反常積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂關(guān)系的討論

1、黃岡師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文 本 科 生 畢 業(yè) 論 文論 文 題 目： 反常積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂關(guān)系的討論 作 者： 陳 淦 院 系： 數(shù)理學(xué)院 專(zhuān) 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級(jí)： 201104 指 導(dǎo) 教 師： 何 春 玲 2015 年 5 月 17 日no.：2011211404032008200x2xx40xxx200x2xx40xxxhuanggang normal universitythesis graduatestopic： discuss improper integrals and infinite series converges relations author： chen

2、 gan college： college of mathematics and physics specialty： mathematics and applied mathematics class： 201104 tutor： he chunling may 17th, 2015鄭重聲明本人所呈交的畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))是本人在指導(dǎo)教師 何春玲 的指導(dǎo)下獨(dú)立研究并完成的. 除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外,沒(méi)有剽竊、抄襲、造假等違反學(xué)術(shù)道德、學(xué)術(shù)規(guī)范和侵權(quán)行為,本人完全意識(shí)到本聲明的法律后果由本人承擔(dān). 特此鄭重聲明！指導(dǎo)老師(手寫(xiě)簽名)：論文作者(手寫(xiě)簽名)： 年 月 日摘要數(shù)學(xué)分析是一個(gè)研

3、究變量的學(xué)科,既有連續(xù)變量,又有離散變量.級(jí)數(shù)和積分是數(shù)學(xué)分析中的兩個(gè)重要概念,它們之間有著密切的聯(lián)系,體現(xiàn)了離散與連續(xù)這一基本矛盾的對(duì)立與統(tǒng)一.因此深入研究?jī)烧哧P(guān)系,有助于我們理解數(shù)學(xué)分析原理,解決相關(guān)問(wèn)題.二者似乎相距甚遠(yuǎn),實(shí)則同出一源.它們本質(zhì)上都是求和運(yùn)算,只不過(guò)是對(duì)兩種不同的變量求和,同時(shí)都是一個(gè)極限過(guò)程,因此“連續(xù)化”問(wèn)題的積分理論（反常積分）和“離散化”問(wèn)題的級(jí)數(shù)理論（數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)）有很多性質(zhì)、定理都是相互對(duì)應(yīng)的,二者在研究問(wèn)題與論證方法上極為相似.本文從判別法等方面對(duì)二者加以比較,列出了很多平行的結(jié)論,以及一些區(qū)別,指出它們之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系,并應(yīng)用這種關(guān)系,通過(guò)某類(lèi)問(wèn)題的求解探究

4、另一類(lèi)問(wèn)題的解法,從而使讀者體會(huì)離散與連續(xù)的相互轉(zhuǎn)化思想,學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移.關(guān)鍵詞：反常積分；無(wú)窮級(jí)數(shù)；對(duì)比研究；審斂法abstract mathematical analysis is a subject mainly studying on variables, including the continuous and discrete ones. series and integrals are two important concepts of it, there is a close relationship between them. they embodies the oppo

5、site and uniformity of basic contradiction of continuity and discreteness. so doing further research on the relationship between the two terms helps us to understand mathematical analysis principle, and to solve some related questions. both seem to produce a conservation-based legacy with source. th

6、ey are peace operations, is merely to two different variables summation, at the same time is a limit process, so continuous questions of integral theory (generalized integrals, with respect to the integral, etc.) and discretization questions of series (several series, function of series) have many p

7、roperties, theorem are mutual correspond, both in research on problems with similar reasoning methods. by comparing the concepts, convergence, nature and discriminant method of both aspects, this article lists many paralleled conclusions and some differences, as well as the translation between them.

8、 and solve some problems of one kind by applying the solutions of the other kind, thus helping the readers to realize the transformation between discrete and continuous thoughts, and be able to learn mathematics knowledge migration.keywords improper integral; infinite series; comparative study; the

9、inspection technique 目錄第1章 緒論11.1 選題背景及意義11.2 問(wèn)題的提出11.3 相關(guān)文獻(xiàn)綜述21.4 論文的主要結(jié)構(gòu)3第2章 反常積分的收斂方法42.1非負(fù)函數(shù)無(wú)窮積分的收斂判別法42.2一般無(wú)窮積分的收斂判別法52.3本章小結(jié)7第3章 無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂方法83.1 無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念83.2正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般判別方法83.3一般項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別方法12第4章 無(wú)窮級(jí)數(shù)與無(wú)窮積分的關(guān)系探討154.1反常積分與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的聯(lián)系154.2無(wú)窮積分和無(wú)窮級(jí)數(shù)的審斂法比較164.3無(wú)窮積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)差異174.4本章小結(jié)19結(jié)束語(yǔ)20致謝21參考文獻(xiàn)22第1章 緒論1.1 選題背景

10、及意義級(jí)數(shù)和反常積分是微積分學(xué)中的重要內(nèi)容,微積分又是以極限為工具來(lái)研究數(shù)學(xué)內(nèi)容的 .數(shù)學(xué)分析也叫微積分學(xué)它是在17世紀(jì)中葉由牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立,由麥克勞林、泰勒、達(dá)郎貝爾、拉格郎日等數(shù)名數(shù)學(xué)家,歷經(jīng)200多年的發(fā)展和完善直到19世紀(jì)末才形成現(xiàn)今我們說(shuō)的數(shù)學(xué)分析主要內(nèi)容 .對(duì)于級(jí)數(shù)主要包括數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)以及傅里葉級(jí)數(shù)等主要內(nèi)容；反常積分也稱(chēng)廣義積分主要包括無(wú)窮積分和瑕積分兩方面內(nèi)容；反常積分是學(xué)習(xí)了定積分后又一新的內(nèi)容,是對(duì)定積分的進(jìn)一步推廣,反常積分打破了定積分的區(qū)間有窮性和被積函數(shù)的有界性限制,無(wú)窮積分主要研究的是無(wú)窮區(qū)間上的“積分”問(wèn)題,瑕積分主要研究的是無(wú)界函數(shù)

11、的積分問(wèn)題 ,它們的共同點(diǎn)都是以極限為工具轉(zhuǎn)化為我們熟悉定積分問(wèn)題進(jìn)行研究的 .1.2 問(wèn)題的提出 本論文想通過(guò)對(duì)反常積分和數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)以及它們的含參量形式這兩對(duì)概念的定義、性質(zhì)、收斂判別法等方面加以比較,列出相平行的結(jié)論,得出它們之間確實(shí)有著本質(zhì)的聯(lián)系這一事實(shí),進(jìn)而找到這一聯(lián)系；意義是根據(jù)它們的聯(lián)系,就可以通過(guò)離散的形式的理論或研究方法探索得到相應(yīng)的連續(xù)形式的結(jié)論,或反過(guò)來(lái)由連續(xù)的形式探究離散形式的理論方法,從而學(xué)會(huì)知識(shí)的遷移,解決更多的問(wèn)題.1.3 相關(guān)文獻(xiàn)綜述數(shù)學(xué)分析（上、下冊(cè)）是數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要基礎(chǔ)課,它的任務(wù)是使學(xué)生獲得極限論,一元函數(shù)微分學(xué),無(wú)窮級(jí)數(shù)與多元函數(shù)微積分學(xué)等方面的系

12、統(tǒng)知識(shí).上冊(cè)內(nèi)容包括實(shí)數(shù)集和函數(shù),數(shù)列,極限,函數(shù)極限,連續(xù)性,導(dǎo)數(shù)和微分,微分中值定理及其應(yīng)用,實(shí)屬完備性,不定積分,定積分及其應(yīng)用,反常積分等,附錄分為微分學(xué)簡(jiǎn)史,實(shí)數(shù)理論,積分表等；下冊(cè)包括數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),冪級(jí)數(shù),隱函數(shù),多元函數(shù)微積分等.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法這本書(shū)全面、系統(tǒng)地總結(jié)和歸納了數(shù)學(xué)分析問(wèn)題的基本類(lèi)型,每種類(lèi)型的基本方法,旨在拓寬基礎(chǔ),啟發(fā)思路,培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.包括一元函數(shù)極限、連續(xù)、微分、積分、級(jí)數(shù)；多元函數(shù)極限、連續(xù)、微分、積分.并參閱了70余種教材、文獻(xiàn)及參考書(shū),經(jīng)過(guò)反復(fù)推敲、修改和篩選,在幾代人長(zhǎng)期教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上編寫(xiě)而成.選題具有

13、很強(qiáng)的典型性、靈活性、啟發(fā)性、趣味性和綜合性,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的能力極為有益.數(shù)學(xué)分析的思想方法通過(guò)多角度、深層次、全方位地探討了數(shù)學(xué)分析學(xué)科的思想方法對(duì)數(shù)學(xué)分析內(nèi)容體系中所體現(xiàn)的重要思想進(jìn)行了探討與分析.并且通過(guò)大量的事例對(duì)數(shù)學(xué)分析內(nèi)容中所常用的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行了舉例與分析；對(duì)數(shù)學(xué)美與數(shù)學(xué)分析中的美學(xué)思想進(jìn)行了論述與分析；對(duì)微積分創(chuàng)立過(guò)程中數(shù)學(xué)家的思想和方法進(jìn)行了整理與分析；最后以附錄的形式將古代數(shù)學(xué)家解決問(wèn)題的方法進(jìn)行了舉例與說(shuō)明.數(shù)學(xué)分析縱橫談的作者用唯物史觀闡述微積分的發(fā)展史和評(píng)價(jià)歷史人物, 采用文理滲透的方法,探索數(shù)學(xué)分析與史學(xué)、 邏輯學(xué)、 哲學(xué)、 美學(xué)及心理學(xué)等的聯(lián)系,融學(xué)術(shù)性、 教育性、

14、指導(dǎo)性為一體, 是一部數(shù)學(xué)研究的力作, 對(duì)21世紀(jì)的數(shù)學(xué)分析課程建設(shè), 將發(fā)揮重要的作用.數(shù)學(xué)分析原理是數(shù)學(xué)系經(jīng)典原版書(shū)籍,共分為十一章,涉及了實(shí)和復(fù)的數(shù)域、拓?fù)?、序列與級(jí)數(shù)、連續(xù)性、微分、黎曼斯蒂爾切斯積分、函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、特殊函數(shù)、多元函數(shù)以及勒貝格理論等與數(shù)學(xué)分析相關(guān)的內(nèi)容.反常積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)在惟質(zhì)及斂散性判別法方面極其類(lèi)似，無(wú)窮積分的許多結(jié)論幾乎是無(wú)窮級(jí)數(shù)相應(yīng)部分的逐字逐句的“搬家”.目前,許多文獻(xiàn)對(duì)無(wú)窮積分和無(wú)窮級(jí)數(shù)進(jìn)行了研究.如張千祥1等.研究了無(wú)窮積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)的關(guān)系；關(guān)東月2，研究了無(wú)窮積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的必要條件的不同之處。本文則主要給反常積分和無(wú)窮級(jí)數(shù)的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，進(jìn)

15、行比較研究。1.4 論文的主要結(jié)構(gòu)對(duì)反常積分和數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念的定義、性質(zhì)以及收斂判別法等方面列出了很多平行結(jié)論加以比較,對(duì)其中一些重要結(jié)論給出了證明,指出了它們之間可以相互轉(zhuǎn)化.并根據(jù)這種轉(zhuǎn)化關(guān)系,利用一類(lèi)問(wèn)題的解法得到另一類(lèi)問(wèn)題的求解.最后指出了它們之間存在的一些差別.第1章從選題背景及意義、問(wèn)題提出、相關(guān)文獻(xiàn)綜述、論文結(jié)構(gòu)這四個(gè)方面來(lái)闡述,說(shuō)明了該論題研究現(xiàn)狀和成果.第2章 從反常積分的收斂方法，通常所講的反常積分和無(wú)窮級(jí)數(shù)在理論和研究方法上聯(lián)系.而通過(guò)適當(dāng)?shù)負(fù)Q元,無(wú)窮積分和瑕積分又可以相互轉(zhuǎn)化.第3章 簡(jiǎn)單介紹無(wú)窮級(jí)數(shù)概念與各種收斂方法.第4章 探討了反常積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂關(guān)系，并對(duì)它們的

16、判別法進(jìn)行了對(duì)比研究.第2章 反常積分的收斂方法通常所講的反常積分主要包含兩類(lèi)：無(wú)窮區(qū)間上的反常積分(或稱(chēng)無(wú)窮積分)和無(wú)界函數(shù)的反常積分(或稱(chēng)瑕積分).反常積分和無(wú)窮級(jí)數(shù)在理論和研究方法上幾乎是平行的.而通過(guò)適當(dāng)?shù)負(fù)Q元,無(wú)窮積分和瑕積分又可以相互轉(zhuǎn)化,因此,只需要對(duì)其中一類(lèi)反常積分進(jìn)行討論即可,以下主要以無(wú)窮積分為例,探析反常積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂性關(guān)系.2.1非負(fù)函數(shù)無(wú)窮積分的收斂判別法定理2.13（比較判別法）設(shè)定義在 上的兩個(gè)非負(fù)函數(shù)和都在任何有限區(qū) 上可積,且滿(mǎn)足 ,則當(dāng)收斂時(shí)必收斂(或者,當(dāng)發(fā)散時(shí)必發(fā)散）. 推論2.1（比較判別法的極限形式） :若和都在任何有限區(qū)間上可積,當(dāng)時(shí),且,則有

17、： (i)當(dāng)時(shí),與同斂態(tài)；（ii）當(dāng)時(shí),有收斂可推知也收斂； (iii)當(dāng)時(shí),由發(fā)散可推知也發(fā)散.特別地,如果選用作為比較對(duì)象,則我們有如下兩個(gè)推論（稱(chēng)為柯西判別法）.推論2.2（cauchy判斂法）: 若定義于 ,且在任何有限區(qū)間上可積,則有：(i)當(dāng)； （ii）推論2.3（cauchy判斂法的極限形式 ）:若是定義于上的非負(fù)函數(shù),在任何有限區(qū)間上可積,且 ,則有 （i）當(dāng) (ii)當(dāng)例2.1 討論下列無(wú)窮積分的收斂性 解：,所以由推論3知收斂.2.2一般無(wú)窮積分的收斂判別法這里來(lái)介紹兩個(gè)判別一般無(wú)窮積分收斂的判別法定理2.2（狄利克雷判別法）若在區(qū)間上上有界 , 在上當(dāng)時(shí)單調(diào)趨于0,則收斂

18、.定理2.3（阿貝爾判別法） 若收斂 ,在上單調(diào)有界 ,則收斂. 例2.2 討論下列無(wú)窮積分為絕對(duì)收斂還是條件收斂. 例2.3 討論積分 (a0) 的收斂性（p為實(shí)數(shù)）解：當(dāng)時(shí),因=（）所以發(fā)散當(dāng)1時(shí)=ip(b)因?yàn)?ip(b)=所以積分 當(dāng)p1時(shí)收斂,值為；當(dāng)p0)的收斂性解：因(同理所以收斂, 且2.3本章小結(jié)詳細(xì)介紹了無(wú)窮積分比較判別法、狄利克雷判別法和阿貝爾判別法,用不同的判別法來(lái)判斷例題的斂散性.第3章 無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂方法3.1 無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念 給定一個(gè)數(shù)列,對(duì)它的各項(xiàng)依次用“+”號(hào)連接起來(lái)的表達(dá)式 （3-1）稱(chēng)為常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)或數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（也常簡(jiǎn)稱(chēng)級(jí)數(shù)）,其中稱(chēng)為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)或一般

19、項(xiàng).數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)也常寫(xiě)作或簡(jiǎn)單寫(xiě)作.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前項(xiàng)之和,記為 , （3-2）稱(chēng)它為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的第個(gè)部分和,也簡(jiǎn)稱(chēng)部分和.若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列收斂于 即（）,則稱(chēng)收斂,稱(chēng)為的和,記作 或 .若是發(fā)散數(shù)列,則稱(chēng)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（3-1）發(fā)散. 3.2正項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般判別方法定理3.1（正向級(jí)數(shù)的單調(diào)有界判別）正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是：部分和數(shù)列有界,即存在某正數(shù)m,對(duì)一切正整數(shù)有.定理3.2（正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較原則）設(shè)級(jí)數(shù)和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果存在某正整數(shù),對(duì)一切都有 ,則(i)若級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)也收斂；(ii)若級(jí)數(shù)發(fā)散,則級(jí)數(shù)也發(fā)散.例3.1 判別級(jí)數(shù)斂散性；解：因?yàn)槎?xiàng)級(jí)數(shù)收斂，由比較判別法知級(jí)數(shù)收斂.推論

20、3.1（正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法的極限形式）設(shè)級(jí)數(shù)和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù).若 則 (i)當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)和同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散； (ii)當(dāng)時(shí)且級(jí)數(shù)收斂時(shí),級(jí)數(shù)也收斂；(iii)當(dāng)時(shí)且級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí),級(jí)數(shù)也發(fā)散.例3.2判別級(jí)數(shù)斂散性；解：因?yàn)槎?xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，有比較判別法極限形式知發(fā)散.判別級(jí)數(shù)根據(jù)比較原則,可以利用已知收斂或者發(fā)散級(jí)數(shù)作為比較對(duì)象來(lái)判別其他級(jí)數(shù)的斂散性.本段所介紹的兩個(gè)方法是以等比級(jí)數(shù)作為比較對(duì)象而得到的.定理3.3（達(dá)朗貝爾判別法,或稱(chēng)比式判別法）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且存在某正整數(shù)及常數(shù)(i)若對(duì)一切,成立不等式 ,則級(jí)數(shù)收斂.(ii)若對(duì)一切,成立不等式 ,則級(jí)數(shù)發(fā)散.例3.3判別的斂散性解 因?yàn)樗?/p>

21、正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散.推論3.2（比式判別法的極限形式)若為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且 則 （i）當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂； （ii）當(dāng)或時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.定理3.4（柯西判別法,或稱(chēng)根式判別法）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且存在某正整數(shù)及正常數(shù),(i)若對(duì)一切,成立不等式則級(jí)數(shù)收斂.(ii)若對(duì)一切,成立不等式則級(jí)數(shù)發(fā)散.例3.4 判斷判別法；解 因?yàn)樗杂筛脚袆e法知收斂.推論3.3（根式判別法的極限形式）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且則(i)當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂；(ii)當(dāng)時(shí),則級(jí)數(shù)發(fā)散.積分判別法時(shí)利用非負(fù)函數(shù)的單調(diào)性和積分性質(zhì),并以反常積分為比較對(duì)象來(lái)判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性.定理3.5 (積分判別法) 設(shè)為上非負(fù)減函數(shù),那么正項(xiàng)級(jí)數(shù)與反常積分同時(shí)收斂或同

22、時(shí)發(fā)散.定理3.6(拉貝判別法) 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且存在某正整數(shù)及常數(shù),(i)若對(duì)一切,成立不等式,則級(jí)數(shù)收斂；(ii)若對(duì)一切,成立不等式則級(jí)數(shù)發(fā)散.例3.5 用拉貝判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性解：因?yàn)樗杂衫惻袆e法知級(jí)數(shù)收斂.推論3.4 （拉貝判別法的極限形式）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且極限存在,則(i)當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂；(ii)當(dāng)時(shí),則級(jí)數(shù)發(fā)散.3.3一般項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別方法關(guān)于一般數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性判別問(wèn)題要比正項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)雜,所以下面只討論了某些特殊類(lèi)型級(jí)數(shù) 的收斂性問(wèn)題.（1）交錯(cuò)級(jí)數(shù)： （3-3）定理3.7（萊布尼茨判別法）若交錯(cuò)級(jí)數(shù)（3-3）滿(mǎn)足下述兩個(gè)條件：(i)數(shù)列單調(diào)遞減；(ii)則級(jí)數(shù)（3

23、-3）收斂.（2）討論級(jí)數(shù) （3-4）收斂性判別方法.定理3.8（阿貝爾判別法） 若為單調(diào)有界數(shù)列,且級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)（3-4）收斂.定理3.9（狄利克雷判別法） 若數(shù)列單調(diào)遞減,且,又級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有界,則級(jí)數(shù)（3-4）收斂.例3.5 應(yīng)用阿貝爾判別法或狄利克雷判別判斷下列級(jí)數(shù)的收斂性；（1） ;解：數(shù)列，但時(shí)有同時(shí)，當(dāng)時(shí)有即嚴(yán)格遞減且有界；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，滿(mǎn)足萊布尼茨條件，即收斂；時(shí)，有即嚴(yán)格遞減且有界.又由于是收斂的，故由阿貝爾判別法知原級(jí)數(shù)收斂.本章詳細(xì)介紹了各種級(jí)數(shù)的收斂判別方法用不同的方法來(lái)判斷級(jí)數(shù)的斂散性.第4章 無(wú)窮級(jí)數(shù)與無(wú)窮積分的關(guān)系探討無(wú)窮積分和無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性都是通過(guò)極

24、限來(lái)定義的，只不過(guò)無(wú)窮積分是函數(shù)的極限，無(wú)窮級(jí)數(shù)是數(shù)列的極限，兩者有著密切的聯(lián)系.4.1反常積分與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的聯(lián)系定理4.1 收斂的充要條件是:對(duì)任一趨于的遞增數(shù)列（其中a1=a）,數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,且. （4-1）證：必要性 如果反常積分收斂,則充分性 已知對(duì)任意的趨于+的遞增數(shù)列（其中a1=a）,數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,即它的部分和數(shù)列（或）收斂,由海涅定理知,反常積分收斂,且由此得到討論無(wú)窮積分的收斂問(wèn)題可考慮轉(zhuǎn)化為討論無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題;另一方面,每一數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),可以看作一個(gè)階梯函數(shù)的無(wú)窮限反常積分,只要置,因而.4.2無(wú)窮積分和無(wú)窮級(jí)數(shù)的審斂法比較二者常用的審斂法有比較判別法、柯西判別法、狄利克雷判別

25、法和阿貝爾判別法。下面主要通過(guò)定理4.1,由無(wú)窮級(jí)數(shù)的判別法來(lái)推出無(wú)窮積分也具有相應(yīng)的判別法。例4.1 由無(wú)窮級(jí)數(shù)的比較判別法可以推出無(wú)窮積分也具有比較判別法，反之同理。證明：已知無(wú)窮級(jí)數(shù)的比較判別法即：當(dāng)時(shí)，若級(jí)數(shù)收斂。則級(jí)教也比收斂。由定理4.1 可構(gòu)造如下函數(shù)；，其中是任意趨于的遞增數(shù)列。由于，故， （4-2）因?yàn)槎ɡ?.1和級(jí)數(shù)收斂，所以無(wú)窮積分收斂；同理，因?yàn)槎ɡ?.1和級(jí)數(shù)收斂，所以無(wú)窮積分收斂；又由于級(jí)數(shù)收斂，則必有也收斂。故無(wú)窮積分收斂時(shí)，則必有窮積分也收斂。綜上可知：(4-2)式成立時(shí)，無(wú)窮積分窮積分收斂，則必有收斂。反之同理。由無(wú)窮級(jí)數(shù)的柯西判別法、阿貝爾判別法、狄利克雷判

26、別法等判別法也可以推出無(wú)窮積分也具有柯西柯西判別法、阿貝爾判別法、狄利克雷判別法別法等判別法。反之同理。而證明方法和上述的證明方法相仿因此略。4.3無(wú)窮積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)的差異對(duì)于無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的必要條件是,但對(duì)于無(wú)窮積分,卻未必有.例如，條件收斂,而卻不存在.究其原因,該例子中的是變號(hào)的.進(jìn)一步,當(dāng),且連續(xù),是否就有呢？回答是否定的.例如4.2 無(wú)窮積分收斂.被積函數(shù).在時(shí),且滿(mǎn)足.這表明函數(shù)圖像與第一項(xiàng)限的角平分線有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn),交點(diǎn)的坐標(biāo)是（）.但當(dāng)時(shí),函數(shù)值就急劇下降,當(dāng)時(shí)函數(shù)圖像已經(jīng)與軸很難區(qū)分開(kāi)來(lái).這個(gè)例子說(shuō)明無(wú)窮積分收斂,不僅有,而且可以有,即函數(shù)是無(wú)界的.事實(shí)上,由定理我們可以看出式

27、（4-1）中的,相當(dāng)于無(wú)窮級(jí)數(shù)中的,而不是.那么加什么條件才能得到結(jié)果呢？收斂時(shí),互為充分條件定理4.2 收斂,且在上一致連續(xù),則.證明 用反證法.假設(shè),即,有.已知在一致連續(xù),即,有. （4-2）,.若,則有,矛盾.若,則,由（2）式有從而.若,則,由（2）式有從而,即 .于是,有.根據(jù)cauchy收斂準(zhǔn)則逆否命題,發(fā)散,已知條件矛盾.于是,.定理4.3 若函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且無(wú)窮積分與都收斂,則.證明 已知無(wú)窮積分收斂,即存在,也就是極限存在.設(shè).下面證明.用反證法.假設(shè),不妨設(shè),即.由連續(xù)函數(shù)的保號(hào)性,于是,有 .從而,有.根據(jù)cauchy收斂準(zhǔn)則逆否命題,發(fā)散,已知條件矛盾.于是,.4.

28、4本章小結(jié)通過(guò)對(duì)無(wú)窮積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)的審斂法的對(duì)比研究說(shuō)明二者判別法上極為相似的本質(zhì)原因.再通過(guò)同時(shí)闡述了無(wú)窮積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)間的內(nèi)在關(guān)系,這兩部分內(nèi)容為數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)搭建了橋梁,將更易于掌握新知識(shí)、理清知識(shí)前后脈絡(luò)關(guān)系.結(jié)束語(yǔ)反常積分和無(wú)窮級(jí)數(shù)是數(shù)學(xué)分析中重要的兩部分內(nèi)容，自從微積分發(fā)展以來(lái)，反常積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)的對(duì)比研究一直是經(jīng)典內(nèi)容。本文主要從三個(gè)方面入手，首先詳細(xì)介紹了無(wú)窮積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)的常用判別方法，并加以習(xí)題予以應(yīng)用。再通過(guò)對(duì)無(wú)窮積分和無(wú)窮級(jí)數(shù)的判別方法對(duì)比研究發(fā)現(xiàn)：無(wú)窮積分和無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性都是由極限來(lái)定義的，只不過(guò)無(wú)窮積分是函數(shù)的極限，無(wú)窮級(jí)數(shù)是數(shù)列的極限，并且這兩部分能相互轉(zhuǎn)化，故它們的大多收斂問(wèn)題都可歸化為同一種問(wèn)題解決。這也是無(wú)窮積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)在性質(zhì)和判別法上有這么多相似地方的本質(zhì)原因。 雖然無(wú)窮積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)有這么多相似的地方，它們?nèi)杂胁煌胤?。比如無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的必要條件并不能推廣成無(wú)窮積分收斂的必要條件。故最后為此討論了無(wú)窮積分收斂時(shí)一定有的若干充分條件。全文通過(guò)比較無(wú)窮積分和無(wú)窮級(jí)數(shù)的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)它們內(nèi)在關(guān)系，為這兩部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)搭建了橋梁，將更易于掌握新知識(shí)、理清知識(shí)的前后脈絡(luò)關(guān)系。致謝 這篇論文之所以能夠順利地完成，除了自身的努力之外，還與他人的幫助是分不開(kāi)的.因此在這里，我要對(duì)所有幫助過(guò)我的人表示感謝.首先