三次函數(shù)的所有題型

1、三次函數(shù)的基本題型由于三次函數(shù)在高考中出現(xiàn)頻率最高，且四次函數(shù)、分式函數(shù)等都可轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)來解決，故以三次函數(shù)為例來研究根的情況，設(shè)三次函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù):，判別式為：=，設(shè)的兩根為、，結(jié)合函數(shù)草圖易得：(1) 若，則恰有一個(gè)實(shí)根；(2) 若,且，則恰有一個(gè)實(shí)根；(3) 若,且，則有兩個(gè)不相等的實(shí)根；(4) 若,且，則有三個(gè)不相等的實(shí)根.說明:(1)(2)含有一個(gè)實(shí)根的充要條件是曲線與軸只相交一次，即在R上為單調(diào)函數(shù)（或兩極值同號(hào)），所以（或，且）;(3)有兩個(gè)相異實(shí)根的充要條件是曲線與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)且其中之一為切點(diǎn)，所以，且;(4)有三個(gè)不相等的實(shí)根的充要條件是曲線與軸有三個(gè)公共點(diǎn)，即

2、有一個(gè)極大值，一個(gè)極小值，且兩極值異號(hào).所以且. 【例題1】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。【變式1】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?！咀兪?】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。【變式3】：設(shè)函數(shù)在（-，+）為單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍?！咀兪?】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?！咀兪?】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?！咀兪?】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?！纠}2】：設(shè)函數(shù)，求的極值?！纠}3】：設(shè)函數(shù)，求在0,4的最值。【變式1】：【2005高考北京文第19題改編】 已知函數(shù)f(x)=x33x29xa, 若f(x)在區(qū)間2，2上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值【變式2】：【2012高考北京文第19題改編】已

3、知函數(shù)，。當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求的取值范圍。【例題4】：設(shè)函數(shù)，在0,4的滿足恒成立，求c的取值范圍?！咀兪健浚涸O(shè)函數(shù)，在0,4的滿足恒成立，求c的取值范圍?！纠}5】：【2014高考北京文第20題改編】已知函數(shù).若過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍；【變式】(1)已知函數(shù).若過點(diǎn)存在2條直線與相切，求t的取值范圍；(2)已知函數(shù).若過點(diǎn)存在1條直線與相切，求t的取值范圍 (3）問過點(diǎn)A(1，2)，B(2，10)，C(0，2)分別存在幾條直線與曲線yf(x)相切？【變式】：已知函數(shù)f(x)=在處有極值. （）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)f(x)在區(qū)間-3,3上有且僅

4、有一個(gè)零點(diǎn)，求b的取值范圍。【例題6】：設(shè)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，求的取值范圍；【變式】已知函數(shù).若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍【例題7】已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍【例題8】，若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍；【例題9】已知函數(shù)，其中求在區(qū)間上的最小值答案：【例題1】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解析：的定義域?yàn)镽，,此時(shí)為的單調(diào)遞增區(qū)間；，此時(shí)為的單調(diào)遞減區(qū)間?！咀兪?】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解析：的定義域?yàn)镽，,此時(shí)為的單調(diào)遞增區(qū)間；，此時(shí)為的單調(diào)遞減區(qū)間?！纠蠀菐湍憬夂蠓此肌浚鹤兪?與例題的區(qū)別在于把三次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)換成參數(shù)m，但是不影響函數(shù)的單調(diào)性。

5、【變式2】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解析：依題意可得 當(dāng)即時(shí),恒成立,故,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增; 當(dāng)即時(shí), 有兩個(gè)相異實(shí)根，且，故，此時(shí)為的單調(diào)遞增區(qū)間；，此時(shí)為的單調(diào)遞減區(qū)間。綜上可知，當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增; 當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增， 單調(diào)遞減?！纠蠀菐湍憬夂蠓此肌浚汉瘮?shù)求導(dǎo)后為常數(shù)項(xiàng)未知的二次函數(shù)，不能確定二次函數(shù)與圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即二次方程的跟，所以要討論的正負(fù)?！咀兪?】：設(shè)函數(shù)在（-，+）為單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍。解析：依題意可得 ，所以?！纠蠀菐湍憬夂蠓此肌浚?、單調(diào)函數(shù)為在定義域范圍內(nèi)為增函數(shù)或減函數(shù);2函數(shù)求導(dǎo)后為含參數(shù)的二次函數(shù)， 二次函數(shù)圖像開口向上，所以只能滿足（-，+）上

6、，所以要 ?！咀兪?】：設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解析：依題意可得 ， 令，（1) m1,即為單調(diào)遞增，為單調(diào)遞減； （2）m=1,即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增; （3）m1,即為單調(diào)遞增，為單調(diào)遞減；【老吳幫你解后反思】：由于m的不確定性，不能確定兩根的大小，所以要進(jìn)行分類討論，很多同學(xué)不知道分類討論的分界點(diǎn)是什么，遇到這種能夠直接可以因式分解的，討論的分界點(diǎn)即為兩根相等時(shí)求出的參數(shù)值，所以此題分類討論的分界點(diǎn)為m=1,m1,m000單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增附圖：【例題3】：設(shè)函數(shù)，求在0,4的最值。解析：定義域?yàn)?，依?jù)題意可知，令，（舍）0340單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增通過表格可以發(fā)

7、現(xiàn)，最大值為，最小值【老吳幫你解后反思】：本題主要注意求出 導(dǎo)數(shù)值為零點(diǎn)時(shí)，不在給定范圍。附圖：【變式1】：【2005高考北京文第19題改編】 已知函數(shù)f(x)=x33x29xa, 若f(x)在區(qū)間2，2上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值解析： 依據(jù)題意，（舍）-2-1 20 單調(diào)遞減單調(diào)遞增由表可知f(x)的最大值為=20，所以=-2.f(x)的最小值為=-7.附圖：【變式2】：【2012高考北京文第19題改編】已知函數(shù)，。當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求的取值范圍。解析： 依據(jù)題意，-3-12000單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可知，要使最大值為，必須使?！纠蠀?/p>

8、幫你解后反思】： 在解決函數(shù)問題時(shí)，一定要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值大致繪出函數(shù)圖像（如下圖),通過圖像一目了然就可以觀察出?！纠}4】：設(shè)函數(shù)，在0,4的滿足恒成立，求c的取值范圍。解析：定義域?yàn)椋罁?jù)題意可知，令，（舍）0340單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增通過表格可以發(fā)現(xiàn)，最大值為，最小值在0,4的滿足恒成立，必須使c1.【變式】：設(shè)函數(shù)，在0,4的滿足恒成立，求c的取值范圍。解析：定義域?yàn)?，依?jù)題意可知，令，（舍）0340單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增通過表格可以發(fā)現(xiàn)，最大值為，最小值在0,4的滿足恒成立，必須使c.【老吳幫你解后反思】： 此類題目為恒成立問題，可以總結(jié)為恒成立，滿足；恒成立，滿足。【例

9、題5】：【2014高考北京文第20題改編】已知函數(shù).若過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍；方法一：方法二：，設(shè)，則“過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切”等價(jià)于“圖像有三個(gè)交點(diǎn)”。g(x)12x212x12x(x1)當(dāng)x變化時(shí)，g(x)與g(x)的變化情況如下：x(，0)0(0，1)1(1，)g(x)00g(x)單調(diào)遞增3單調(diào)遞減1單調(diào)遞增所以，g(0)3是g(x)的極大值，g(1)1是g(x)的極小值結(jié)合圖像知，當(dāng)y=g(x)與有3個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)，有1t3,即3t-1或t-3 (3)過點(diǎn)A(1，2)存在3條直線與曲線yf(x)相切；過點(diǎn)B(2，10)存在2條直線與曲線yf(x)相切；過點(diǎn)C(0，

10、2)存在1條直線與曲線yf(x)相切【老吳幫你解后反思】： 解法一是高考標(biāo)準(zhǔn)答案，解法二，運(yùn)用分離參數(shù)法思想，分解成兩個(gè)函數(shù)，一個(gè)是三次函數(shù)且不含參數(shù)，一個(gè)是常見的常函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖像（如圖)即可求解。【變式】：已知函數(shù)f(x)=在x=-2處有極值. （）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)f(x)在區(qū)間-3,3上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求b的取值范圍。解: （） 由題意知: ,得a=-1，令，得x0, 令，得-2x0, f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（-，-2）和（0，+），單調(diào)遞減區(qū)間是（-2，0）。（）解法一：由（）知，f(x)= ，f(-2)=為函數(shù)f(x)極大值，f(0)=b為極小值。函數(shù)f(x

11、)在區(qū)間-3,3上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，或或或或 ，即 ，即b的取值范圍是。 解法二：由（）知，f(x)= ，令=0，（以下略解）求出在-3,3的最值與單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)圖像即可求解。附圖：【例題6】：設(shè)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，求的取值范圍；【解析】 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，【變式】已知函數(shù).若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍解析由于，的變化情況如下表：+00+單調(diào)增極大值單調(diào)減極小值單調(diào)增所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和. 【例題7】已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍解析：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間不單調(diào)，所以函數(shù)在上存在零點(diǎn)而的兩根為，區(qū)間長為，在區(qū)間上不可能有2個(gè)零點(diǎn)所以，即， 又，【例題8】，若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍；解析：在上存在單調(diào)遞增區(qū)間【例題9】已知函數(shù)，其中求在區(qū)間上的最