旋轉(zhuǎn)體的體積

1、定積分的應(yīng)用1、微積分基本定理(牛頓-萊布尼茨公式)cbf (x)dxJ aFMb=F(b)-F(a)其中F(x)是被積函數(shù)于的原函數(shù)。2、定積分的幾何含義:在區(qū)間肚引上,若f 0) o,則 f二 s；若f(X) o,則 f(x)dx = -S;若既有正也有負(fù)貝jf fx)dx二各面積代數(shù)和3、定積分基本性質(zhì)bb(1) f (/(x) g(x)dx = f f(x)dx f g(x)dxJqJ aJdb(2) J kf (x)dx = k | f (x)dxb(3) f f (x)dx = f f (x)dx + f f (x)dxJ aJ aJc4、結(jié)論若/（兀）為偶函數(shù)，則 /（兀）=2/

2、（兀）J-GJO若/（兀）為奇函數(shù)，則 /（兀）=0J -Q旋轉(zhuǎn)體的定義示例：圓錐、圓柱、球等的形成過程（演示）。旋轉(zhuǎn)體的定義：旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒 這平面內(nèi)_條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.這直 線叫做旋轉(zhuǎn)軸。可選取適當(dāng)坐標(biāo)系，使旋轉(zhuǎn)軸為X軸或y軸 最基本的情形是曲邊梯形繞x軸或y軸旋轉(zhuǎn)的情形。（演示）O旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算公式1、旋轉(zhuǎn)軸為X軸(演示)(f(x)0)所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的y=f(x)由 x=a 5 x= b , y=0, y=f (x)體積為yv二fJ ab 2 r b271 y dx 71 /(x) dxJ a2、旋轉(zhuǎn)軸為y軸(演示) fiy= c , y

3、= d , x=05 x=g (y) ( g (y)O)f 圍成&inin的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋蒂體的體d積為yyfd 2rd r i2x=g (y)dy = 71 dy(cc旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算公式例2連接坐標(biāo)原點(diǎn)0及點(diǎn)P( h , r)的直線, 直線x二h及x軸圍成一個(gè)直角三角形，將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為r,高為h的圓錐,P(h5r)計(jì)算圓錐的體積。解：如圖所示直線0P的方程為y二二兀,hx g 0, h o所求體積為V =例3計(jì)算由曲線y=x2與x=y2所圍成的平面 圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積。解：如圖所示=f 7tydy _ f Ttydy10t返回JoJo練習(xí)：寫

4、出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達(dá)式(1) y = x3, x = 1, y = 0 繞x軸旋轉(zhuǎn)一冋J(rèn)6 ,1V =71 x ax = “ Jo7(2) y = F, y = l,兀=0 繞x軸旋轉(zhuǎn)一冋V f dx 71XX 16 dx =兀7x JoJoX練習(xí):寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達(dá)式練習(xí):寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達(dá)式E9繞y軸旋轉(zhuǎn)一練習(xí):寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達(dá)式練習(xí):寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達(dá)式(5) y = x = 1. x 軸練習(xí):寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達(dá)式練習(xí):寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達(dá)式繞y軸旋轉(zhuǎn)一練習(xí):寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達(dá)式練習(xí):寫出下列旋轉(zhuǎn)

5、體體積的定積分表達(dá)式（3） y = x2,y = x2 y = 2繞x軸旋轉(zhuǎn)V+ 1F7dx + 2 7T32（2 + 3 巧）7115.練習(xí)：寫出下列旋轉(zhuǎn)體體積的定積分表達(dá)式二*+1（6）y = x，y繞y軸旋轉(zhuǎn)一周3=兀2O exitO backO Pby O forward問題的提出返回O exit 0 backQ play O forwardO exit 0 backQ play O forward旋轉(zhuǎn)體概念返回旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸.完.O exit O backforward旋轉(zhuǎn)體實(shí)例圓錐園返回旋轉(zhuǎn)體實(shí)例圓柱園返回旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè) 平面圖形饒這平面

6、內(nèi) 一條直線旋濮一周而 成的立體.這直線叫 做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)體實(shí)例圓柱園返回旋轉(zhuǎn)體實(shí)例圓柱園返回完.O exit O backforward旋轉(zhuǎn)體實(shí)例圓柱園返回旋轉(zhuǎn)體的體積O exit 0 backQ play O forward.旋轉(zhuǎn)體體積推導(dǎo)返回體積例題3返I求星形線0-2一32-30）繞x軸旋軼構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積O exit Q backO Pby Q forward丿體積例題2返回O exit O backJQ play Q forward丿體積例題5返回基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式2. /(%)=?！癴 f (a:) = nxn x (n e R)3. f(x) = sin jv f (x) = cos x4. /(x) = cos jv f f (jv) = -sin x5. f(x) = axf(x) = ax In a6. 若f (x)=