概率論 二重積分的計(jì)算二PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1概率論概率論 二重積分的計(jì)算二二重積分的計(jì)算二 二重積分的計(jì)算 )()(21d),(dxyxybayyxfx )()(21)d),(d(yxyxdcxyxfy Dyxyxfdd),(（一）在直角坐標(biāo)系中（一）在直角坐標(biāo)系中（累次積分累次積分）或或yx )(2yxx )(1yxx dcX-型型Y-型型復(fù)習(xí)yxab )(2xyy )(1xyy 第1頁(yè)/共29頁(yè)),(yxfy 例 計(jì)算其中,dd)(22 Dyxyxe.:222ayxD xyo dxxex2因此,針對(duì)不同形狀的積分區(qū)域D以及被積函數(shù)的特點(diǎn),選擇不同的坐標(biāo)系來計(jì)算二重積分是一個(gè)重要的問題. dyyey2或或3.23.2 二重積分

2、的計(jì)算二重積分的計(jì)算解解 Dyxyxedd)(22 aaxxayxe a )(222222dydx Dyxyxedd)(22 aayyayxe a )(222222dxdy第2頁(yè)/共29頁(yè)二、二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算二、二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算第3頁(yè)/共29頁(yè)極軸極軸X極點(diǎn)極點(diǎn)O r),( r極極坐坐標(biāo)標(biāo)xy 變變換換公公式式與與直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)極極坐坐標(biāo)標(biāo)),(),(yxr 如果選取以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)如果選取以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，為極點(diǎn)， 以以x軸為極軸，軸為極軸，之之間間與與直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)坐坐標(biāo)標(biāo)則則平平面面上上任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)的的極極),(),(yxr 的的變變換換公公式式為為原

3、點(diǎn)原點(diǎn)Ox軸軸 cosrxrysin 二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算第4頁(yè)/共29頁(yè)用以極點(diǎn)用以極點(diǎn)O為中心的為中心的一族同心圓一族同心圓,1.利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分AoD 設(shè)過極點(diǎn)設(shè)過極點(diǎn)O的射線與積分區(qū)域的射線與積分區(qū)域D的邊界曲線的交點(diǎn)的邊界曲線的交點(diǎn)不多于兩點(diǎn)，不多于兩點(diǎn)，.),(上連續(xù)上連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)Dyxf把區(qū)域把區(qū)域D分成分成n個(gè)小區(qū)域，個(gè)小區(qū)域，在極坐標(biāo)系下，在極坐標(biāo)系下，以及從極點(diǎn)以及從極點(diǎn)出發(fā)的出發(fā)的一族射線一族射線,在直角坐標(biāo)系下在直角坐標(biāo)系下 Ddyxf ),( Ddxdyyxf),(在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下 Ddyxf ),(極坐標(biāo)系下的面積微元

4、極坐標(biāo)系下的面積微元?如如何何表表示示d Drrf)sin,cos(d第5頁(yè)/共29頁(yè)AoD rr rrr 2221)(21rrr 2)(21rrr域域?yàn)槠渲幸粋€(gè)典型小閉區(qū)為其中一個(gè)典型小閉區(qū)設(shè)設(shè) 同同時(shí)時(shí)也也表表示示該該 (),小小閉閉區(qū)區(qū)域域的的面面積積的的同同心心圓圓和和它它由由半半徑徑分分別別為為rrr 的的射射線線所所確確定定，和和和和極極角角分分別別為為 則則,充充分分小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) r ,)(212 r略略去去高高階階無無窮窮小小量量, rr得得故故面積微元為面積微元為, rdrdd Ddyxf),( Drrf)sin,cos( rdrd這樣二重積分在極坐標(biāo)系下的表達(dá)式為二重積分在

5、極坐標(biāo)下的計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算第6頁(yè)/共29頁(yè) Ddyxf),( 直角坐標(biāo)系下與極坐標(biāo)系下二重積分的轉(zhuǎn)換公式 如何計(jì)算極坐標(biāo)系下的二重積分？化為二次積分或累次積分來計(jì)算 Drrf)sin,cos( rdrd Ddxdyyxf),(.)sin,cos(rdrdrrfD 二重積分在極坐標(biāo)系下的表達(dá)式為二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算第7頁(yè)/共29頁(yè) 在極坐標(biāo)系下化二重積分為二次積分或累次積分，同樣要解決下面兩個(gè)問題：（2）確定積分的上、下限（1）選擇積分次序化為二次積分或累次積分來計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算第8頁(yè)/共29頁(yè) 2.極坐標(biāo)系下化二重積分

6、為二次積分(1)(1)若極點(diǎn)若極點(diǎn)O在區(qū)域在區(qū)域 D 之外之外 ),()(,:21rrrD 則有則有 Drrrrfdd)sin,cos( (2) (2) 極點(diǎn)極點(diǎn)O在區(qū)域在區(qū)域D的邊界線上的邊界線上),(0 rr ，則有則有 Drrrrfdd)sin,cos(xo)(2r)(1rxo)(rr .d)sin,cos(d)()(21 rrrrrrf.d)sin,cos(d)(0 rrrrrfDD（只研究只研究先對(duì)先對(duì)r r后對(duì)后對(duì)的積分次序）的積分次序）下面根據(jù)極點(diǎn)下面根據(jù)極點(diǎn)O與區(qū)域與區(qū)域D的位置分三種情況討論的位置分三種情況討論 型區(qū)域型區(qū)域第9頁(yè)/共29頁(yè)(3) 若極點(diǎn)O在區(qū)域D的內(nèi)部 Dr

7、rrrfdd)sin,cos(則有則有).(0 ,20rr )( rr xo.d)sin,cos(d)(020 rrrrrfDo)(1 r)(2 r且且,),(r)(:D2 20 02 21 1 rr特殊地特殊地D. rdr )sinr ,cosr ( fd)(r)(r 2 21 12 20 0 Drrrrfdd)sin,cos(D:二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算x第10頁(yè)/共29頁(yè)或被積函數(shù)為或被積函數(shù)為f (x2+y2)、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分積分特征利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分積分特征利用極坐標(biāo)常能簡(jiǎn)化計(jì)算利用極坐標(biāo)常能簡(jiǎn)化計(jì)算. .如果積分區(qū)域如果積分區(qū)域 D D為為圓圓、

8、半圓半圓、圓環(huán)圓環(huán)、扇形域扇形域等等，等形式，等形式，),(xyf)(yxf要點(diǎn)與步驟要點(diǎn)與步驟: :(1)(1)用直角坐標(biāo)系計(jì)算繁鎖或不能計(jì)算的可以用用直角坐標(biāo)系計(jì)算繁鎖或不能計(jì)算的可以用極坐標(biāo)計(jì)算極坐標(biāo)計(jì)算; ;(2) 畫區(qū)域圖畫區(qū)域圖, , 列出列出 型區(qū)域型區(qū)域, , 寫成極坐標(biāo)下的寫成極坐標(biāo)下的二次積分二次積分. .二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算第11頁(yè)/共29頁(yè)3.極坐標(biāo)下二重積分計(jì)算的基本步驟 (1)(1)將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下的二重將直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下的二重積分積分. . 將將 代入被積函數(shù)代入被積函數(shù), ,sin,cos

9、ryrx 將區(qū)域?qū)^(qū)域D 的邊界曲線換為極坐標(biāo)系下的表達(dá)式的邊界曲線換為極坐標(biāo)系下的表達(dá)式，確定相應(yīng)的，確定相應(yīng)的積分限積分限. . 將面積元素將面積元素 dxdy 換為換為 .,dd rr(2)(2)將極坐標(biāo)系下的將極坐標(biāo)系下的二重積分二重積分轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為二次積分二次積分. . Dyxyxfdd),(.dd)sin,cos( Drrrrf(3)(3)計(jì)算計(jì)算二次積分二次積分. .則則第12頁(yè)/共29頁(yè)例例1 1 計(jì)算計(jì)算其中其中解解,200: arD故故,dd)(22 Dyxyxe.:222ayxD Drrredd2 D)yx(ydxde2 22 2).1(2ae 注注：由于：由于 的原函數(shù)

10、不是初等函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù) , ,故本題故本題無法用直角坐標(biāo)計(jì)算無法用直角坐標(biāo)計(jì)算. .2xe xyo 2 0 0 dd2arrred210202are 在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算第13頁(yè)/共29頁(yè). 1:,12222 yxDyxdxdyID計(jì)計(jì)算算 20 , 10| ),( rrD1 r DrrdrdI21 .2110220 rrdrd 21212121)()()()(,rrrrrdrrrgdxfrdrdrgf 一般地一般地xy例例2 2二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算解解第14頁(yè)/共29頁(yè)例例3 3 計(jì)算積分計(jì)算積分.dd

11、sin2222422 yxyxyx積分域是圓環(huán)，積分域是圓環(huán)，.2,20 r 2222422ddsinyxyxyxdcoscos222 rrrrxyo 220dsindrrr解解D：.62 22224drdsinyxrr二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算(例例3.14) r2 2 r第15頁(yè)/共29頁(yè) Ddxdyyxyx2222)sin( 2120sin rdrd . 4 20 , 21| ),( rrD Drdrdrr )sin(1 r2 r例例4 4二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算解解第16頁(yè)/共29頁(yè) 例例5 5 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分 其中區(qū)域其中區(qū)域D

12、為由為由x=0及及 x2+y2=2y 圍成的第一象限內(nèi)的區(qū)域圍成的第一象限內(nèi)的區(qū)域. .， Dyxyxdd22解解D的邊界曲線為的邊界曲線為x2+y2=2y，此時(shí)此時(shí)D可以表示為可以表示為,sin2 r，sin20 ,20 r Dyxyxdd22 20sin203d31r 203dsin38 202cosd)cos1 (38203coscos3138 xyo其極坐標(biāo)表達(dá)式其極坐標(biāo)表達(dá)式 rrsin20220dd.916 D rdrdr Dyxyxdd22 2020222yydxyxdy二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算第17頁(yè)/共29頁(yè)解解32 61 sin4 rdxdyyxD)

13、(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 03 yx03 xyrsin2 yyx222 故故, yyxDydx)dy(xD222 22 22 2 由圓由圓，其中，其中計(jì)算計(jì)算.xy,yx, yyx所所圍圍成成的的平平面面區(qū)區(qū)域域0 03 30 03 34 42 22 2 例例6 6二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算第18頁(yè)/共29頁(yè)解解因?yàn)楸环e函數(shù)為偶函數(shù)因?yàn)楸环e函數(shù)為偶函數(shù),例例7 7 求廣義積分求廣義積分所以，不能直接用一元函數(shù)的廣義積分計(jì)算。所以，不能直接用一元函數(shù)的廣義積分計(jì)算。( (泊松積分泊松積分, ,例例3.193.19）.202dxeI

14、x 所所以以又因?yàn)楸环e函數(shù)又因?yàn)楸环e函數(shù) 的原函數(shù)不是初等函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù),2xe .2dxeIx 二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算D22xyDHedxdy 令令( , )|0,0Dx yxy 其其中中dxex 02dyey 0220)(2dxex 42I 利用極坐標(biāo)計(jì)算利用極坐標(biāo)計(jì)算H，( , )|0,02Drr 第19頁(yè)/共29頁(yè)22xyDHedxdy 令令2xIedx 2200rderdr 22xyDHedxdy 220012red 20124d 利用極坐標(biāo)計(jì)算利用極坐標(biāo)計(jì)算H，( , )|0,02Drr 所以所以D正態(tài)分布正態(tài)分布 222 dxexdxex 02

15、242I 42I dxeIx 2. 第20頁(yè)/共29頁(yè) 當(dāng)積分區(qū)域由當(dāng)積分區(qū)域由直線直線和和除圓以外的其它曲線除圓以外的其它曲線圍成時(shí)，圍成時(shí)， 一般說來，當(dāng)積分區(qū)域?yàn)橐话阏f來，當(dāng)積分區(qū)域?yàn)閳A形、扇形、環(huán)形區(qū)域，圓形、扇形、環(huán)形區(qū)域， 選取選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系對(duì)計(jì)算二重積分的計(jì)算是至關(guān)重要的對(duì)計(jì)算二重積分的計(jì)算是至關(guān)重要的. . 而被積函數(shù)中含有而被積函數(shù)中含有 項(xiàng)時(shí)項(xiàng)時(shí),yxxyyx,22 選擇坐標(biāo)系選擇積分次序二重積分計(jì)算過程二重積分計(jì)算過程通常選擇在通常選擇在直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系下計(jì)算下計(jì)算. 下的計(jì)算方法往往比較簡(jiǎn)便下的計(jì)算方法往往比較簡(jiǎn)便.二重積分計(jì)算方法總結(jié)：二重積分計(jì)算方

16、法總結(jié)：化為累次積分計(jì)算累次積分 二重積分可在兩種坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分可在兩種坐標(biāo)系下計(jì)算 . .采用采用極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系第21頁(yè)/共29頁(yè) .分分?jǐn)?shù)數(shù)的的奇奇偶偶性性計(jì)計(jì)算算二二重重積積利利用用區(qū)區(qū)域域的的對(duì)對(duì)稱稱性性和和函函二二則則軸對(duì)稱軸對(duì)稱關(guān)于關(guān)于若若,)1(yD則則軸對(duì)稱軸對(duì)稱關(guān)于關(guān)于若若,)2(xD二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算 ),(),( ),(yxfyxfdxdyyxfD ),(),( ),(yxfyxfdxdyyxfD,),(2dxdyyxfD 右右),(),(yxfyxf ,0 0,),(2dxdyyxfD 上上),(),(yxfyxf ,0 0第22頁(yè)

17、/共29頁(yè).1 yxdxdyxy計(jì)計(jì)算算由區(qū)域的對(duì)稱性和由區(qū)域的對(duì)稱性和函數(shù)的奇偶性可得函數(shù)的奇偶性可得oxyDdxdyxyD 4原原式式 xxydydx10104二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算解解例例7 7第23頁(yè)/共29頁(yè).10112 yxdxdyxy計(jì)計(jì)算算oxy11 1DdxdyxyD 22原式原式1D2DdxdyxydxdyxyDD 212222 12102)(2xdyxydx.)(220210 xdyyxdxdxdyyxdxdyxyDD 21)(2)(222解解二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算例例3.173.18不作要求不作要求例例8 8第24頁(yè)/

18、共29頁(yè)二、二重積分在極坐標(biāo)系中的計(jì)算一、二重積分在直角坐標(biāo)系中計(jì)算小結(jié) Ddxdyyxf),(.)sin,cos(rdrdrrfD Ddxdyyxf),( )()(21d ),(dxyxybayyxfx選擇積分次序選擇積分限化為累次積分. )d),(d()()(21 yxyxdcxyxfy第25頁(yè)/共29頁(yè)作業(yè)：作業(yè)：P153 3.2 12(1)(2) 13(2)(3)下次課內(nèi)容下次課內(nèi)容3.3 3.3 二重積分的應(yīng)用二重積分的應(yīng)用第26頁(yè)/共29頁(yè)二、二重積分在極坐標(biāo)系下的計(jì)算一、二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算復(fù)習(xí) Ddxdyyxf),( )()(21d ),(dxyxybayyxfx. )d),(d()()(21 yxyxdcxyx