高中數(shù)學(xué)3_2_3324直線與平面的夾角二面角及其度量學(xué)案新人教B版選修2-1

1、文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.3.2.3 直線與平面的夾角3.2.4 二面角及其度量1 .理解直線與平面所成角的概念.（重點(diǎn)）2 .會(huì)用向量法求線線、線面、面面的夾角.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）3 .正確區(qū)分向量夾角與所求線線角、面面角的關(guān)系.（易錯(cuò)點(diǎn)）基礎(chǔ)初探教材整理1直線與平面的夾角閱讀教材p106p107 “例”以上部分內(nèi)容，完成下列問(wèn)題.1 .直線與平面所成的角2 .最小角定理1 .已知向量m n分別是直線l與平面a的方向向量、法向量，若cosm n = 則l與a所成的角為.【解析】設(shè)l與a所成的角為9 ,則sin 9 = |cosmi n| =當(dāng)，: 0 =60

2、.【答案】602 . pa pr pc是由點(diǎn)p出發(fā)的三條射線，兩兩夾角為60。，則pc與平面pa斷成角的余弦值為.【解析】設(shè)pcj平面pab所成的角為 0 ,則cos 60 = cos 0 cos 30 ,得cos 0一3 .【答案】33教材整理2二面角及其度量閱讀教材p108p109 “例1”以上部分內(nèi)容，完成下列問(wèn)題.1 .二面角的相關(guān)概念（1）二面角及其平面角半平囿平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面二面角從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做一面角的面.棱為 l ,兩個(gè)面分別為 a , （3的一面角，記作 a -

3、 l - b ,若ac a , bc ,則二面角也可以記作 al -b平面角在二面角a - l - b的棱上任取一點(diǎn) o在兩半平面內(nèi)分別作射線 oal l , obl l , 則/ aohu做二面角 a -1 - 的平面角（2）二面角的范圍設(shè)二面角為 a ,則0 w a w1802 .直二面角平面角是直角的二面角叫做直二面角.3 .二面角的度量(1)分別在二面角 a-l-b的面a, b內(nèi)，作向量nil , n2l ,則可以用ni,兔 來(lái)度量二面角 a -1 - b .(2)設(shè)ml a , m21 b ,則m, m與二面角 a -1 - (3大小相等或互補(bǔ).1 .在正方體 abcdaibicd中

4、，二面角 a-bca的余弦值為()b.a.-c.三d.申【解析】 易知/ a ba為二面角ai- bga的平面角,ab 2cos / a ba= 7-5= %.ab 2【答案】c2 .已知 abg口 bcd勻?yàn)檫呴L(zhǎng)為a的等邊三角形，且 ad= 3a,則二面角a-bcd的大小為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】a. 30b. 45c. 60d. 90【解析】如圖，取bc的中點(diǎn)為e,連接ae de由題意得ae bc del bc且 ae= de= 2a,又 ad= -a,，/aed= 60 ,即二面角 a-bcd的大小為60 .【答案】c質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1： 解惑

5、：疑問(wèn)2: 解惑：疑問(wèn)3: 解惑：利用空間角的定義求空間角小組合作型卜例u 在長(zhǎng)方體 abcdabgd中，ab= 4, bc= 3, aa= 5,試求 bd與平面 abcd所 成角的正弦值.【精彩點(diǎn)撥】 作出b點(diǎn)在平面abcdrt的射影，從而彳#到bd在平面aibcd內(nèi)的射影.【自主解答】作be，ab,垂足為e,又因?yàn)閍d，平面abba ,.adxbe.由 biexab及 bead得 be，平面 abcd, 所以，de就是dbi在平面aibcd內(nèi)的射影， 從而/ bide就是dbi與平面abcd所成的角.,eb在 rtbde 中，有 sin / bde=.dibidbi= aibi+aid =

6、。16+9 = 5,一11又 $ abb=ab- eb=/ab - bb,a b= ,25+ 16 = j/41,4x5 204 141eb= ,= ,sin / bde= -7:.聲聲411 .作直線與平面夾角的一般方法：在直線上找一點(diǎn)，通過(guò)這個(gè)點(diǎn)作平面的垂線，從而確定射影，找到要求的角.其中關(guān)鍵是作平面的垂線,此方法簡(jiǎn)稱為“一作，二證，三計(jì)算”.2 .用定義求二面角的步驟:(1)作(找)出二面角的平面角(作二面角時(shí)多用三垂線定理 )；(2)證明所作平面角即為所求二面角的平面角；(3)解三角形求角.再練一題1 .如圖3-2-24, abc虛正方形，v是平面abcd卜一點(diǎn)，且 va= vb=

7、vc= ab,求二面 角avbc的余弦值.圖 3-2-24【解】 取vb的中點(diǎn)為e,連接a耳ce. va= ab= bc= vc. ae! vr ce1 vb/aeb二面角 avbc的平面角.設(shè) ab= a,連接 ag 在ae8, ae= ec半a, ag= 2a,由余弦定理可知j3：2a乎a 2 + cos / aeg=2x，所求二面角 avbc的余弦值為1.3利用空間向量求線面角1卜例胃 如圖 3-2-25 所小，三棱錐 p-abc43, pal平面 abc abac, pa= ac= 2ab n為ab上一點(diǎn)，ab= 4an m s分別為pb bc的中點(diǎn).圖 3-2-25(1)證明：cml

8、 sn(2)求sn與平面cmnf成角的大小.【精彩點(diǎn)撥】(1)怎樣建立坐標(biāo)系？(2)向量cmrsn蔭足什么關(guān)系時(shí)有 cml sn成立？(3) s的坐標(biāo)是多少？平面 cmn勺一個(gè)法向量怎么求？sni平面cmn勺法向量的夾角就是sn與平面cmnf成的角嗎？【自主解答】設(shè)pa= 1,以a為原點(diǎn)，射線 ab, ac ap分別為x軸，y軸，z軸正向建立空間直角坐 標(biāo)系(如圖).則 p(0,0,1) , qo,1,0) , b(2,0,0),1又an= 4abi m s分別為pb, bc的中點(diǎn)，111n2, o, o , m1, 0, 2 , s 1, 2, 0 ,一1 一 11(1) cm= 1, 1,

9、 2 , sn= 2,一萬(wàn)，o , .cm sn= 1, 1, 2 , 一2，2，0 =0,因止匕cml sni1(2) nc=1, 0,設(shè) a=(x, y, z)為平面 cmn勺一個(gè)法向量，cm a = 0, nd a=0.1 xy + z= 0,12x+y = 0,x=2y, z= 2y.取 y=1,得 a=(2,1 , -2).因?yàn)?cos1一 1 一一3芳. a,疝3=4兀1 23 兀 兀所以sn與平面cm斷成的角為4兀一萬(wàn)=%.1 .本題中直線的方向向量 sni平面的法向量 a的夾角并不是所求線面角e,它們的關(guān)系是 sin 0 = |cos sn| a |.2 .若直線l與平面a的夾

10、角為e,利用法向量計(jì)算e的步驟如下：再練一題3 .設(shè)在直三棱柱 abcabc 中，ab= ac= aa=2, / bac= 90 , e, f 依次為 cc, bc 的中點(diǎn).試求 a1b與平面aef的夾角的正弦值.圖 3-2-26【解】以a為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 a(0,0,0) , a(0,0,2) , r2,0,0) , e(0,2,1) , f(1,1,0),所以 a1b= (2,0 , - 2) , ae = (0,2,1) , af= (1,1,0).2b+c=0, a+ b= 0,設(shè)平面 aef的一個(gè)法向量為 n=(a, b, c),n - ae= 0, 由n -

11、 af= 0,令 a=1,可得 n= (1 , 1,2).設(shè)ab與平面aef勺夾角為0,所以sin e = 1cos oe- ac= 0, . .oelac 1 - _ a _ of= 2ba 0, 2, 0 , of, ac= 0. .ofl ac / eo的平面eac1平面abcd勺夾角(或補(bǔ)角).一 一oe- of j2cosoe of) =十一.i oei of 2 平面eac平面abcd勺夾角為45 .法二建系如方法一，: pal平面abcd .ap= (0,0 , a)為平面abcd勺法向量,. b a a 一ae= 2, 2，2，ac= (b,0,0).m- ae= 0, 由nr

12、 ac= 0,baa2x-2y+2z=0,bx= 0.設(shè)平面aec勺法向量為mi= (x, y, z). x=0, y=z.，取 m= (0,1,1)m- ap a：2cos (1,1,0) , ce=(0,2,1) , ca= (2,0,2)設(shè)n=(x1, y1, z1)是平面 acd的法向量,n - c 0,則 -n - ca= 0,x1 + y1= 02x1+2z= 0.可取 n=(1 , 1, - 1).同理，設(shè)m= (x2, y2, z2)是平面a ce的法向量,nr ce= 0,則 -m- ca= 0,2y2+ z2= 0,2x2+ 2z2= 0.可取 m= (2,1 , 2).從

13、而 cos n, mn - m 木工口3 ,故 sinn m即二面角d-ac e的正弦值為用向量法求二面角的大小，可以避免作出二面角的平面角這一難點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為計(jì)算兩半平 面法向量的夾角問(wèn)題，具體求解步驟如下:(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量;求兩個(gè)法向量的夾角；(4)判斷所求二面角的平面角是銳角還是鈍角；(5)確定二面角的大小.再練一題3.如圖3-2-28,在空間直角坐標(biāo)系cxyz中，ab是圓o的直徑，ac- bc- 22, dc/1 ，一入，一、一eb dc= eb tan/eab= 4,求二面角 daeb的余弦值.圖 3-2-281【解】由題可知 a

14、b= 4, tan z eab= 4,可得 cd= eb= 1,，d(0,0,1) , r0,2 姆，1),a(2 或，0,0) , b(0 , 25 0),則 ab= (-2/2, 2啦，0), be= (0,0,1) , da= (2 ，0,-1) , de= (0,2 也 0),設(shè)平面dae勺法向量為 m = (x1, y1, zi),m de= 0,則m da= 0,261 = 0, 2/2x1 zi= 0. .y1 = 0,令 xi=1,則 z1=242, .平面 daew一個(gè)法向量為 n1= (1,0,2 巾).設(shè)平面abe的法向量為n2=(x2, y2, z2),n2 - be=

15、 0,n2 - ab= 0,z2= 0,2啦地+ 2揚(yáng)2 = 0,z2= 0,令 x2= 1 ,則 y2= 1,平面abe的一個(gè)法向量為 n2= (1,1,0),n1 1121212c c cos n1 ) n2 小|n1|n 2| p 乂4 6由圖可以判斷二面角d-ae b為鈍角，二面角daeb的余弦值為一平.6構(gòu)建體系1 .正方體 abcdabcd中，o為側(cè)面bcc1的中心，則 ao與平面abc所成角的正弦值為()ab八.3d i3【解析】 取bc中點(diǎn)m連接am om易知/ oamw為ao與平面abcdf成的角，可求得sin / oam 唱.6【答案】c2 .在正方體 abcdabcd中，

16、e是gc的中點(diǎn)，則直線 be與平面b1bd所成的角的正弦值為()a-40b fc. 一 t5d. t5【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則以0,0,0),r2,2,0), b(2,2,2), e(0,2,1).bd= ( 2, 2,0) , bb= (0,0,2),be= (-2,0,1).設(shè)平面bbd的法向量為n=(x, y, z). nbd, nxbbs,2x2y = 0,x= - y,2z=0,z= 0.令 y = 1,則 n=( 1,1,0).cos n,金二旦屋|n| be,105 ，設(shè)直線be與平面bbd所成角為0 ,則sin0 = |cos 【答案】b3.

17、在一個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)都和二面角的棱垂直的兩個(gè)向量分別為(0 , 1,3),(2,2,(4) 這個(gè)二面角的余弦值為 .【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【解析】 兩向量夾角與二面角相等或互補(bǔ)，則二面角的余弦值為,156【答案】56apbc的余4 .如圖 3-2-29, pa1平面 abc acl bc pa ac= 1, bc= 求二面角 弦值為.圖 3-2-29【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則代。0） , b（小，1,0）, qo,i,o） , p（o,0,i）,ap=（0,0,1）, ab= h/2, i,o）,cb=（啦，0,o）,cp=（o, -1,1）.設(shè)平面pab的法向量為 m （x, y, z）,m

18、- ap= 0,m- ab= 0,x, y, z 0, 0, 1=0,即解得y=-a/2x, z= 0.令 x = 1,則 m= (1 ,0).設(shè)平面pbc勺法向量為n=(x , y , z),n cb= 0, 則n cp= 0,v2, 0, 0 =0,0, -1, 1 =0,x = 0, 解得y=z.令 y =- 1,則 n=(0, 1, 1),m n 3cos m n =m, n | m| n|33故二面角a-pbc的余弦值為安.x, y, z 寸2, 1, 0 =0,5 .如圖 3-2-30,在三棱錐p-abq,pb，平面abqba=bf bqd,c,e,f 分別是aq bq ap bp

19、的中點(diǎn)，aq= 2bd pdw eq交于點(diǎn)g pc與fq交于點(diǎn)h,連接gh圖 3-2-30(1)求證：ab/ gh(2)求二面角d-ghe的余弦值.【解】(1)證明：因?yàn)閐,c,e,f分別是aq bqap,bp的中點(diǎn)，所以ef/ab,dc/ ab 所以 ef/ dc又因?yàn)閑f?平面pcd dc?平面pcd所以ef/平面pcd又因?yàn)閑f?平面efq平面ef平面pcd= gh所以ef/ gh又因?yàn)閑f/ ab,所以ab/ gh(2)在 abq, aq= 2bd ad= dq所以/ abq= 90 .又因?yàn)閜b，平面abq所以ba bq bp兩兩垂直.以點(diǎn)b為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 ba bq bp所在直

20、線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空 間直角坐標(biāo)系.設(shè) ba= bp= bq= 2,則 e(1,0,1),f(0,0,1),q0,2,0),以1,1,0),c(0,1,0),r0,0,2)，所以e (-1,2 , -1) , fq= (0,2 , 1), dp= (-1, 1,2) , cp= (0 , 1,2).設(shè)平面efq的一個(gè)法向量為 m (x1, y1, z1),由 m- eq= 0, m- fq= 0,x1+ 2y1 z1= 0,得 cc取 y1=1,得 m= (0,1,2).2y1 -z1 = 0,設(shè)平面pdc勺一個(gè)法向量為 n=(x2, y2, z2),由 n , dp= 0,

21、n , cp= 0,x2 y2+ 2z2= 0,得取 z2=1,得 n=(0,2,1).y2+ 2z2= 0,所以 cosm, nnr n|m|n|因?yàn)槎娼莇-ghe為鈍角,4所以二面角dghe的余弦值為一5.我還有這些不足:（2）我的課下提升方案：,(2),學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)（建議用時(shí)：45分鐘）學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)、選擇題1.若直線l的方向向量與平面a的法向量的夾角等于120 ,則直線l與平面a所成的角等于（a. 120b. 60c. 30d.以上均錯(cuò)設(shè)直線l與平面a所成的角為0 ,則sin0 = |cos 120又 0e 90 ,e =30 .2.若直線l與平面一 一,- 兀 .a所成角為不，直線a在平

22、面 3內(nèi)，且與直線異面，則直線l與直線a所成角的取值范圍是（a.0,b.c.d.由最小角定理知直線兀l與直線a所成的最小角為可，又la為異面直線,一.一 .兀則所成角的最大值為-3.正方形abc所在平面外一點(diǎn)p, pa1平面abcd若pa= ab則平面pa的平面pcd的夾角為（【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】a. 30b. 45c. 60d. 90如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè) pa= ab= 1.則 a(0,0,0) , d(0,1,0) , p(0,0,1),于是 a d= (0,1,0).取pd中點(diǎn)為e,1則 e0, 2.ae= 0,12易知a比平面pab勺法向量，a提平面pcd勺法向量,cos = 22

23、,平面pabf平面pcd勺夾角為45 .4.如圖3-2-31 ,在空間直角坐標(biāo)系dxyz中，四棱柱abcdabcd 為長(zhǎng)方體，aa=ab= 2aq點(diǎn)e,f分別為gd, a1b的中點(diǎn)，則二面角 b-abe的余弦值為()圖 3-2-31a.b7d-2設(shè) ad= 1,則 a1(1,0,2), b(1,2,0),因?yàn)閑, f分別為cd, a1b的中點(diǎn)，所以 r0,1,2)f(1,1,1),所以 ae= ( -1,1,0) , ab=(0,2m= (x, y, z)是平面a1e- m0,abe的法向量，則ab- m= 0,-x + y= 0所以2y-2z=0y = x所以y=z=1,所以平面 abe的一

24、個(gè)法向量為 m (1,1,1),又dal平面abb,所以da= (1,0,0)是平面abb的一個(gè)法向量，所以 cos 0 ,所以 sin = 1j1 - 4pty 2【解析】設(shè)平面xoz的法向量為n=(0, t, 0)( tw0), ab= (1,3, 乖),所以cos n,8 .已知點(diǎn)e, f分別在正方體 abcdabgd的棱bb, cc上，且be= 2eb, c三2fc, 則平面aef與平面abo成的二面角的正切值等于 .【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,平面abc勺法向量為ni= (0,0,1)，平面aef的法向量為n2 = (x,y, z) 所以 a(1,0,0)

25、, e 1, 1, 1 , f 0, 1, 2 , 33所以ae= 0, 1, - , ef= -1, 0,-, 33n2 , ae= 0,n2 , ef= 0,1 y+-z = 0, 即31-x + -z= 0.3取 x = 1,則 y = - 1, z = 3.故 n2= (1 , 1,3).所以 cosm, n2n1 - n23j11|n 111n 2|11所以平面aef與平面abo成的二面角的平面角a滿足cos =零,sin =號(hào)，所以 tan a =三、解答題9 .如圖3-2-32所示，在四面體 abcw, q e分別是bd bc的中點(diǎn)，ca= cb= cd= bd =2, ab=

26、ad=啦.圖 3-2-32(1)求證：aol平面bcd(2)求異面直線ab與cd所成角的余弦值.【解】(1)證明：連接oc由題意知b0= do ab= ad. aolbd又 bo= do bc= cd col bd在aow,由已知可得 ao= 1, co= g又 ac= 2, - a(2+c(2 = ac2,./aoc= 90 ,即 aol oc. bm oc= q . .aol平面 bcd(2)以o為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則 b(1，0，0) ， d( -1,0,0) , c(0,木，0), a(0,0,1),e1由02， 2 0 .ba= (-1,0,1) , cd= (-1,0),

27、一 一ba cd j2, , cosba cd = -4 .i ba | cd異面直線a* cd所成角的余弦值為 一.410.四棱錐p-abcd勺底面是正方形，pdl底面abcd點(diǎn)e在p pb上.(1)求證：平面 aecl平面pdb(2)當(dāng)pd= 42ab且e為pb的中點(diǎn)時(shí)，求 ae與平面pdbm；的角的大小.【解】 如圖，以d為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系dxyz,設(shè)ab= a, pd= h,則a(a,0,0),ra, a,0), q0, a,0), d(0,0,0) , r0,0 , h),(1) .缸(一a, a,0) , dp= (0,0 , h) , db= (a, a, 0),.ab d

28、p= 0, ab db= 0,. acl dp ac db 又 dpm db= d. acl平面 pdb又ac?平面aec 平面 aecl平面pdb(2)當(dāng)pd= 42ab且e為pb的中點(diǎn)時(shí)，r0,0,、/2a), e3,2a,*a,a a . 一設(shè) act bd= q o2，2，0 ,連接 oe 由(1)知 acl平面 pdw q/aeo ae與平面pd所成的角， ea 2a, -2a,一當(dāng)a , eo= 0, 0,一乎a ,ea由 用cos / aeo=,1ga . | 由，/aeo= 45 ,即 ae與平面pd所成的角的大小為 45 .能力提升1.已知在長(zhǎng)方體 abcdabgd中，ab= bc= 1, aa= 2, e是側(cè)棱 bb的中點(diǎn)，則直線 ae與平面a ed所成角的大小為()a. 60b. 90c. 45d.以上都不對(duì)【解析】以點(diǎn)d為原點(diǎn)，分別以 da dc dd所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.由題意知，ai(1,0,2),日1,1,1) , d(0,0,2) , a(1,0,0),所以 ae= (0,1 , - 1)de=(1,1 ， 1 1), ea= (0, 1, -1)