - , , )表示表示不同的不同的函數(shù)，因為它們的定義域不同。函數(shù)，因為它們的定義域不同。 y = f( x )= lg x 2，x D =( - - , , 0 )( 0 ,+,+ ) ； y = g( x )= 2lg x，x E =( 0 ,+,+ ) ；表示表示不同的不同的函數(shù)，因為它們的定義域不同。函數(shù)，因為它們的定義域不同。 y = f( x )= sin x，x R

20、 =( - - ,+,+ ) ； y = f( t )= sin t，t R =( - - ,+,+ ) ； u = f( t )= sin t，t R =( - - ,+,+ ) ；均表示均表示同一個同一個函數(shù)，因為它們的定義域函數(shù)，因為它們的定義域和對應(yīng)法則都相同。和對應(yīng)法則都相同。 函數(shù)定義域是構(gòu)成函數(shù)的兩要素之一，確定函數(shù)定函數(shù)定義域是構(gòu)成函數(shù)的兩要素之一，確定函數(shù)定義域一般根據(jù)三條原則：義域一般根據(jù)三條原則： 由問題的實際意義確定定義域由問題的實際意義確定定義域 V = x( a - - 2 x )2，0 x 1 x x - -1 =( 1 ,+,+ ). . 11x , 對應(yīng)法則應(yīng)

21、是自變量和因變量間確定的對應(yīng)規(guī)則。對應(yīng)法則應(yīng)是自變量和因變量間確定的對應(yīng)規(guī)則。這種這種“確定性確定性”包含兩層意思：包含兩層意思： 一層意思是，對于給定的自變一層意思是，對于給定的自變量量 x 的取值的取值 x 0 ，因變量的值因變量的值 f( x 0 )必須是確定的必須是確定的； 另一層意思是，對于給定的自另一層意思是，對于給定的自變量的一個取值變量的一個取值 x ，對應(yīng)的因變量對應(yīng)的因變量的值的值 f( x )通常是一個，通常是一個， 若對應(yīng)因若對應(yīng)因變量的值不止一個，但其取值的個變量的值不止一個，但其取值的個數(shù)及取值形式必須是確定的數(shù)及取值形式必須是確定的。例如例如：在長途汽車行駛過程中

22、，汽車行駛的在長途汽車行駛過程中，汽車行駛的“速度”與與某乘客的某乘客的“飯量飯量”是同一過程中的兩個變量，但二者不是同一過程中的兩個變量，但二者不構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。因為它們之間的關(guān)系不是確定的構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。因為它們之間的關(guān)系不是確定的。又如又如：在用老虎機賭博過程中，賭徒投入老虎機的在用老虎機賭博過程中，賭徒投入老虎機的“錢錢數(shù)數(shù)”與老虎機吐出的與老虎機吐出的“錢數(shù)錢數(shù)”是是同一過程中的兩個變量，但二者同一過程中的兩個變量，但二者不構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。因為它們之間不構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。因為它們之間的關(guān)系不是確定的的關(guān)系不是確定的。Oy例例：若約定以若約定以 x 表示自變量，表示自變量，y 表示因變量，則式子

23、表示因變量，則式子 x = C 不構(gòu)成不構(gòu)成 x、y 間的函數(shù)關(guān)系。因為此時因變量間的函數(shù)關(guān)系。因為此時因變量 y 的的取值及值的個數(shù)都不是確定的。取值及值的個數(shù)都不是確定的。 另一方面，式子另一方面，式子 y = C 卻構(gòu)成卻構(gòu)成 x、y 間的函數(shù)關(guān)系，間的函數(shù)關(guān)系，因為對于任意的因為對于任意的 x，總有唯一確定的，總有唯一確定的 y = C 與之對應(yīng)。與之對應(yīng)。xOyxCyCxxx?y yC 對應(yīng)法則是自變量和因變量間確定的對應(yīng)規(guī)則，它對應(yīng)法則是自變量和因變量間確定的對應(yīng)規(guī)則，它可由多種不同形式給出?？捎啥喾N不同形式給出。 在氣溫和時間的函數(shù)關(guān)系問題中，時間和氣溫間的在氣溫和時間的函數(shù)關(guān)系

24、問題中，時間和氣溫間的對應(yīng)法則對應(yīng)法則 C = C( t )常常由曲線圖給出。由曲線圖給出。 CC tt3691215182124OC1520105 在國民經(jīng)濟生產(chǎn)總值與年份的函數(shù)關(guān)系中，對應(yīng)在國民經(jīng)濟生產(chǎn)總值與年份的函數(shù)關(guān)系中，對應(yīng)法則常由圖表給出：法則常由圖表給出：例例：設(shè)有方程設(shè)有方程 y 3 + x y 2 + x 2y + x 3 + 1 = 0，則此方程確定，則此方程確定了了 x、y 間的一個函數(shù)關(guān)系，對應(yīng)法則即為給定方程。間的一個函數(shù)關(guān)系，對應(yīng)法則即為給定方程。 若任意給定若任意給定 x = x 0 ，則由方程解的存在性知，則由方程解的存在性知，必存在相應(yīng)的必存在相應(yīng)的 y =

25、y 0 ，滿足滿足 由函數(shù)定義，方程確定了由函數(shù)定義，方程確定了 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù)。 一般地，對于形如一般地，對于形如 F( x , ,y )= 0 的方程的方程，只要只要其滿足一定的條件都可確其滿足一定的條件都可確定一個函數(shù)定一個函數(shù) y = f( x ). .3223 00000010yx yx yx, ,zOyx zF x y, yfx例例：設(shè)設(shè)“y 是不超過是不超過 x 的最大整數(shù)的最大整數(shù)”，則對任意則對任意 x R，按照這句話可構(gòu)成按照這句話可構(gòu)成 x ，y 間的一個函數(shù)關(guān)系，記作間的一個函數(shù)關(guān)系，記作： y = f( x )= x，這一函數(shù)稱為這一函數(shù)稱為 取整函數(shù)取整

26、函數(shù)。 顯然對于任意實數(shù)顯然對于任意實數(shù) x n, ,n +1 R，都有都有 y = x= n . . 例如，取例如，取 x = 5/ /7，則有，則有 y = 5/ /7 = 0 ， 取取 x = - - ，則有則有 y =- - = -4 ， 即這句話可構(gòu)成即這句話可構(gòu)成 x ，y 間的一個函數(shù)關(guān)系，間的一個函數(shù)關(guān)系，因此因此對對應(yīng)法則也可由一句話給出。應(yīng)法則也可由一句話給出。yx 1xn n,1xO123 45623456y 當(dāng)函數(shù)以解析式給出時，函數(shù)的對應(yīng)法則可以不是當(dāng)函數(shù)以解析式給出時，函數(shù)的對應(yīng)法則可以不是一個解析式，有時一個函數(shù)的對應(yīng)法則要用幾個式子才一個解析式，有時一個函數(shù)的對

27、應(yīng)法則要用幾個式子才能表示，這種在自變量的不同變化范圍內(nèi)，對應(yīng)法則用能表示，這種在自變量的不同變化范圍內(nèi)，對應(yīng)法則用不同式子表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)。不同式子表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)。 例如，絕對值例如，絕對值函數(shù)函數(shù) 就是一個分段函數(shù)。它的就是一個分段函數(shù)。它的定義域為定義域為 D =( - - ,+,+ )，值域為值域為 R f = 0 ,+,+ ). . 00 xxyxxx, , , ,. .xOy 又如，符號又如，符號函數(shù)函數(shù) 也是一個分段函數(shù)。它的定義域為也是一個分段函數(shù)。它的定義域為 D =( - - ,+,+ )，值，值域為域為 R f = - -1 , ,0 , ,1 . . 需注

28、意的是，需注意的是，分段函數(shù)是用多個式子表示的一個函分段函數(shù)是用多個式子表示的一個函數(shù)，而不是多個函數(shù)。數(shù)，而不是多個函數(shù)。 10sgn0010 xyxxx,.,.xOy11例例：某市的出租車按如下規(guī)定收費：當(dāng)行駛里程不超過某市的出租車按如下規(guī)定收費：當(dāng)行駛里程不超過3km 時，一律收起步費時，一律收起步費 10 元；當(dāng)元；當(dāng)行駛里程超過行駛里程超過 3km 時時,除起步費外，對除起步費外，對超過超過 3km 但但不超過不超過 10 km 的部分，按的部分，按每千米每千米 2 元計費，對元計費，對超過超過 10 km 的部分按每千米的部分按每千米 3 元計元計, ,費費，試寫出車費試寫出車費

29、C 與與行駛里程行駛里程 s 之間的函數(shù)關(guān)系。之間的函數(shù)關(guān)系。 由于出租車按里程的不同有不同的計費標(biāo)準(zhǔn)，由于出租車按里程的不同有不同的計費標(biāo)準(zhǔn)，因而車費因而車費 C 與行駛里程與行駛里程 s 間的函數(shù)關(guān)系應(yīng)是分段函數(shù)間的函數(shù)關(guān)系應(yīng)是分段函數(shù)。 為寫出此分段函數(shù)的表達式，首為寫出此分段函數(shù)的表達式，首先應(yīng)寫出對各不同行車?yán)锍痰南葢?yīng)寫出對各不同行車?yán)锍痰能囐M車費 C 與與里程里程 s 間的函數(shù)表達式，再間的函數(shù)表達式，再將其綜合成一個統(tǒng)一的表達式將其綜合成一個統(tǒng)一的表達式。 以以 C = C( s )表示這個函數(shù)表示這個函數(shù)，其中，其中 s 的單位是的單位是 km，C的單位是元。按問題的規(guī)定：的單

30、位是元。按問題的規(guī)定： 當(dāng)當(dāng) 0 s 3 時，時，C = 10； 當(dāng)當(dāng) 3 10 時，時，C = 10 + 2( 10 3 )+ 3( s 10 )= 3s 6 . . 上述上述車費車費 C 與行駛里程與行駛里程 s 間的函數(shù)關(guān)系可寫為：間的函數(shù)關(guān)系可寫為： 100324 3103610.sCCsssss,例例：設(shè)收音機每臺售價為設(shè)收音機每臺售價為 90 元元，成本為成本為 60 元元。廠方為廠方為鼓勵銷售商大量采購鼓勵銷售商大量采購，決定凡是訂購量超過決定凡是訂購量超過 100 臺以上臺以上的的，每多訂購一臺每多訂購一臺，銷售價就降低一分銷售價就降低一分，但最低價為每但最低價為每臺臺 75

31、元元。試考慮以下問題試考慮以下問題：( 1 ) 將每臺收音機的實際價格將每臺收音機的實際價格 p 表為訂購量表為訂購量 x 的函數(shù)的函數(shù)；( 2 ) 將廠方所獲得的利潤將廠方所獲得的利潤 P 表示為訂購量表示為訂購量 x 的函數(shù)的函數(shù)；( 3 ) 某一商行訂購了某一商行訂購了1000臺，臺，廠方可獲利多少廠方可獲利多少？ 由于每臺收音機的實際價格是隨由于每臺收音機的實際價格是隨采購量采購量 x 的大小而變化的，因此其實際的大小而變化的，因此其實際價格價格 p( x )及廠方所得利潤及廠方所得利潤 P( x )均是采購量均是采購量 x 的分段函數(shù)。的分段函數(shù)。 對于分段函數(shù)表達式的確定，應(yīng)先根據(jù)

32、問題的條件對于分段函數(shù)表達式的確定，應(yīng)先根據(jù)問題的條件逐段寫出其對應(yīng)的式子，再綜合成總的表達式。逐段寫出其對應(yīng)的式子，再綜合成總的表達式。 按廠方的銷售定價，此時每臺收音機的價格為按廠方的銷售定價，此時每臺收音機的價格為 p( x )= 90， 廠方所獲得的利潤廠方所獲得的利潤 P( x )與訂購量與訂購量 x 的關(guān)系為的關(guān)系為 P( x )=( 90 - - 60)x = 30 x . .C. P. U. Math. Dept. 楊訪楊訪 按廠方的銷售計劃，此時每臺收音機的價格為按廠方的銷售計劃，此時每臺收音機的價格為 p( x )= 90 - -( x - - 100 ) 0. .01 可

33、解得可解得 x 1600 . . 廠方相應(yīng)的利潤為廠方相應(yīng)的利潤為 按廠方的銷售計劃，此時每臺收音機的價格為按廠方的銷售計劃，此時每臺收音機的價格為 p( x )= 75， 廠方相應(yīng)的利潤為廠方相應(yīng)的利潤為 P( x )=( 75 - - 60 )x = 15 x . . 1009075100 x, , 10031009060100100 xxP xxx. . 綜上討論，求得廠方每臺收音機的實際價格綜上討論，求得廠方每臺收音機的實際價格 p( x )及利潤及利潤 P( x )與與采采購量購量 x 關(guān)系關(guān)系的分段函數(shù)為的分段函數(shù)為 令：令：x = 1000，可求得，可求得即訂購即訂購 1000

34、臺，廠方可獲利臺，廠方可獲利 21000 元。元。 900100100901001600100751600 xxp xxx, , , , , ,. . 30010010090601001600100151600 xxxP xxxxx, , , , , ,. . 100010010009060100021000100P. . 在函數(shù)的定義中，對每個在函數(shù)的定義中，對每個 x D，對應(yīng)的函數(shù)值對應(yīng)的函數(shù)值 y 總是唯一的總是唯一的，這樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù)這樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù)。 從實際情況考慮，由函數(shù)關(guān)系確定的函數(shù)形式常會從實際情況考慮，由函數(shù)關(guān)系確定的函數(shù)形式常會出現(xiàn)一個自變量值對應(yīng)多個

35、因變量的值的情形。出現(xiàn)一個自變量值對應(yīng)多個因變量的值的情形。 如果給定一個對應(yīng)法則，對每個如果給定一個對應(yīng)法則，對每個 x D，總有確定總有確定的的 y 值與之對應(yīng)值與之對應(yīng)，但這個但這個 y 不不總是唯一的總是唯一的，則稱這種對則稱這種對應(yīng)法則確定了一個多值函數(shù)應(yīng)法則確定了一個多值函數(shù)。 例如，由方程例如，由方程 x 2 + y 2 = a 2 所所確定的函數(shù)確定的函數(shù) y = f( x )就就是多值函數(shù)。因為對每個是多值函數(shù)。因為對每個 x - a ,a，由方程可確定兩方程可確定兩個因變量的值個因變量的值 2222 12 .yaxyax, , 由于討論問題的需要，對所論及的函數(shù)總希望當(dāng)給由

36、于討論問題的需要，對所論及的函數(shù)總希望當(dāng)給定自變量的一個值定自變量的一個值 x，對應(yīng)因變量對應(yīng)因變量 y 的值是唯一確定的的值是唯一確定的, ,即希望函數(shù)是單值函數(shù)。因此在遇到多值函數(shù)的情形，即希望函數(shù)是單值函數(shù)。因此在遇到多值函數(shù)的情形，就需設(shè)法將其化為單值函數(shù)進行討論，這一過程稱為函就需設(shè)法將其化為單值函數(shù)進行討論，這一過程稱為函數(shù)的單值化。數(shù)的單值化。 對于多值函數(shù)，往往只要附加一些條件就可將其單對于多值函數(shù)，往往只要附加一些條件就可將其單值化，這樣得到的單值函數(shù)稱為多值函數(shù)的單值分支值化，這樣得到的單值函數(shù)稱為多值函數(shù)的單值分支。 例如，對于由方程例如，對于由方程 x 2 + y 2

37、= a 2 給出給出的對應(yīng)法則中的對應(yīng)法則中, ,附加條件附加條件 y 0，即以，即以 x 2 + y 2 = a 2 且且 y 0 作為作為對應(yīng)法則對應(yīng)法則, ,就可得到其一個單值分支就可得到其一個單值分支 同理，只要附加條件同理，只要附加條件 y 0，就可得到另一個單值就可得到另一個單值分支分支 22 1.yyaxx 22 2.yyaxx222xyaxOyaax 22 10yyaxyx, , 22 20yyaxyx, , 函數(shù)概念的形成及演變經(jīng)歷了相當(dāng)長的時間，以函數(shù)概念的形成及演變經(jīng)歷了相當(dāng)長的時間，以上關(guān)于函數(shù)的定義是經(jīng)過一百多年的發(fā)展和演變而建上關(guān)于函數(shù)的定義是經(jīng)過一百多年的發(fā)展和演

38、變而建立和形成的。它最初由俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基和德立和形成的。它最初由俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基和德國數(shù)學(xué)家迪里赫勒在十九世紀(jì)三十年代引入，且一經(jīng)國數(shù)學(xué)家迪里赫勒在十九世紀(jì)三十年代引入，且一經(jīng)提出便很快獲得了數(shù)學(xué)界的普遍承認(rèn)，并沿用至今。提出便很快獲得了數(shù)學(xué)界的普遍承認(rèn)，并沿用至今。 微積分用形數(shù)結(jié)合的方法研究函數(shù)性質(zhì)，通過函數(shù)微積分用形數(shù)結(jié)合的方法研究函數(shù)性質(zhì)，通過函數(shù)圖形考察函數(shù)性質(zhì)是研究函數(shù)的基本手段之一，作給定圖形考察函數(shù)性質(zhì)是研究函數(shù)的基本手段之一，作給定函數(shù)圖形是研究函數(shù)的基本方法。函數(shù)圖形是研究函數(shù)的基本方法。 設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù) y = f( x )，x D，任取，任取 x D，由

39、對應(yīng)法，由對應(yīng)法則則 f 可確定數(shù)可確定數(shù) y ，由此可得有序數(shù)組，由此可得有序數(shù)組( x , ,y )，于是在直，于是在直角坐標(biāo)系下可確定角坐標(biāo)系下可確定 xOy 平面上的點平面上的點 P( x , ,y )，讓，讓 x 遍取遍取 D 中的值中的值可得一個點集可得一個點集 C = P( x , ,y ) y = f( x ), ,x D ，該點集就稱為函數(shù)該點集就稱為函數(shù) y = f( x )的圖形的圖形。fRDxOy .yfxDx, xy P x y, 研究研究函數(shù)性質(zhì)既要注意不同函數(shù)具有的特性，也應(yīng)函數(shù)性質(zhì)既要注意不同函數(shù)具有的特性，也應(yīng)了解它們可能具有的某些共同性質(zhì)，理解和掌握函數(shù)的了

40、解它們可能具有的某些共同性質(zhì)，理解和掌握函數(shù)的共性對函數(shù)的研究和討論是必不可少的。共性對函數(shù)的研究和討論是必不可少的。 函數(shù)有界性概念是函數(shù)在數(shù)集上的一種總體性質(zhì)，函數(shù)有界性概念是函數(shù)在數(shù)集上的一種總體性質(zhì)，它所描述它所描述的是在自變量的一定變化范圍內(nèi)函數(shù)值的變化的是在自變量的一定變化范圍內(nèi)函數(shù)值的變化范圍大至范圍大至“有多大有多大”。由于確定函數(shù)的值域常較麻煩，。由于確定函數(shù)的值域常較麻煩，而確定函數(shù)的有界性相對方便，因而函數(shù)的有界性對函而確定函數(shù)的有界性相對方便，因而函數(shù)的有界性對函數(shù)各類問題的討論有重要意義。數(shù)各類問題的討論有重要意義。 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f( x )的定義域為的定義

41、域為 D，數(shù)集，數(shù)集 X D ，如果，如果存在正數(shù)存在正數(shù) M ，使得對任一，使得對任一 x X，都有，都有 f( x ) M，就就稱函數(shù)稱函數(shù) y = f( x )在在 X 內(nèi)內(nèi) 有界。有界。 如果這樣的正數(shù)如果這樣的正數(shù) M 不存在，則不存在，則稱函數(shù)稱函數(shù) f( x )在在 X 內(nèi)內(nèi)無界。無界。Oy 0MMxXfx , , yfxfXDxMM 函數(shù)只要有界，則其函數(shù)只要有界，則其“界界”總不是唯一的。因為總不是唯一的。因為對數(shù)集對數(shù)集 X 而言，若存在一個而言，若存在一個 M 0 ，使得，使得 f( x ) M, ,則必有則必有 f( x ) M + 1 ，從而，從而 M + 1 也是也

42、是 f( x )的一個的一個“界界”。因此考慮函數(shù)有界性，關(guān)鍵在于確定其。因此考慮函數(shù)有界性，關(guān)鍵在于確定其“界界”的存在性，至于界的存在性，至于界 M 的具體值通常并不特別重要的的具體值通常并不特別重要的。 例如，就函數(shù)例如，就函數(shù) y = sin x 而言而言，對數(shù)集對數(shù)集 X =( - ,+ ), ,存在數(shù)存在數(shù) M = 1，使得使得 sin x 1 . . 因此，因此，數(shù)數(shù) M = 1 是函是函數(shù)數(shù) y = sin x 在在數(shù)集數(shù)集 X 上的一個界，但同時有上的一個界，但同時有 sin x 2, ,即即 M = 2 也是函數(shù)也是函數(shù) y = sin x 在在數(shù)集數(shù)集 X 上的一個界。上

43、的一個界。 對給定的函數(shù)，通常并不能一般性地說其有界或無對給定的函數(shù)，通常并不能一般性地說其有界或無界，而必須在指定數(shù)集上考慮其有界性。因為即使該函界，而必須在指定數(shù)集上考慮其有界性。因為即使該函數(shù)在某一數(shù)集上無界，在另一數(shù)集上卻可以是有界的。數(shù)在某一數(shù)集上無界，在另一數(shù)集上卻可以是有界的。 例如，函數(shù)例如，函數(shù) y = tan x 在數(shù)在數(shù)集集( - - / / 2, , / / 2 )內(nèi)雖然無界，內(nèi)雖然無界，但其在數(shù)集但其在數(shù)集( - - / /4, , / /4 )內(nèi)卻內(nèi)卻是有界的。是有界的。xOytanyx2244 又如，函數(shù)又如，函數(shù) y = 1/ /x 在區(qū)間在區(qū)間( 0, ,1

44、)內(nèi)內(nèi)無界，無界，但其在但其在點點 x 0 = 1/ /100 的某鄰域的某鄰域 U( ( x 0 , , ) )內(nèi)內(nèi)卻是有界的。卻是有界的。 xOy 1fxx0 x11100 xU , 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f( x )的定義域為的定義域為 D，區(qū)間區(qū)間 I D . . 如果對于區(qū)間如果對于區(qū)間 I 上的任意兩點上的任意兩點 x 1 、x 2，當(dāng)當(dāng) x 1 x 2 時，恒有時，恒有 f( x1 ) f( x 2 )，則稱函數(shù)則稱函數(shù) f( x )在在區(qū)間區(qū)間 I 上是上是單調(diào)增加的。單調(diào)增加的。 如果對于區(qū)間如果對于區(qū)間 I 上的任意兩點上的任意兩點 x 1、x 2，當(dāng)當(dāng) x 1 f( x 2 )，

45、則稱則稱函數(shù)函數(shù) f( x )在在區(qū)間區(qū)間 I 上是單調(diào)減小的上是單調(diào)減小的。 對于微積分的討論而言，在連續(xù)分布的數(shù)集上比較對于微積分的討論而言，在連續(xù)分布的數(shù)集上比較函數(shù)值的大小才有實際意義，故通常是在區(qū)間上而非在函數(shù)值的大小才有實際意義，故通常是在區(qū)間上而非在離散數(shù)集上定義和考察函數(shù)的單調(diào)性，這是和函數(shù)的有離散數(shù)集上定義和考察函數(shù)的單調(diào)性，這是和函數(shù)的有界性的定義不同之處。界性的定義不同之處。 數(shù)列是一類特殊函數(shù)數(shù)列是一類特殊函數(shù)，其自變量是下標(biāo)其自變量是下標(biāo)(在自然數(shù)在自然數(shù)集內(nèi)取值集內(nèi)取值)，故其單調(diào)性是對下標(biāo)而言的故其單調(diào)性是對下標(biāo)而言的。對給定數(shù)列對給定數(shù)列 x n 若對一切若對一

46、切 n 有有 x n x n +1 )則稱此數(shù)則稱此數(shù)列是單調(diào)增加列是單調(diào)增加 (減小減小)的的。 xOy yfx2x1x12ffxx12ffxx 由于要求由于要求 x1 、x 2 必須是任意的，直接驗證不等式必須是任意的，直接驗證不等式 f( x1 ) f( x 2 )常是困難的。因此，函數(shù)單調(diào)性的定義通常是困難的。因此，函數(shù)單調(diào)性的定義通常并不能提供判別函數(shù)單調(diào)性的一般方法。常并不能提供判別函數(shù)單調(diào)性的一般方法。 應(yīng)用一般將其轉(zhuǎn)化為證函數(shù)增量的保號性，即設(shè)法應(yīng)用一般將其轉(zhuǎn)化為證函數(shù)增量的保號性，即設(shè)法證明有證明有 f = f( x 2 )- - f( x1 ) 0,( 或或 f 0 ).

47、函數(shù)增量保號性證明的一般函數(shù)增量保號性證明的一般方法將在微分學(xué)應(yīng)用中討論方法將在微分學(xué)應(yīng)用中討論。 函數(shù)是否是函數(shù)是否是“1-11-1對應(yīng)對應(yīng)”的對函數(shù)性質(zhì)的討論常是的對函數(shù)性質(zhì)的討論常是重要的，籍此可確定函數(shù)的單值性及反函數(shù)的存在性。重要的，籍此可確定函數(shù)的單值性及反函數(shù)的存在性。然而對于給定函數(shù)，直接判斷其是否具有這種然而對于給定函數(shù)，直接判斷其是否具有這種“1-11-1對對應(yīng)應(yīng)”關(guān)系往往是困難的。函數(shù)的單調(diào)性給出了判別是否關(guān)系往往是困難的。函數(shù)的單調(diào)性給出了判別是否具有具有“1-11-1對應(yīng)對應(yīng)”關(guān)系的關(guān)系的充分條件充分條件，即若，即若 y = f( x )在其在其定義域定義域 D f

48、上單調(diào)，則有上單調(diào)，則有 1111ffDWxy 即即, 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f( x )的定義域的定義域 D 關(guān)于原點對稱，若對于任關(guān)于原點對稱，若對于任意的意的 x D , , f( - -x )= f ( x )恒成立，則稱恒成立，則稱 f( x )為偶函數(shù)為偶函數(shù); ;若對于任意若對于任意 x D , , f( - -x )= - - f( x )恒成立，則稱恒成立，則稱 f( x )為奇函數(shù)為奇函數(shù)。 需注意的是，函數(shù)的奇偶性是定義在以原點為需注意的是，函數(shù)的奇偶性是定義在以原點為對稱對稱的區(qū)間上的，的區(qū)間上的，非對稱區(qū)間上不能定義奇偶性。非對稱區(qū)間上不能定義奇偶性。例如，不能說函數(shù)例如，不

49、能說函數(shù) y = sin x，x 0, , 是奇函數(shù)是奇函數(shù)。aaaaxOy ffxxxyO ffxx對于形式較為復(fù)雜的函數(shù)，直接根據(jù)定義判別其對于形式較為復(fù)雜的函數(shù)，直接根據(jù)定義判別其奇、偶性有時較麻煩。應(yīng)用中?？煽紤]通過奇、偶函數(shù)奇、偶性有時較麻煩。應(yīng)用中?？煽紤]通過奇、偶函數(shù)的運算性質(zhì)判別其奇、偶性。的運算性質(zhì)判別其奇、偶性。奇奇奇奇 = = 奇，偶偶奇，偶偶 = = 偶；偶； 奇奇奇奇 = = 偶，偶偶，偶偶偶 = = 偶。偶。奇偶性是函數(shù)一種基本性質(zhì)，利用這種基本性質(zhì)常奇偶性是函數(shù)一種基本性質(zhì)，利用這種基本性質(zhì)?？煞奖愕貙瘮?shù)的其它性質(zhì)進行討論。然而，對于定義可方便地對函數(shù)的其它性質(zhì)

50、進行討論。然而，對于定義在對稱區(qū)間上的函數(shù)而言，其未必總具有奇偶性。因此在對稱區(qū)間上的函數(shù)而言，其未必總具有奇偶性。因此若能將定義在對稱區(qū)間上的函數(shù)表示為奇函數(shù)與偶函數(shù)若能將定義在對稱區(qū)間上的函數(shù)表示為奇函數(shù)與偶函數(shù), ,則可使其部分地具有奇函數(shù)與偶函數(shù)的性質(zhì)。則可使其部分地具有奇函數(shù)與偶函數(shù)的性質(zhì)。 具體有如下結(jié)果：具體有如下結(jié)果： 設(shè)有定義在對稱區(qū)間設(shè)有定義在對稱區(qū)間 - - a , ,a 上的函數(shù)上的函數(shù) f( x )，假定假定f( x )可分解為兩個函數(shù)之和，即可分解為兩個函數(shù)之和，即 f( x )= = F( x )+ + G( x ) ( 1 )其中其中 F( x ), , G(

51、x )分別為分別為 - - a , ,a 上的偶函數(shù)和奇函數(shù)上的偶函數(shù)和奇函數(shù), ,為證可分解性只需求出為證可分解性只需求出 F( x ), , G( x )的具體形式。的具體形式。 由于由于 F( x ), , G( x )分別是分別是 - - a , ,a 上的偶函數(shù)和奇上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，故有函數(shù)，故有 F( - -x )= F( x )，G( - -x )= - - G( x ). . 代入代入( 1 )式式 f ( x )= F( x )+ + G( x )得得 f ( - -x )= F( - - x )- - G( - - x )= F( x )- - G( x ) ( 2 )

52、由由 ( 1 )、( 2 )兩式解得兩式解得 設(shè)設(shè) f( x )另有分解式另有分解式 f( x )= F1( x )+ + G1( x ) ( 3 ) F1( x )、G1( x )分別為分別為 - - a , ,a 上的偶函數(shù)和奇函數(shù)。上的偶函數(shù)和奇函數(shù)。 因此有因此有 F( x )+ + G( x )= F1( x )+ + G1( x ) ( 4 ) 為說明分解的唯一性只需證有為說明分解的唯一性只需證有 F( x )= F1( x )，G( x )= G1( x ) 在在式中用式中用 - - x 代代 x 得得 F( - -x )+ + G( - -x )= F1( - -x )+ +

53、G1( - -x ) ( 5 ) 22ffffxxxxF xG x,. 由所設(shè)由所設(shè) F( x )、F1( x )為為- - a , ,a 上的偶函數(shù)，上的偶函數(shù)，G( x )、G1( x )為為- - a , ,a 上的奇函數(shù)上的奇函數(shù)，即有，即有 F( - -x )= F( x )， G( - -x )= - - G( x )， F1( - -x )= F1 ( x )， G1( - -x )= - - G 1( x ). .代入代入( 5 )式得式得 F( x )- - G( x )= F1( x )- - G1( x ) ( 6 ) 結(jié)合結(jié)合( 4 )式式 F( x )+ + G( x

54、 )= F1( x )+ G1( x ) 解得解得 F( x )= F1( x )， G( x )= G1( x ). .即即 f( x )的奇、偶分解式是唯一的。的奇、偶分解式是唯一的。 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f( x )的定義域為的定義域為 D，如果存在不為零的數(shù)如果存在不為零的數(shù) l 使得對使得對 x D，有有 x l D，且且 f( x + l )= f( x )恒成恒成立立，則稱則稱 f( x )為周期函數(shù)為周期函數(shù)， l 稱為稱為 f( x )的周期。的周期。 通常所說的周期函數(shù)的周期通常所說的周期函數(shù)的周期是指其最小正周期。是指其最小正周期。若若 f( x )為數(shù)集為數(shù)集 D 上的周期函

55、數(shù)，則上的周期函數(shù)，則 D 必必為無界數(shù)為無界數(shù)集。集。因為由周期函數(shù)的定義，對任意自然數(shù)因為由周期函數(shù)的定義，對任意自然數(shù) n 有有 x D x l D x n l D 從而從而 D 既無上界又無下界。由此可推出，若既無上界又無下界。由此可推出，若 f( x )的定義域為有界數(shù)集，則的定義域為有界數(shù)集，則 f( x )不可能是周期函數(shù)。不可能是周期函數(shù)。 盡管通常所說的周期函數(shù)周期指的是最小正周期，盡管通常所說的周期函數(shù)周期指的是最小正周期，但這往往是對初等函數(shù)而言的。事實上，對一般周期函但這往往是對初等函數(shù)而言的。事實上，對一般周期函數(shù)而言，并非總有最小正周期。數(shù)而言，并非總有最小正周期。

56、 例例：考慮迪利克雷函數(shù)考慮迪利克雷函數(shù) 的周期性。的周期性。 就就 x 為有理數(shù)和無理數(shù)分別進行討論為有理數(shù)和無理數(shù)分別進行討論： 由有理數(shù)的運算性質(zhì)知，對任一有理數(shù)由有理數(shù)的運算性質(zhì)知，對任一有理數(shù) q ， 若若 x 為有理數(shù)，則為有理數(shù)，則 x + q 為有理數(shù)，于是為有理數(shù)，于是 ( x + q )= 1 = ( x )； 若若 x 為無理數(shù)，則為無理數(shù)，則 x + q 為無理數(shù)，于是為無理數(shù)，于是 ( x + q )= 0 = ( x ) 由此可知，由此可知，任何有理數(shù)任何有理數(shù) q 均是函數(shù)均是函數(shù) ( x )的周期，的周期，因此它沒有最小正周期。因此它沒有最小正周期。 1 0 .

57、xYxxW , 周期函數(shù)的判別是較為困難的。其原因在于，根據(jù)周期函數(shù)的判別是較為困難的。其原因在于，根據(jù)周期函數(shù)定義，要說明周期函數(shù)定義，要說明 f( x )是數(shù)集是數(shù)集 D 上的周期函數(shù)，上的周期函數(shù)，需證明方程需證明方程 f( x + l )- - f( x )= 0 有正數(shù)公式解有正數(shù)公式解 l ，而由，而由方程理論知，即使對于簡單的多項式方程，五次以上的方程理論知，即使對于簡單的多項式方程，五次以上的方程沒有公式解，因此要說明方程沒有公式解，因此要說明 l 的存在性常有困難。的存在性常有困難。 常用的確定函數(shù)周期性的方法有：常用的確定函數(shù)周期性的方法有： 用定義進行判別；用定義進行判別

58、； 通過性質(zhì)進行判別；通過性質(zhì)進行判別； 利用零點進行判別；利用零點進行判別； 利用幾何方法進行判別。利用幾何方法進行判別。 函數(shù)函數(shù) y = f( x )反映了一個變化過程中兩個變量反映了一個變化過程中兩個變量 x 和和 y 間的對應(yīng)關(guān)系，根據(jù)問題的具體情況選擇一個變量間的對應(yīng)關(guān)系，根據(jù)問題的具體情況選擇一個變量 x作為自變量，另一個就是因變量。當(dāng)自變量作為自變量，另一個就是因變量。當(dāng)自變量 x 在在定義域定義域 D 內(nèi)取定一個值后，因內(nèi)取定一個值后，因變量變量 y 的值也隨之唯一確定。的值也隨之唯一確定。 然而，自變量與因變量的選擇并不是絕對的，往往然而，自變量與因變量的選擇并不是絕對的，

59、往往是根據(jù)討論的需要確定的。數(shù)學(xué)上，如果把一個函數(shù)中是根據(jù)討論的需要確定的。數(shù)學(xué)上，如果把一個函數(shù)中的的自變量和自變量和因因變量對換后能得到新的函數(shù)，就把這個新變量對換后能得到新的函數(shù)，就把這個新函數(shù)稱為原來函數(shù)的反函數(shù)。函數(shù)稱為原來函數(shù)的反函數(shù)。 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f( x )的的定義域是數(shù)集定義域是數(shù)集 D ，值域是數(shù)集值域是數(shù)集W, ,若對于每個若對于每個 y W ，都有唯一確定的都有唯一確定的 x D ，適合關(guān)系，適合關(guān)系 f( x )= y，那么就把此，那么就把此 x 值作為取定的值作為取定的 y 值的對應(yīng)值，值的對應(yīng)值，從而得到定義在從而得到定義在 W 上的新函數(shù)上的新函數(shù)，這

60、個新的函數(shù)稱為函這個新的函數(shù)稱為函 數(shù)數(shù) y = f( x )的反函數(shù)，記作：的反函數(shù)，記作：x = f - -1( y ). 這個函數(shù)定義域為這個函數(shù)定義域為W，值域，值域為為D . . 相對于相對于反函數(shù)反函數(shù) x = f - -1( y )來說，來說，原來的函數(shù)原來的函數(shù) y = f( x )稱為直接函數(shù)。稱為直接函數(shù)。WDf1fxy函數(shù)的映射概念就是將函數(shù)的對應(yīng)法則視作數(shù)集函數(shù)的映射概念就是將函數(shù)的對應(yīng)法則視作數(shù)集 D 與數(shù)集與數(shù)集 W 間的一種映射關(guān)系，即將一數(shù)集間的一種映射關(guān)系，即將一數(shù)集 D 中的點通中的點通過映射轉(zhuǎn)換到另一數(shù)集過映射轉(zhuǎn)換到另一數(shù)集 W 中中。 反函數(shù)并不是一個獨