高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分課件

1、高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分1第七章第七章 多元函數(shù)微分學多元函數(shù)微分學 7.1 空間解析幾何的基本知識空間解析幾何的基本知識7.2 二元函數(shù)的概念二元函數(shù)的概念7.3 二元函數(shù)的極限與連續(xù)二元函數(shù)的極限與連續(xù)7.4 二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分7.5 二元復合函數(shù)的求導法則二元復合函數(shù)的求導法則7.6 二元函數(shù)的極值二元函數(shù)的極值7.7 最小二乘法最小二乘法高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分2x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點定點O空間直角坐標系空間直角坐標系, 三條坐標軸的三條坐標軸的點點O叫做坐標原點叫做坐標原點正方向符合正方向符合右手

2、規(guī)則：右手規(guī)則：即以右手握住即以右手握住 z 軸軸, 當右手的四個手指當右手的四個手指 從正向從正向x軸以軸以 2 角度角度轉(zhuǎn)向正向轉(zhuǎn)向正向y 軸時軸時, 大大拇指的指向就是拇指的指向就是z軸軸的正向的正向. 1.1.空間直角坐標系空間直角坐標系Oxyz稱稱坐標系坐標系7.1 空間解析幾何的基本知識空間解析幾何的基本知識高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分3xyzO空間直角坐標系共有空間直角坐標系共有八個卦限八個卦限面面xOy面面yOz面面zOx高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分4過此點向三條坐標軸分別作過此點向三條坐標軸分別作設空間中任意點設空間中任意點,M垂直的平面，

3、垂直的平面，,zyx交于坐標軸上的點分別記為交于坐標軸上的點分別記為,P,Q,ROxyzR)(zQ)(yP)(x M設設,P,QR在各自所在坐標軸上的坐標分別為在各自所在坐標軸上的坐標分別為的的坐坐標標記記為為則則點點M),(zyxM橫坐標橫坐標縱坐標縱坐標豎坐標豎坐標),(zyx空間的點空間的點有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分5特殊點的表示特殊點的表示:)0 , 0 , 0(O坐標軸上的點：坐標軸上的點：,P,Q,R坐標面上的點：坐標面上的點：,A,B,COxyzB), 0(zyR), 0 , 0(zA)0 ,(yxQ)0 , 0(yP)0 ,

4、 0 ,(x ),(zyxM注意：注意：坐標面和坐標軸上的點的特征坐標面和坐標軸上的點的特征高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分6 P?21 MMd 21PM、設設),(1111zyxM),(2222zyxM為空間兩點為空間兩點. 2PN22NM 2d在直角三角形在直角三角形21NMM 和和PNM1 中中, 用用勾股定理勾股定理,121xxPM ,12yyPN 122zzNM 2.空間兩點間點的距離空間兩點間點的距離22221NMPNPMd xyzO2M 1M RQ N d高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分7若兩點分別為若兩點分別為,),(zyxM)0 , 0 , 0(O

5、OMd 222zyx 特殊地特殊地 21221221221zzyyxxMM 空間兩點間距離公式空間兩點間距離公式空間兩點間距離公式與平面直角坐標系中兩點間空間兩點間距離公式與平面直角坐標系中兩點間是平面兩點間距離公式是平面兩點間距離公式距離公式有類似距離公式有類似的表達形式，的表達形式，的推廣的推廣. .高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分8解解 設設P點坐標為點坐標為)0 , 0 ,(x 1PP2223)2( x112 x 2PP2221)1( x22 x 1PP22PP112 x222 x1 x所求點為所求點為),0 , 0 , 1()0 , 0 , 1( 例例)3 , 2, 0

6、(,1PxP它到點它到點軸上軸上在在設設的距離為到的距離為到)1, 1 , 0(2 P點點的距離的兩倍的距離的兩倍,求點求點P的坐標的坐標.高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分9解解 設滿足條件的點為設滿足條件的點為),(zyxM 1MM222)1()1()1( zyx 2MM222)1()1()2( zyx 1MM2MM03442 zyx易得易得例例 求到兩定點求到兩定點)1, 1 , 2()1 , 1, 1(21 MM與與的點的軌跡方程的點的軌跡方程.距離相等距離相等此即為所求點的軌跡方程此即為所求點的軌跡方程.平面方程平面方程三元一次方程三元一次方程高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的

7、微分多元函數(shù)的微分100 DCzByAx 平面的一般方程平面的一般方程 任意一個形如上式任意一個形如上式的的x、y、z的三元一次的三元一次方程都是平面方程方程都是平面方程.x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分11解解RMM |0 202020)()()(zzyyxx2202020)()()(Rzzyyxx 所求方程為所求方程為.),(0000的點的軌跡方程的點的軌跡方程距離為距離為求與點求與點RzyxM.球球面面方方程程例例),(zyxM設設是所求軌跡上任一點是所求軌跡上任一點,R高

8、等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分12曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡.曲面方程的定義曲面方程的定義(1) 曲面曲面S上任一點的坐標都滿足方程上任一點的坐標都滿足方程;(2) 不不在曲面在曲面S上的點的坐標都上的點的坐標都不不滿足方程滿足方程;如果曲面如果曲面S0),( zyxF有下述關(guān)系有下述關(guān)系:那么那么,0),( zyxF方程方程就叫做曲面就叫做曲面S的方程的方程,而曲面而曲面S就叫做方程的圖形就叫做方程的圖形.與三元方程與三元方程xyzOS3.曲面與方程曲面與方程0),( zyxF高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分1

9、3定義定義 平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線C這條定曲線這條定曲線C 稱為柱面的稱為柱面的動直線動直線L稱為柱面的稱為柱面的準線準線,母線母線.所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為移動的直線移動的直線L 柱面柱面. .LC準線準線母線母線4.幾種特殊的幾種特殊的曲面曲面1 1）柱面）柱面 高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分14 例例 討論方程討論方程 的圖形的圖形.222Ryx 在在xOy面面上上, 222Ryx 解解現(xiàn)在現(xiàn)在空間直角坐標系空間直角坐標系中討論問題中討論問題.表一個表一個圓圓C.過過作平行作平行z軸的直線軸的直線L,)0 ,(1yxM設點設點 在圓在圓C上上

10、, 對對L上任意上任意點點的坐標也滿足方程的坐標也滿足方程沿曲線沿曲線C, 平行于平行于z軸的一切直線所形成的曲面上的點軸的一切直線所形成的曲面上的點的坐標的坐標都滿足此方程都滿足此方程, ,在在空間空間, ,222Ryx 就是就是圓柱面方程圓柱面方程. .此曲面稱為此曲面稱為圓柱面圓柱面. .),(zyxMxyzOC 1M M )0 ,(1yxM,222Ryx 該方程的圖形是以該方程的圖形是以xOy面上圓為準線面上圓為準線,母線平行于母線平行于z軸的軸的柱面柱面.L截痕法截痕法: 用平行于用平行于xOy的平面去截此平面，截痕為的平面去截此平面，截痕為圓！圓！高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多

11、元函數(shù)的微分15 例例 討論方程討論方程 的圖形的圖形.222Ryx 在在xOy面面上上, 222Ryx 解解表一個表一個圓圓C.在在空間空間, ,222Ryx 就是就是圓柱面方程圓柱面方程. .xyzO 1M M 該方程的圖形是以該方程的圖形是以xOy面上圓為準線面上圓為準線,母線平行于母線平行于z軸的軸的柱面柱面.L截痕法截痕法: 用平行于用平行于xOy的平面去截此平面，截痕為的平面去截此平面，截痕為 圓！圓！高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分1622224xyz222242 .xy截痕法截痕法去截一個曲面，去截一個曲面，用平面用平面這個平面叫這個平面叫截平面截平面，所得曲線叫

12、所得曲線叫截曲線截曲線. .xOy即即坐標面，坐標面，截痕只有一個點截痕只有一個點. .截痕法是研究空間曲面的一種常用方法截痕法是研究空間曲面的一種常用方法. . 從幾何背景上看，從幾何背景上看，cz 截痕為該平面上的一條曲線，截痕為該平面上的一條曲線，分析不同截平面所得的截曲線分析不同截平面所得的截曲線可知曲面的性狀可知曲面的性狀. .例例用截痕法研究曲面用截痕法研究曲面截平面為截平面為截曲線為大圓；截曲線為大圓；截平面為截平面為截曲線為圓截曲線為圓, 2 z截平面為截平面為, 44 zz或或, 0 z高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分17其大小隨平面位置的其大小隨平面位置的變化

13、而變化變化而變化.與各坐標面平行的截平面與各坐標面平行的截平面橢圓橢圓.所得的所得的截痕均為截痕均為zxyO2）二次曲面）二次曲面1222222 czbyax)0, 0, 0( cbaxyzO橢球面橢球面高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分18單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax特點是特點是: 平方項有一個取負號平方項有一個取負號,另兩個取正號另兩個取正號.OxyzxyzO橢圓橢圓雙曲線雙曲線高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分191222222 czbyax1222222 czbyax 或或 特點是特點是:平方項有一個取平方項有一個取正號正號,另兩個取負號另兩

14、個取負號.它分成上、下兩個曲面它分成上、下兩個曲面.注注xyzO雙葉雙曲面雙葉雙曲面橢圓橢圓拋物線拋物線雙曲線雙曲線高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分20zxyoxyzozbyax 2222zbyax 2222橢圓拋物面橢圓拋物面橢圓橢圓拋物線拋物線高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分21zbyax 2222截痕截痕雙曲拋物面（馬鞍面）雙曲拋物面（馬鞍面）xyzo雙曲線雙曲線拋物線拋物線高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分221. 二元函數(shù)的概念二元函數(shù)的概念例例 理想氣體的狀態(tài)方程是理想氣體的狀態(tài)方程是 VTRp 稱稱 p為兩個變量為兩個變量T,V 的函數(shù)的函

15、數(shù),其中其中 如溫度如溫度T、體積、體積V都在變化都在變化, 則壓強則壓強 p依賴依賴(R為常數(shù)為常數(shù))RTpV 其中其中p為壓強為壓強, V為體積為體積, T為溫度為溫度.于于T,V 的關(guān)系是的關(guān)系是,0 T.0 V7.2 二元函數(shù)的概念二元函數(shù)的概念高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分23的每一對值，的每一對值，自變量自變量x, y 所有取值的集合稱為該函數(shù)的所有取值的集合稱為該函數(shù)的),(yxfz 則稱則稱z是是x, y的的定義定義7.17.1 若變量若變量z與與變量變量x, y之間有一個依賴關(guān)系之間有一個依賴關(guān)系,如果對如果對 x, y對應對應,記為記為稱稱x, y為為因變量

16、因變量z對應取值的集合稱為該函數(shù)的對應取值的集合稱為該函數(shù)的二元函數(shù)二元函數(shù). .稱稱z為為 自變量自變量, ,因變量因變量, ,定義域定義域, ,值域值域. .都有唯一一個都有唯一一個z值與之值與之 f為為對應關(guān)系對應關(guān)系高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分24鄰域鄰域 設設P0(x0, y0)是是 xOy 平面上的一個點平面上的一個點,幾何表示：幾何表示：Oxy. P0)()(),( ),(20200 yyxxyxPU,0鄰域鄰域的的點點 P令令, 0 ).(0PU有時簡記為有時簡記為稱之為稱之為將鄰域去掉中心將鄰域去掉中心,注注稱之為稱之為去心鄰域去心鄰域.),(0 PU 二元

17、函數(shù)的定義域：二元函數(shù)的定義域：高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分25曲線稱為邊界線，曲線稱為邊界線，區(qū)域區(qū)域不包含邊界線的區(qū)域稱為不包含邊界線的區(qū)域稱為開區(qū)域開區(qū)域. .整個整個xOy平面或平面或xOy平面上一條或幾條曲線圍成的平面上一條或幾條曲線圍成的一部分平面，一部分平面，稱為一個稱為一個平面區(qū)域平面區(qū)域， 圍成這個區(qū)域的圍成這個區(qū)域的包含包含邊界線的區(qū)域稱為邊界線的區(qū)域稱為閉區(qū)域閉區(qū)域，OxyOxy有界開區(qū)域有界開區(qū)域有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分26例例 把下面圖中的陰影所示的區(qū)域表示出來把下面圖中的陰影所示的區(qū)域表示出來. .oR-R

18、yxOxy0 yx0),( yxyxD0 yx),( 222RyxyxD 222Ryx 有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域無界開區(qū)域無界開區(qū)域高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分27例例 求下面函數(shù)的定義域求下面函數(shù)的定義域解解Oxy無界閉區(qū)域無界閉區(qū)域xyz . 1和和 00yx 00yx即定義域為即定義域為, 0 xy高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分28 1解解Oxy12. 22222 yxyxxz1)1(22 yx定義域是定義域是122 yx且且有界半開半閉區(qū)域有界半開半閉區(qū)域高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分292. 二元函數(shù)的表示法：二元函數(shù)的表示法：),(yx

19、fz DM xyP通常為曲面通常為曲面圖像法、表格法、解析式法圖像法、表格法、解析式法二元函數(shù)的圖像二元函數(shù)的圖像xyzO高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分30( , )sinf x yxy2222zxy -101-101-1-0.500.51-101-2-1012-2-1012-505-2-1012例例 用數(shù)學軟件Mathematica作出的二元函數(shù)和的圖像. ( , )sinf x yxy2222zxy Plot3D Sin x y , x,1, 1 , y,1, 1Plot3D2x22y2, x,2, 2 , y,2, 2高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分31設二

20、元函數(shù)設二元函數(shù) 的的常數(shù)常數(shù)A ，),(yxfz 7.3 二元函數(shù)的極限與連續(xù)二元函數(shù)的極限與連續(xù)定義定義1 1在點在點 ),(00yx的空心的空心 鄰域內(nèi)有定義，鄰域內(nèi)有定義， 如果點如果點 ),(yx以以任何方式任何方式趨于趨于),(00yx時，時， ),(yxf對應的函數(shù)值對應的函數(shù)值 都趨于一個確定都趨于一個確定 記作記作 Ayxfyxyx ),(lim),(),(00),(yxfzA 為為則則稱稱的極限的極限.時時當當),(),(00yxyx (x, y)趨向于趨向于 (x0, y0)的的路徑也是多種多樣的路徑也是多種多樣的.注注方向有任意多個方向有任意多個,),(lim00yxf

21、yyxx高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分32 相同點相同點 二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限的二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限的一元函數(shù)一元函數(shù)在某點的極限存在的充要在某點的極限存在的充要定義相同定義相同.差異為差異為必需是點必需是點P在定義域內(nèi)以在定義域內(nèi)以任何方式和途徑任何方式和途徑趨趨而而二元函數(shù)二元函數(shù)于于P0時時,相同點相同點和和差異差異是什么是什么條件是條件是左右極限都左右極限都存在且相等存在且相等;函數(shù)都有極限函數(shù)都有極限, 且相等且相等.高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分33設函數(shù)設函數(shù)討論討論當當P(x, y)沿沿x軸軸的方向的方向當當P(x, y)沿沿

22、y軸軸的方向的方向)0 ,(lim0 xfx), 0(lim0yfy也有也有 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf解：解：22000lim xxx00lim0 x22000limyyy 00lim0 y函數(shù)的極限是否存在函數(shù)的極限是否存在.,00 ）點處）點處，在（在（無限接近點無限接近點(0,0)時時,同樣同樣,無限接近點無限接近點(0,0)時時,例例高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分34函數(shù)的極限存在且相等函數(shù)的極限存在且相等.當當P(x, y) 沿直線沿直線 y = kx 的方向的方向2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其

23、值隨其值隨k的不同而變化的不同而變化. 所以所以,極限不存在極限不存在說明函數(shù)取上面兩個說明函數(shù)取上面兩個無限接近無限接近于點于點(0,0)時時,事實上事實上,無限接近點無限接近點(0,0)時時,特殊方向特殊方向能否做結(jié)論能否做結(jié)論極限存在極限存在高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分35 設二元函數(shù)設二元函數(shù) 則稱函數(shù)則稱函數(shù)定義定義2 2),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 如果如果連續(xù)連續(xù).),(),(000yxPyxf在點在點如果函數(shù)如果函數(shù) f (x, y) 在開區(qū)域在開區(qū)域(閉區(qū)域閉區(qū)域)D內(nèi)的內(nèi)的每一點連續(xù)每一點連續(xù), 則稱函數(shù)則稱函數(shù)在在D內(nèi)連續(xù)內(nèi)

24、連續(xù),),(yxf或稱函數(shù)或稱函數(shù)),(yxf是是 D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)內(nèi)的連續(xù)函數(shù).),(yxfz 二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分36稱為多元初等函數(shù)稱為多元初等函數(shù),積、商（分母不為零）及復合仍是連續(xù)的積、商（分母不為零）及復合仍是連續(xù)的.同一元函數(shù)一樣同一元函數(shù)一樣, 二元連續(xù)函數(shù)的和、差、二元連續(xù)函數(shù)的和、差、每個自變量的基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則每個自變量的基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算和有限次復合運算和有限次復合,由一個式子表達的函數(shù)由一個式子表達的函數(shù)連續(xù)的連續(xù)的.在其定義區(qū)域內(nèi)亦是在其定義區(qū)域內(nèi)亦是高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的

25、微分3722( , )xyf x yxy( , )( 1,3)lim( , )x yf x y ( , )(0,0)x y ( , )( 1,3)lim( , )( 1,3)0.3x yf x yf 討論二元函數(shù)討論二元函數(shù)是否連續(xù)，并求是否連續(xù)，并求這個函數(shù)是二元初等函數(shù)，這個函數(shù)是二元初等函數(shù)，的區(qū)域的區(qū)域有定義，有定義，.因此連續(xù)因此連續(xù). . 例例解：解：在在所以所以高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分38有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域上上連續(xù)連續(xù)的二元函數(shù)的性質(zhì)的二元函數(shù)的性質(zhì)一定有最大值和最小值一定有最大值和最小值介于這兩個值之間的任何值介于這兩個值之間的任何值(1) 最大值和最小

26、值定理最大值和最小值定理(2) 介值定理介值定理在在有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域D上的上的二元連續(xù)函數(shù)二元連續(xù)函數(shù), ,在在D上上在在有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域D上的上的二元連續(xù)函數(shù)二元連續(xù)函數(shù), ,如果如果在在D上取得兩個不同的函數(shù)值上取得兩個不同的函數(shù)值, , 則它可以在則它可以在D上取得上取得二元函數(shù)的極限、連續(xù)的定義及相關(guān)性質(zhì)都二元函數(shù)的極限、連續(xù)的定義及相關(guān)性質(zhì)都可以推廣到多元函數(shù)上去可以推廣到多元函數(shù)上去. .注注高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分391、偏導數(shù)偏導數(shù)定義定義),(yxfz 設函數(shù)設函數(shù),0yy固定為固定為將將 ),(00yxfx處處在在點點),(),(00yxyxf

27、z 的的某某鄰鄰域域在在點點),(00yx有定義，有定義，,),(0的的一一元元函函數(shù)數(shù)是是這這時時xyxfz 若此函數(shù)若此函數(shù)則稱這個導數(shù)為函數(shù)則稱這個導數(shù)為函數(shù)xyxfyxxfx ),(),(lim00000記為記為對對x的偏導數(shù)的偏導數(shù),7.4 二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分二元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分,0的導數(shù)存在的導數(shù)存在在在x,00yyxxxz ,00yyxxxf ,00yyxxxz 或或).,(00yxfx即即高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分40同理同理,可定義函數(shù)可定義函數(shù)處處在在點點),(),(00yxyxfz 即即 ),(00yxfyyyxfyyxfy ),(),(li

28、m00000記為記為,00yyxxyz ,00yyxxyf ,00yyxxyz 或或).,(00yxfy對對y的偏導數(shù)的偏導數(shù),)(0 xx固固定定為為將將高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分41那么這個偏導數(shù)那么這個偏導數(shù)仍是仍是yx、的二元函數(shù)的二元函數(shù),它就稱為函數(shù)它就稱為函數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù)對自變量對自變量x的偏導函數(shù)的偏導函數(shù)(簡稱偏導數(shù)簡稱偏導數(shù)), 記作記作,xz ,xf xz或或).,(yxfx同理同理,可定義函數(shù)可定義函數(shù)),(yxfz 對自變量對自變量y的的偏導函數(shù)偏導函數(shù),記作記作,yz ,yf yz或或).,(yxfy在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)任一點內(nèi)任一點(x, y)

29、處對處對x的偏導數(shù)都存在的偏導數(shù)都存在,),(yxfz ),(yxfz 高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分42偏導數(shù)的概念可以偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)推廣到二元以上函數(shù).求多元函數(shù)的偏導數(shù)求多元函數(shù)的偏導數(shù)利用一元函數(shù)利用一元函數(shù)),(yxfx如如求求只需將只需將y的的求導法對求導法對x求導即可求導即可.看作常量看作常量,并不需要新的方法并不需要新的方法,高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分43例例 求求 的偏導數(shù)的偏導數(shù).)0( xxzy解解,1 yyxxzxxyzyln 例例 求求 在點在點(1,0)處的兩個偏導數(shù)處的兩個偏導數(shù).yyxzsin2 解解,2x

30、yxz ,cos2yxyz , 0)0, 1( xz. 2)0, 1( yz高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分44 證證 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 1: pTTVVp求求證證,為為常常數(shù)數(shù)為為溫溫度度為為體體積積為為壓壓強強RTVp 例例其中其中程程已知理想氣體的狀態(tài)方已知理想氣體的狀態(tài)方,RTpV 高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分452 2、偏導數(shù)的幾何意義、偏導數(shù)的幾何意義),(yxfz 設二元函數(shù)設二元函數(shù)),(,(00000yxfyxM設曲面上點設曲面上點在點在點),(0

31、00yxM有有如圖如圖,偏導數(shù)偏導數(shù).0M),(yxfz yxzO過點過點0M作作平面平面,0yy 此平面此平面與曲面相交得一曲線與曲面相交得一曲線, 曲線的曲線的方程為方程為 ),(yxfz .0yy ),(0yxfz 由于由于 ),(00yxfx為一元函數(shù)的導數(shù)，為一元函數(shù)的導數(shù)，),(0yxf ,0 xx 0 x0y易知易知:高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分460 xyTxT0y),(yxfz yxzO),(0yxfz 0M偏導數(shù)偏導數(shù)),(00yxfx在幾何上表示在幾何上表示曲線曲線處處在點在點0M的切線對的切線對x軸軸的斜率的斜率. ),(yxfz 0yy ),(0yx

32、fz 二元函數(shù)),(yxfz 00(,)xfxy00(,)yfxy偏導數(shù)是在曲面上點處，彼此正交（沿X軸和Y軸方向）的兩個切痕上，兩條00(,)xy切線的斜率.同理知同理知 的幾何意義的幾何意義.),(00yxfy簡單地說，簡單地說，高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分47 ).0 , 0(),(0),0 , 0(),(),(22yxyxyxxyyxf當當當當解解例例.00 ）的的兩兩個個偏偏導導數(shù)數(shù)存存在在，在在點點（按按定義定義得得證明函數(shù)證明函數(shù) )0 , 0(xf00lim0 xx )0 , 0(yf00lim0 yy xfxfx)0 , 0()0 ,0(lim0 yfyfy

33、)0 , 0()0 , 0(lim0二元函數(shù)在一點的兩個偏導數(shù)存在，不能保證函數(shù)在該點二元函數(shù)在一點的兩個偏導數(shù)存在，不能保證函數(shù)在該點連續(xù)連續(xù). .高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分48偏微分偏微分.處處的的在在點點),(yx是函數(shù)是函數(shù)3、全微分、全微分設函數(shù)設函數(shù)的兩個偏導數(shù)都是連續(xù)的的兩個偏導數(shù)都是連續(xù)的,dxxz 稱稱dyyz 是函數(shù)關(guān)于是函數(shù)關(guān)于的的yx,稱稱yyzxxzdd 全微分全微分.記作記作,ddfz或或即即全微分的意義全微分的意義與一元函數(shù)的微分相近，與一元函數(shù)的微分相近，.dddyyzxxzz 它是函數(shù)增量它是函數(shù)增量),(),(yxfyyxxfz 的近似值

34、，的近似值，)()(22yxodzz ),(yxfz 高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分49解解,2xyyexxz ,xyxeyz yyzxxzzyxyxddd2121 例例 計算函數(shù)計算函數(shù)xyexz 2在點在點)2 , 1(的全微分的全微分.所以所以.d)d1(222yexe 如果函數(shù)在某點的全微分存在如果函數(shù)在某點的全微分存在, 則稱在這點則稱在這點 可微可微. .可微可微由定義知，由定義知，偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分50 xz),(yxfyy ),(yxfxy ),(yxfyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導導數(shù)數(shù)為為純偏

35、導純偏導混合偏導混合偏導定義定義x 22xz ),(yxfxx 22yz yzy yxz 2 xzy xyz 2 yzx 4、高階偏導數(shù)、高階偏導數(shù)高階偏導數(shù)高階偏導數(shù). .二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分51例例xyyxz 23求求的四個二階偏導數(shù)的四個二階偏導數(shù).解解 xz,322yyx ,23xyx 22xz,62xy 22yz,23x xyz2. 162 yx yxz2; 162 yx yz高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分52多元函數(shù)的高階混合偏導數(shù)如果連多元函數(shù)的高階混合偏導數(shù)如果連一般地一般地,續(xù)就

36、與續(xù)就與求導次序無關(guān)求導次序無關(guān).如果函數(shù)如果函數(shù)的兩個二階混合偏的兩個二階混合偏),(yxfyx與與),(yxfxy在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)內(nèi)定理定理連續(xù)，連續(xù)， 那么在那么在導數(shù)導數(shù)該區(qū)域內(nèi)該區(qū)域內(nèi)兩個混合二階偏導數(shù)兩個混合二階偏導數(shù)與求導變量的次序有關(guān)與求導變量的次序有關(guān).).,(yxfyx ),(yxfxy相等與否的判斷有下述的定理相等與否的判斷有下述的定理:),(yxfz 高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分53 22lnyxz,22yxxxz . 02222 yzxz例例 驗證函數(shù)驗證函數(shù)滿足滿足方程方程:22lnyxz 證證 因因 2222222)(2)(yxxxyxxz,)(

37、22222yxxy 由由x, y在函數(shù)表達式中的對稱性在函數(shù)表達式中的對稱性,),ln(2122yx 立即可寫出立即可寫出,22yxyyz ,)(2222222yxyxyz 即證即證.高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分547.5 二元復合函數(shù)的求導法則二元復合函數(shù)的求導法則),(),(),(yxvyxuvufz ).,(),(yxyxfz 復合函數(shù)為復合函數(shù)為,xvvzxuuzxz ),(),(),(yxyxvyxu都都在在點點及及如如果果 ,的的偏偏導導數(shù)數(shù)和和具具有有對對yx在對在對且函數(shù)且函數(shù)),(vufz ),(vu應應點點則復合函數(shù)則復合函數(shù)),(),(yxyxfz 的兩

38、個的兩個在對應點在對應點),(yx偏導數(shù)存在偏導數(shù)存在, 且可用下列公式計算且可用下列公式計算 兩個中間變量兩個中間變量 兩個自變量兩個自變量具有連續(xù)偏導數(shù)具有連續(xù)偏導數(shù),1.的情形的情形.,yvvzyuuzyz 高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分55uvxzy xz uzxu vzxv yz uzyu vzyv 變量樹圖變量樹圖uv),(),(yxyxfz 高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分56解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu).cos()sin(yxyxyexy yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cos()si

39、n(yxyxxexy 例例 ,sinyxvxyuvezu 設設.yzxz 和和求求高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分572. 中間變量為中間變量為一元函數(shù)一元函數(shù))(),(),(tvtuvufz 的情形的情形.定理定理,)()(可導可導都在點都在點及及如果函數(shù)如果函數(shù)ttvtu ),(),(vuvufz在對應點在對應點函數(shù)函數(shù) ,)(),(可導可導在對應點在對應點則復合函數(shù)則復合函數(shù)tttfz 且且其導數(shù)可用下列公式計算其導數(shù)可用下列公式計算: tzdd具有連續(xù)偏導數(shù)具有連續(xù)偏導數(shù), tuuzdd.ddtvvz 導數(shù)導數(shù)tzdd稱為稱為高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分

40、58復合函數(shù)的復合函數(shù)的中間變量多于兩個中間變量多于兩個的情況的情況.定理推廣定理推廣 tzdduvwtz變量樹圖變量樹圖 三個中間變量三個中間變量),(wvufz 如如)(),(),(twwtvvtuu uz vz tudd wz tvdd twdd 高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分59例例 設設 求求xydd這是冪指函數(shù)的導數(shù)這是冪指函數(shù)的導數(shù),但用但用全導數(shù)公式全導數(shù)公式較簡便較簡便.法二法二 xyddyuvx,)(cossin xxy 解解 法一法一,cos xu 令令)(cosln)sin(1xuuxvuvv tancosln)(cos2sin1xxxx vuy 則則可

41、用可用取對數(shù)求導法取對數(shù)求導法計算計算.,sin xv xuuyddxvvydd 高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分60 例例 設設.,yzxz 求求變量樹圖變量樹圖zrsxyxssfxrrf 或記或記 sfyrfy 1),(yxxyfz 解解),(srf 對抽象函數(shù)在求偏導數(shù)時對抽象函數(shù)在求偏導數(shù)時, 設中間變量設中間變量.sr xz211fyf y 同理同理 yz221fyxfx ,1frf 2fsf 高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分61,),(),(均連續(xù)可微均連續(xù)可微設設gfxyxgvxyxfu xvxu 求求)1()(ygfyfxvxuxyx 答案：答案：高

42、等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分623 3、二元隱函數(shù)求導法、二元隱函數(shù)求導法設方程設方程),(xfy 0),( yxF隱函數(shù)的求導公式隱函數(shù)的求導公式確定函數(shù)確定函數(shù)恒等式恒等式兩邊關(guān)于兩邊關(guān)于x求導求導,由由全導數(shù)公式全導數(shù)公式,得得),(yxFx),(yxFy xydd 0 ),(xF)(xf0 將其代入得將其代入得時時，當當0),( yxFy),(),(ddyxFyxFxyyx 或簡寫或簡寫:.ddyxFFxy 高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分63例例 設設., 0dxdyeexyyx求求 記記,),(yxeexyyxF xxeyyxF ),(yyexyxF

43、),(yxFFxy dd.yxexey 時時當當0 yF則則 解解高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分64解解 令令則則,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFxy dd.xyyx 例例.dd,arctanln22xyxyyx求求已已知知 時時當當0 yF高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分651.極大值和極小值的定義極大值和極小值的定義定義定義為函數(shù)的為函數(shù)的極大值點極大值點. 類似可定義極小值點和極小值類似可定義極小值點和極小值.若對于該鄰域內(nèi)一切異于若對于該鄰域內(nèi)一切異于 ),(),(00yxfy

44、xf 為為極大值極大值.則稱則稱),(00yxf7.6 二元函數(shù)的極值二元函數(shù)的極值設函數(shù)設函數(shù)內(nèi)內(nèi)的的某某鄰鄰域域在在點點),(00yx有定義，有定義，的的點點),(00yx),(yx有有),(00yx點點),(yxfz 高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分66 注注 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的 函數(shù)的極大值點與極小值點統(tǒng)稱為函數(shù)的函數(shù)的極大值點與極小值點統(tǒng)稱為函數(shù)的二元函數(shù)的極值也是二元函數(shù)的極值也是局部的局部的, 一般來說一般來說:極大值未必是函數(shù)的最大值極大值未必是函數(shù)的最大值.極小值未必是函數(shù)的最小值極小值未必是函數(shù)的最小值.有時有時,

45、極值極值. .極值點極值點. .的鄰域內(nèi)的值比較的鄰域內(nèi)的值比較.是與點是與點(x0 ，y0)極小值可能比極大值還大極小值可能比極大值還大.高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分67xyzOxyzO例例2243yxz 例例22yxz 例例xyz 在在(0,0)點取極小值點取極小值. 在在(0,0)點取極大值點取極大值. (也是最大值也是最大值).在在(0,0)點無極值點無極值.橢圓拋物面橢圓拋物面下半個圓錐面下半個圓錐面馬鞍面馬鞍面函數(shù)函數(shù)函數(shù)函數(shù)(也是最小值也是最小值).函數(shù)函數(shù) xyzO 高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分682. .極值的必要條件極值的必要條件定理定理

46、7.17.1 ( (必要條件必要條件) ),(),(00yxyxfz在在點點設設函函數(shù)數(shù) 具有具有處處且在點且在點),(00yx則它在該則它在該點的偏導數(shù)必然為零點的偏導數(shù)必然為零:, 0),(00 yxfx. 0),(00 yxfy,偏導數(shù)偏導數(shù),有極值有極值均稱為函數(shù)的均稱為函數(shù)的駐點駐點極值點極值點仿照一元函數(shù)仿照一元函數(shù),凡能使凡能使一階偏導數(shù)一階偏導數(shù)同時為零的同時為零的點點,駐點駐點.如如,的的是是函函數(shù)數(shù)點點xyz )0 , 0(駐點駐點, 但不是極值點但不是極值點. 注注如何判定一個駐點是否為極值點如何判定一個駐點是否為極值點高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分693

47、. .極值的充分條件極值的充分條件定理定理7.27.2 ( (充分條件充分條件) ),(),(00yxyxfz在在點點設設函函數(shù)數(shù) 的某鄰域內(nèi)連續(xù)的某鄰域內(nèi)連續(xù), 有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)有一階及二階連續(xù)偏導數(shù), 0),(00 yxfx又又, 0),(00 yxfy,),(00Ayxfxx 令令,),(00Cyxfyy ,),(00Byxfxy ),(),(00yxyxf在在點點則則處是否取得極值的條件如下處是否取得極值的條件如下:(1)時時02 BAC有極值有極值,時時當當0 A有極大值有極大值,時時當當0 A有極小值有極小值;(2)時時02 BAC沒有極值沒有極值;(3)時時02 BAC可能

48、有極值可能有極值,也可能無極值也可能無極值.高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分70求函數(shù)求函數(shù) 極值的一般步驟極值的一般步驟: :),(yxfz 第一步第一步解方程組解方程組 0),(0),(yxfyxfyx求出實數(shù)解求出實數(shù)解,得駐點得駐點.第二步第二步 對于每一個駐點對于每一個駐點),(00yx求出二階偏導數(shù)的值求出二階偏導數(shù)的值.CBA、第三步第三步 定出定出2BAC 的符號的符號,再判定是否是極值再判定是否是極值.高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分7122( , )f x yxy ( , )20( , )20,xyfx yxfx yy (0,0)( , )2 ,

49、( , )0 ,( , )2xxxyyyfx yfx yfx y (0,0)240ACB (0,0)例例 討論雙曲拋物面解：解：再求出二階偏導數(shù)在點處，所以函數(shù)在處不存在極值. 有無極值點.解方程組解方程組是駐點，是駐點，高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分72例例 解解又又在點在點(0,0)處處, 在點在點(a,a)處處, )0(3),(33 ayxaxyyxf求函數(shù)求函數(shù) 03303322yaxfxayfyx).,(),0 , 0(aa駐駐點點 xxf xyf yyf229aBAC 故故),(yxf2227aBAC aA6 且且故故),(yxf即即.),(3aaaf 的極值的極值

50、.0 在在(0,0)無極值無極值;在在(a,a)有極大值有極大值,0 ,6x ,3a.6y 0 高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分73其中最大者即為最大值其中最大者即為最大值, , 與一元函數(shù)相類似與一元函數(shù)相類似,可利用函數(shù)的極值來可利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值求函數(shù)的最大值和最小值.2. .二元函數(shù)的最值二元函數(shù)的最值求最值的一般方法求最值的一般方法最小者即為最小值最小者即為最小值. .將函數(shù)將函數(shù)在在D內(nèi)內(nèi)的所有嫌疑點的函數(shù)值及的所有嫌疑點的函數(shù)值及在在D的邊界上的最大值和最小值相互比較的邊界上的最大值和最小值相互比較, ,高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的

51、微分74解解, 02 xfx令令08 yfy)0 , 0(),(422yxfyx代代入入將將 133),(2yyxf2 , 2 yyyg6)( 令令0 y此時此時24yx ,2時時當當 y9)0 , 0( f. 9,25),(最最小小值值為為上上的的最最大大值值為為在在故故Dyxf13)0 , 2( f25)2, 0( f的最大值與最小值的最大值與最小值.駐點駐點得得)(yg0 2 0 x均有均有上上在在求求4:94),(2222 yxDyxyxf例例高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分75例例 某企業(yè)生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為某企業(yè)生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為xy單位和單位和單位，單位，

52、143244264),(22yyxyxxyxL利潤利潤函數(shù)為函數(shù)為求兩種產(chǎn)品產(chǎn)量求兩種產(chǎn)品產(chǎn)量各為多少時，可獲最大利潤，最大利各為多少時，可獲最大利潤，最大利潤是多少？潤是多少？143244264),(22yyxyxxyxL( , )64440( , )48320,xyL x yxyL x yxy解：解：由由解方程組解方程組)24,40(得唯一駐點得唯一駐點40,24xy實際問題決定最大利潤一定存在，實際問題決定最大利潤一定存在，(40,24)1650L時，取得最大利潤，時，取得最大利潤，因此可斷定當因此可斷定當此時最大利潤為此時最大利潤為高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分767.

53、7 7.7 最小二乘法最小二乘法設觀測或?qū)嶒灁?shù)據(jù)如下：設觀測或?qū)嶒灁?shù)據(jù)如下：xx0 x1xm f(x)y0y1ym能否找到一個簡單易算的能否找到一個簡單易算的 p(x) ， p(xi) yi 總體上盡可能小總體上盡可能小. 使得使得 f(x) p(x). 這時不要求這時不要求 p(xi) = yi , 而只要而只要高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分77l 使使 最小最小l 使使 最小最小 p(xi) yi 總體上盡可能小總體上盡可能小 l 使使 最小最小|)(|max1iimiyxpmiiiyxp1|)(|miiiyxp12|)(|q 常見做法常見做法太復雜太復雜 不可導，求不可導，求解困難解困難 最小二乘法：最小二乘法：目前最好的多項式曲線擬合算法目前最好的多項式曲線擬合算法最小二乘法最小二乘法高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分78yabx ,a b其中其中待定待定.線性模型線性模型 2211,nniiiiiSyyabxy使偏差的平方和使偏差的平方和達到達到最小最小。高等數(shù)學高等數(shù)學D多元函數(shù)的微分多元函數(shù)的微分79 21niiiSabxy ,a b的最小值.得到求二元函數(shù)利用二元函數(shù)利用二元函數(shù)求極值方法 1121020niiiniiiiSa