《圓》全章復習與鞏固—知識講解（提高）

1、 讓更多的孩子得到更好的教育圓全章復習與鞏固知識講解（提高）責編：常春芳 【學習目標】1.理解圓及其有關概念，理解弧、弦、圓心角的關系；探索并了解點與圓、直線與圓的位置關系，探索并掌握圓周角與圓心角的關系、直徑所對的圓周角的特征；2.了解切線的概念，探索并掌握切線與過切點的半徑之間的位置關系，能判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點畫圓的切線；3.了解三角形的內(nèi)心和外心，探索如何過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓；4.了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會計算弧長及扇形的面積；【知識網(wǎng)絡】【要點梳理】要點一、圓的定義、性質及與圓有關的角1圓的定義(1)線段OA繞著

2、它的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓.(2)圓是到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形.要點詮釋： 圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小；確定一個圓應先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可； 圓是一條封閉曲線.2圓的性質(1)旋轉不變性：圓是旋轉對稱圖形，繞圓心旋轉任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心. 在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應的其他各組分別相等.(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸.(3)垂徑定理及推論： 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

3、 平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧. 弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧. 平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦. 平行弦夾的弧相等.要點詮釋： 在垂經(jīng)定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設時，平分的弦不能是直徑）3與圓有關的角(1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角. 圓心角的性質：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù).(2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角. 圓周角的性質： 圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半.

4、 同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等. 90的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角. 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形. 圓內(nèi)接四邊形的對角互補；外角等于它的內(nèi)對角.要點詮釋：(1)圓周角必須滿足兩個條件：頂點在圓上；角的兩邊都和圓相交.(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.要點二、與圓有關的位置關系1判定一個點P是否在O上設O的半徑為，OP=，則有點P在O 外；點P在O 上；點P在O 內(nèi).要點詮釋：點和圓的位置關系和點到圓心的距離的數(shù)量關系是相對應的，即知道位置關系就可以確定數(shù)量關系；知道數(shù)量關系也可以

5、確定位置關系.2判定幾個點在同一個圓上的方法當時，在O 上.3直線和圓的位置關系設O 半徑為R，點O到直線的距離為.(1)直線和O沒有公共點直線和圓相離.(2)直線和O有唯一公共點直線和O相切.(3)直線和O有兩個公共點直線和O相交.4切線的判定、性質(1)切線的判定： 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線. 到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線.(2)切線的性質： 圓的切線垂直于過切點的半徑. 經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點. 經(jīng)過切點作切線的垂線經(jīng)過圓心.(3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長.(4)切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線

6、，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.要點三、三角形的外接圓與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形1三角形的內(nèi)心、外心(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三條角平分線的交點，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用O表示.要點詮釋：(1) 任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；(2) 解決三角形內(nèi)心的有關問題時，面積法

7、是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).(3) 三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分BAC、ABC、ACB； (3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.2圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形(1)四個點都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對角互補，外角等于內(nèi)對角.(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之

8、和相等.要點四、圓中有關計算1圓中有關計算圓的面積公式：，周長.圓心角為、半徑為R的弧長.圓心角為，半徑為R，弧長為的扇形的面積.弓形的面積要轉化為扇形和三角形的面積和、差來計算.要點詮釋：(1)對于扇形面積公式，關鍵要理解圓心角是1的扇形面積是圓面積的，即；(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點類似，可類比記憶；(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：.【典型例題】類型一、圓的有關概念及性質1. 如圖，已知O是以數(shù)軸的原點O為圓心，半徑為1的圓，AOB=45

9、,點在數(shù)軸上運動，若過點P且與OA平行（或重合）的直線與O有公共點, 設OP=x，則的取值范圍是（ ）.A11 B C0 D 【思路點撥】 關鍵是通過平移，確定直線與圓相切的情況，求出此時OP的值【答案】C；【解析】如圖，平移過P點的直線到P，使其與O相切，設切點為Q，連接OQ，由切線的性質，得OQP=90，OAPQ，OPQ=AOB=45，OQP為等腰直角三角形，在RtOQP中，OQ=1，OP=，當過點P且與OB平行的直線與O有公共點時，0OP，當點P在x軸負半軸即點P向左側移動時，結果相同故答案為：0OP【總結升華】本題考查了直線與圓的位置關系問題舉一反三：【變式】如圖，已知O是以數(shù)軸的原點

10、為圓心，半徑為1的圓，AOB=45，點P在數(shù)軸上運動，若過點P且與OB平行的直線于O有公共點，設P（x，0），則x的取值范圍是（）.A-1x0或0x1 B0x1 C-x0或0x Dx1 【答案】O是以數(shù)軸的原點為圓心，半徑為1的圓，AOB=45，過點P且與OB平行的直線與O相切時，假設切點為D，OD=DP=1，OP=，0OP，同理可得，當OP與x軸負半軸相交時，-OP0，-OP0，或0OP故選C 類型二、弧、弦、圓心角、圓周角的關系及垂徑定理2如圖所示，已知在O中，AB是O的直徑，弦CGAB于D，F(xiàn)是O上的點，且，BF交CG于點E，求證：CEBE 【思路點撥】 主要用垂徑定理及其推論進行證明【

11、答案與解析】 證法一：如圖(1)，連接BC， AB是O的直徑，弦CGAB， ， CCBE CEBE 證法二：如圖(2)，作ONBF，垂足為N，連接OE AB是O的直徑，且ABCG， ， BFCG，ONOD ONEODE90，OEOE，ONOD， ONEODE， NEDE ， BNCD， BN-ENCD-ED， BECE 證法三：如圖(3)，連接OC交BF于點N ， OCBF AB是O的直徑，CGAB， ， ， OCOB， OC-ONOB-OD，即CNBD又CNEBDE90，CENBED， CNEBDE， CEBE【總結升華】在平時多進行一題多解、一題多證、一題多變的練習，這樣不但能提高分析問題

12、的能力，而且還是溝通知識體系、學習知識，使用知識的好方法舉一反三：【變式】如圖所示，在O內(nèi)有折線OABC,其中OA=8,AB=12,A=B=60,則BC的長為（ ）A19 B16 C18 D20 【答案】如圖，延長AO交BC于點D,過O作OEBC于E.則三角形ABD為等邊三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在RtODE中，ODE=60，DOE=30,則DE=OD=2，BE=BD-DE=10OE垂直平分BC，BC=2BE=20. 故選D 類型三、與圓有關的位置關系3一個長方體的香煙盒里，裝滿大小均勻的20支香煙.打開煙盒的頂蓋后，二十支香煙排列成三行，如圖（1）所示.經(jīng)測量，一支

13、香煙的直徑約為0.75cm，長約為8.4cm. （1）試計算煙盒頂蓋ABCD的面積（本小題計算結果不取近似值）； （2）制作這樣一個煙盒至少需要多少面積的紙張（不計重疊粘合的部分，計算結果.【答案與解析】（1）如圖（2），作O1EO2O3 四邊形ABCD的面積是： （2）制作一個煙盒至少需要紙張： .【總結升華】四邊形ABCD中，AD長為7支香煙的直徑之和，易求；求AB長，只要計算出如圖（2）中的O1E長即可.類型四、圓中有關的計算4（2015丹東）如圖，AB是O的直徑，=，連接ED、BD，延長AE交BD的延長線于點M，過點D作O的切線交AB的延長線于點C（1）若OA=CD=2，求陰影部分的面

14、積；（2）求證：DE=DM【答案與解析】解：如圖，連接OD，CD是O切線，ODCD，OA=CD=2，OA=OD，OD=CD=2，OCD為等腰直角三角形，DOC=C=45，S陰影=SOCDS扇OBD=4；（2）證明：如圖，連接AD，AB是O直徑，ADB=ADM=90，又=，ED=BD，MAD=BAD，在AMD和ABD中，AMDABD，DM=BD，DE=DM【點評】本題考查的是切線的性質、弦、弧之間的關系、扇形面積的計算，掌握切線的性質定理和扇形的面積公式是解題的關鍵，注意輔助線的作法舉一反三：【變式】（2015貴陽）如圖，O是ABC的外接圓，AB是O的直徑，F(xiàn)OAB，垂足為點O，連接AF并延長交

15、O于點D，連接OD交BC于點E，B=30，F(xiàn)O=2（1）求AC的長度；（2）求圖中陰影部分的面積（計算結果保留根號）【答案】解：（1）OFAB，BOF=90，B=30，F(xiàn)O=2，OB=6，AB=2OB=12，又AB為O的直徑，ACB=90，AC=AB=6；（2）由（1）可知，AB=12，AO=6，即AC=AO，在RtACF和RtAOF中，RtACFRtAOF，F(xiàn)AO=FAC=30，DOB=60，過點D作DGAB于點G，OD=6，DG=3，SACF+SOFD=SAOD=63=9，即陰影部分的面積是9類型五、圓與其他知識的綜合運用5. 【思路點撥】 由已知條件，等邊ABC可得60角，根據(jù)圓的性質，

16、可得ADB60，利用截長補短的方法可得一個新的等邊三角形，再證兩個三角形全等，從而轉移線段DC.【答案與解析】延長DB至點E，使BEDC，連結AE ABC是等邊三角形 ACBABC60，ABAC ADBACB60 四邊形ABDC是圓內(nèi)接四邊形 ABEACD 在AEB和ADC中， AEBADC AEAD ADB60 AED是等邊三角形 ADDEDBBE BEDCDBDCDA.【總結升華】本例也可以用其他方法證明.如： （1）延長DC至F，使CFBD，連結AF，再證ACFABD，得出ADDF，從而DBCDDA. （2）在DA上截取DGDC，連結CG，再證BDCAGC，得出BDAG，從而DBCDDA.6如圖，直徑AB為6的半圓，繞A點逆時針旋轉60，此時點B到了點B，則圖中陰影部分的面積是（ ）. A. 3pB. 6p C. 5pD. 4p 【答案】B；【解析】陰影部分的面積=以AB為直徑的半圓的面積+扇形ABB的面積-以AB為直徑的半圓的面積=扇形ABB的面積則陰影部分的面積是： =6故選B【總結升華】根據(jù)陰影部分的面積=以AB為直徑的半圓的面積+扇形ABB的面積-以AB為直徑的半圓的面積=扇形ABB的面積即可求解舉一反三：【變式】某中學舉辦校園文化藝術節(jié)，小穎設計了同學們喜