D104對面積曲面積分課件

1、D104對面積曲面積分第四節(jié)第四節(jié)一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì) 二、對面積的曲面積分的計(jì)算法二、對面積的曲面積分的計(jì)算法對面積的曲面積分對面積的曲面積分 第十章第十章 D104對面積曲面積分oxyz一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)引例引例: : 設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度),(zyx類似求平面薄板質(zhì)量的思想類似求平面薄板質(zhì)量的思想, ,采用采用kkkkS),(可得可得nk 10limM),(kkk “ “大化小大化小, ,常代變常代變, ,近似和近似和, ,求極求極限限” ” 的方法的方法, ,量量M

2、.其中其中, 表示表示n小塊曲面的直徑的小塊曲面的直徑的最大值最大值( (曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者最大者). ). 求質(zhì)求質(zhì) D104對面積曲面積分SzyxMd),(定義定義:設(shè)設(shè) 為光滑曲面為光滑曲面,“乘積乘積和式極限和式極限” kkkkSf),(nk 10lim都存在都存在,的的曲面積分曲面積分Szyxfd),(其中其中f(x,y,z)叫做叫做被積被積據(jù)此定義據(jù)此定義, 曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為曲面面積為SSdf(x,y,z)是定義在是定義在 上的一上的一 個(gè)有界個(gè)有界函數(shù)函數(shù),記作記作或或第一類曲面積分第一類曲面積分.

3、若對若對 做做任意分割任意分割和局部區(qū)域和局部區(qū)域任意取點(diǎn)任意取點(diǎn), 則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在曲面在曲面 上上對面積對面積函數(shù)函數(shù), 叫做叫做積分曲面積分曲面.D104對面積曲面積分則對面積的曲面積分存在則對面積的曲面積分存在. 對積分域的可加性對積分域的可加性.,21則有則有Szyxfd),(1d),(Szyxf2d),(SzyxfSzyxgkzyxfkd),(),(21 線性性質(zhì)線性性質(zhì).則為常數(shù)設(shè),21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面在光滑曲面 上連續(xù)上連續(xù), 對對面積面積的曲面積分與對的曲面積分與對弧長弧長的曲線積分性

4、質(zhì)類似的曲線積分性質(zhì)類似. 積分的存在性積分的存在性. 若若 是分片光滑的是分片光滑的, 例如分成例如分成兩片光滑曲面兩片光滑曲面D104對面積曲面積分定理定理: 設(shè)有光滑曲面設(shè)有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f(x,y,z)在在 上連續(xù)上連續(xù),存在存在, 且有且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122二、對面積的曲面積分的計(jì)算法二、對面積的曲面積分的計(jì)算法 則則曲面積分曲面積分證明證明: 由定義知由定義知Szyxfd),(kkkkSf),(nk 10limoxyzyxD),(kkkyxk)(D104對面積曲面積分

5、kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而而( ( 光滑光滑) )D104對面積曲面積分說明說明:zyDzyzyxx),(),(zxDzxzxyy),(),(或可有類似的公式可有類似的公式.1)如果曲面方程為如果曲面方程為2)若曲面為參數(shù)方程若曲面為參數(shù)方程, 只要求出在參數(shù)意義下只要

6、求出在參數(shù)意義下dS 的表達(dá)式的表達(dá)式, 也可將對面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對參數(shù)也可將對面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對參數(shù)的二重積分的二重積分. (見本節(jié)后面的例見本節(jié)后面的例4, 例例5) D104對面積曲面積分yxD例例1. 計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分,dzS其中其中 是球面是球面222zyx被平面被平面)0(ahhz截出的頂部截出的頂部.解解:yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyhaD104對面積曲面積分思考思考:若若 是球面

7、是球面2222azyx被平行平面被平行平面z =h截截出的上下兩部分出的上下兩部分,) (dzS) (dzS0hln4aa則則hoxhzyD104對面積曲面積分例例2.2. 計(jì)算計(jì)算,dSzyx其中其中 是由平面是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面. . ozyx111解解: : 設(shè)設(shè)上的部分上的部分, ,則則4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx與與, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式原式= = 分別表示分別表示 在平面在平面 D104對面積曲面積分o例例3. 設(shè)設(shè)2

8、222:azyx),(zyxf計(jì)算計(jì)算.d),(SzyxfI解解: 錐面錐面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1設(shè),),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz當(dāng)22yxz當(dāng)與上半球面與上半球面交線為交線為為上半球面夾于錐面間的部分為上半球面夾于錐面間的部分, 它在它在xoy面面上的投影域?yàn)樯系耐队坝驗(yàn)閤zy1yxD則則 1d)(22SyxID104對面積曲面積分1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxdd1xozyyxD思考思考: 若例若例3中被積函數(shù)改為中被積函數(shù)改為 ),(zyxf,2

9、2yx ，022yxz當(dāng)22yxz當(dāng)計(jì)算結(jié)果如何計(jì)算結(jié)果如何? D104對面積曲面積分例例4. 求半徑為求半徑為R的均勻半球殼的均勻半球殼 的重心的重心.解解: 設(shè)設(shè) 的方程為的方程為yxDyxyxRz),( ,222利用對稱性可知重心的坐標(biāo)利用對稱性可知重心的坐標(biāo),0yx而而 z 2223RRR用球坐標(biāo)用球坐標(biāo)cosRz ddsind2RS SdSzd20032dcossindR2002dsindR思考題思考題: 例例3是否可用球面坐標(biāo)計(jì)算是否可用球面坐標(biāo)計(jì)算?D104對面積曲面積分例例5.5.計(jì)算計(jì)算),(dRzSI.:2222Rzyx解解: :取球面坐標(biāo)系取球面坐標(biāo)系, ,則則,cos:

10、Rz I0cos)cosd(2RRRRRRln2ddsind2RS 02dcossinRR20dD104對面積曲面積分例例6. 計(jì)算計(jì)算,d)(22SyxI其中其中 是球面是球面22yx 利用對稱性可知利用對稱性可知SzSySxddd222SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd448)3(4142解解: 顯然球心為顯然球心為, ) 1 , 1 , 1 (半徑為半徑為3x利用重心公式利用重心公式SxdSd).(22zyxzD104對面積曲面積分例例7.7. 計(jì)算計(jì)算,d222zyxSI其中其中 是介于平面是介于平面分析分析: : 若將曲面分為前后若將曲面分為

11、前后( (或左右或左右) )zRSd2d則則HzRzRI022d2RHarctan2之間的圓柱面之間的圓柱面.222RyxHzz ,0zzdoHxyz解解: : 取曲面面積元素取曲面面積元素兩片兩片, , 則計(jì)算較繁則計(jì)算較繁. . D104對面積曲面積分例例8. 求橢圓柱面求橢圓柱面19522yx位于位于xoy面上方及平面面上方及平面 z = y下方那部分柱面下方那部分柱面 的側(cè)面積的側(cè)面積S. 解解: )0(sin3,cos5:ttytxL取取SSdszLdtt cosdcos453025ln4159oyxzLsdzszSddttttdcos9sin5sin3220syLdD104對面積曲

12、面積分例例9. 設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星, 距地面高度距地面高度 h=36000km,運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同, 試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比. (地球半徑地球半徑R=6400km)解解: R建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖, 覆蓋曲面覆蓋曲面 的的半頂角為半頂角為 ,利用球坐標(biāo)系利用球坐標(biāo)系, 則則ddsind2RS 衛(wèi)星覆蓋面積為衛(wèi)星覆蓋面積為SAd0202ddsinR)cos1 (22RhRRcoshRhR22yzxohRD104對面積曲面積分故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與

13、地球表面積的比為故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比為24 RA)(2hRh6610)4 . 636(21036%5 .40由以上結(jié)果可知由以上結(jié)果可知,衛(wèi)星覆蓋了地球衛(wèi)星覆蓋了地球 31以上的面積以上的面積, 故使用三顆相隔故使用三顆相隔32角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球全表面全表面. 說明說明: 此題也可用二重積分求此題也可用二重積分求A(見下冊見下冊P109例例2). yzxohRRD104對面積曲面積分內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.1.定義定義: :Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2.2.計(jì)算計(jì)算: :設(shè)設(shè),),( , ),(:yxDyxyx

14、zz則則Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd( (曲面的其他兩種情況類似曲面的其他兩種情況類似) ) 注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對稱性、重注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對稱性、重心公式心公式 簡化計(jì)算的技巧簡化計(jì)算的技巧. . D104對面積曲面積分思考與練習(xí)思考與練習(xí)P158 題題1；3；4(1); 7 解答提示解答提示:P158 題題1.SzyxzyIxd),()(22P158 題題3. ,),( ,0:yxDyxzyxDyxyxfSzyxfdd),(d),(設(shè)設(shè)則則0P184 題題2D104對面積曲面積分P158 P158 題題4(1).4(1). 在

15、在xoy面面上的投影域?yàn)樯系耐队坝驗(yàn)?:22 yxDyxyxzzSyxdd1d22yxyxdd)(4122yxDyxyxSdd)(41d22rrrd41d20220313這是這是 的面積的面積! !oyxz22xyD)(2:22yxzD104對面積曲面積分P159 P159 題題7. 7. 如圖所示如圖所示, ,有有yxyxyxSzyxDdd1)(21d2222rrrd1d21202320136152tttd)1(302221rt令o1yxDx2zyD104對面積曲面積分P184 題題2. 設(shè)設(shè)),0(:2222zazyx在第為1一卦限中的部分一卦限中的部分, 則有則有( ).;d4d)(1SxSxA;d4d)(1SxSyB;d4d)(1SxSzC.d4d)(1SzyxSzyxDC(2000考研考研)D104對面積曲面積分1. 已知曲面殼已知曲面殼)(322yxz,22zyx求此曲面殼在平面求此曲面殼在平面z1以上部分以上部分 的的的面密度的面密度質(zhì)量質(zhì)量M. 解解: 在在xoy面上的投影為面上的投影為 ,2:22 yxDyx故故SMdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(4132213D104對面積曲面積分2. 2. 設(shè)設(shè)