穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法第1頁/共51頁),(txfx 設(shè)所研究系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為一般為時變非線性函數(shù)。如果不顯含t，則為定常的非線性系統(tǒng)。如果存在狀態(tài)矢量xe，對所有的t，都使式0),(texf成立，則稱xe為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。),;(00tt xx 上式描述了從初始條件(t0,x0)出發(fā)的一條狀態(tài)運動的軌跡，稱為系統(tǒng)的運動或狀態(tài)軌跡。第2頁/共51頁平衡狀態(tài)的各分量不再隨時間變化；若已知所求得的解 x ,狀態(tài)方程，令0 x 平衡狀態(tài)。對任意一個系統(tǒng)，不一定都存在平衡點，即使有，也不一定是唯一的；由于任意一個已知的平衡狀態(tài)，都可以通過坐標(biāo)變換將其移到坐標(biāo)原點，以后

2、就只討論系統(tǒng)在坐標(biāo)原點處的穩(wěn)定性。便是第3頁/共51頁李雅普諾夫意義下穩(wěn)定0如果系統(tǒng)對任意選定的實數(shù)，都對應(yīng)存在另一個實數(shù)0),(0t，使當(dāng)),(00te xx時，從任意初始狀態(tài)x0出發(fā)的解都滿足：ttte0,)(xx則稱平衡狀態(tài)xe為李雅普諾夫意義下穩(wěn)定。實數(shù) 與 有關(guān)，一般情況下也與t0有關(guān)。如果 與t0無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)xe為一致穩(wěn)定。第4頁/共51頁如果平衡狀態(tài)xe是穩(wěn)定的，而且當(dāng)t無限增長時，軌線不僅不超出 ，而且最終收斂于xe，則稱平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定的。)(s大范圍漸近穩(wěn)定如果平衡狀態(tài)xe是穩(wěn)定的，并且從狀態(tài)空間中所有初始狀態(tài)出發(fā)的軌線都是具有漸近穩(wěn)定性，則稱平衡狀態(tài)xe是大范

3、圍漸近穩(wěn)定的。第5頁/共51頁如果對于某個實數(shù) 和任一實數(shù) ，不管 這個實數(shù)多么小，由 內(nèi)出發(fā)的狀態(tài)軌線，至少有一個軌線越過 ，則稱平衡狀態(tài)xe不穩(wěn)定。00)(s)(s第6頁/共51頁（a）李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性 （b）漸近穩(wěn)定性 （c）不穩(wěn)定性第7頁/共51頁線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)線性定常系統(tǒng):(A,b,c)cxbuAxxy平衡狀態(tài)xe=0漸近穩(wěn)定的充要條件是矩陣A的所有特征根均具有負(fù)實部。 這里的穩(wěn)定是指系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性，或者稱內(nèi)部穩(wěn)定。第8頁/共51頁如果系統(tǒng)對于有界輸入u所引起的輸出y是有界的，則稱系統(tǒng)為輸出穩(wěn)定。線性定常系統(tǒng):(A,b,c）輸出穩(wěn)定的充要條件是其傳遞函數(shù)：bAIc1)(

4、)(ssW的極點全部位于s的左半平面。第9頁/共51頁設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：xxx01111001yu試分析系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性和輸出穩(wěn)定性。解:（1）有A陣的特征方程0) 1)(1(1001特征值為-1 和1，所以系統(tǒng)的狀態(tài)不是漸近穩(wěn)定的。第10頁/共51頁（2）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：11) 1)(1(111100101)()(11ssssssssWbAIc傳遞函數(shù)的極點位于s平面的左半平面，所以系統(tǒng)的輸出穩(wěn)定。第11頁/共51頁第12頁/共51頁),(txfx 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：xe為其平衡狀態(tài)；f(x,t)為與x同維的矢量函數(shù)，且對x具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。為討論系統(tǒng)在xe處的穩(wěn)定性，可將線性矢

5、量函數(shù)f(x,t)在xe鄰域內(nèi)展成泰勒級數(shù)，得：)()(xRxxxfxxee為級數(shù)展開式中的高階導(dǎo)數(shù)項第13頁/共51頁nnnnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf212221212111xfexxx若令 ，并取一次近似，可以得到系統(tǒng)的線性化方程：xAx式中exxxfA第14頁/共51頁exxxfA1）系數(shù)矩陣A的所有特征值都具有負(fù)實部，則原非線性系統(tǒng)在xe是漸近穩(wěn)定的，且系統(tǒng)的穩(wěn)定性與R(x)無關(guān)；2）如果A的特征值，至少有一個具有正實部，則原非線性系統(tǒng)在xe是不穩(wěn)定的。3）如果A的特征值，至少有一個的實部為零。系統(tǒng)處于臨界情況，原非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe的穩(wěn)定性將取決于高階導(dǎo)數(shù)項R(x

6、)。第15頁/共51頁21222111xxxxxxxx試分析系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性。21221100 xxxxxx得系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為11,0021eexx在1ex處線性化，得221122121121)1 ()1 (xxxxxxxxxxxx狀態(tài)矩陣為1001A特征根為-1 和1，所以原非線性系統(tǒng)在1ex解：解方程第16頁/共51頁處是不穩(wěn)定的。121122221121)1 ()1 (xxxxxxxxxxxx狀態(tài)矩陣為0110A特征值為j1，實部為0，不能由線性化方程得出原系統(tǒng)在2ex處穩(wěn)定性的結(jié)論。2ex處線性化，得在第17頁/共51頁基本思路：從能量的觀點分析，借助于一個李雅普諾夫函數(shù)來直接

7、對系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性作出判斷。一個系統(tǒng)被激勵后，其存儲的能量隨著時間的推移逐漸衰減，達(dá)到平衡狀態(tài)時，能量將達(dá)最小值。這個平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。反之，如果系統(tǒng)不斷從外界吸收能量，儲能越來越大，那么這個平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。李雅普諾夫函數(shù)是正定的標(biāo)量函數(shù)，是虛構(gòu)的廣義能量函數(shù)，通過能量函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù)的符號來判斷穩(wěn)定性。第18頁/共51頁x標(biāo)量函數(shù)的符號性質(zhì)設(shè)V(x)為有n維矢量x所定義的標(biāo)量函數(shù)，且在x=0處，恒有V(x)=0。所有在域中的任何非零矢量x，如果0)(xV0)(xV1） ，則稱V(x)為正定的，如：2） ，則稱V(x)為半正定（或非負(fù)定）的。3） ，則稱V(x)為負(fù)定的。4） ，則

8、稱V(x)為半負(fù)定（非正定）的。5） 或 ，則稱V(x)為不定的。0)(xV0)(xV0)(xV0)(xV第19頁/共51頁設(shè) 為n個變量，定義二次型標(biāo)量函數(shù)為：nxxx,21nnnnnnnnTxxxpppppppppxxxV2121222211121121)(Pxxx第20頁/共51頁PxxxTV)(對二次型函數(shù) ，若P為實對稱陣，則必存在正交矩陣T,通過變換 ，使之化成：xTxx00 xxPxxPTTxxPTTxPxxxnTTTTTTV211)()(稱為二次型函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)型。V(x)正定的充要條件是對稱陣P的所有特征值均大于0.第21頁/共51頁設(shè)P為nn的實對稱方陣， 為由P所決定的二次型

9、函數(shù)。1） 若V(x)為正定，則稱P為正定，記做P0.2） 若V(x)為負(fù)定，則稱P為負(fù)定，記做P0,使得ATP+PA0. C)(A第34頁/共51頁xPAPAxPAxxPxAxxPxPxxxPxxx)()()()(TTTTTTTVV設(shè)PxxxTV)(為李雅普諾夫函數(shù)必須滿足的條件是V(x)是正定的，P 為正定實對稱陣。如果系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，實對稱陣滿足不等式ATP+PA0這就給出了一種構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的方法，難點就是求解正定實對稱陣P第35頁/共51頁求滿足不等式ATP+PA0實對稱陣P把不等式求解轉(zhuǎn)換為求解等式Q是任意正定實對稱陣，如果滿足李雅普諾夫方程，一定滿足李雅普諾夫不等式ATP+

10、PA=-Q李雅普諾夫方程ATP+PA0求解P的matlab函數(shù)P=lyap(A,B,Q) AP+PB=-QP=lyap(A,Q) ATP+PA=-Q李雅普諾夫不等式第36頁/共51頁n判據(jù)給出的條件是充分必要的。判據(jù)給出的條件是充分必要的。第37頁/共51頁xx3210試分析系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性。解：狀態(tài)矩陣是非奇異的，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為原點。設(shè)IQP,22211211PPPP將P和Q代入李雅普諾夫方程得第38頁/共51頁1001321031202221121122211211PPPPPPPP41414145P將上式展開，按照對應(yīng)元素相等，可解得根據(jù)希爾維斯特判據(jù)知04141414145, 045

11、21矩陣P是正定的，系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。第39頁/共51頁xx10120010K試確定系統(tǒng)增益K的穩(wěn)定范圍。解：因為是線性系統(tǒng)，且det(A)=-K,系統(tǒng)原點是唯一的平衡點。假設(shè)選取半正定陣Q為100000000Q第40頁/共51頁為了說明選取Q為半正定是正確的，還需要證明V(x)的導(dǎo)數(shù)不恒為零。由于23)(xVTQxxx0)(xV條件是03x000002211131333xxxxxxKxxxx所以只有在原點平衡狀態(tài)，才能是V(x)的導(dǎo)數(shù)恒等于零，而沿任意軌跡V(x)的導(dǎo)數(shù)都不會恒等于零。因此可以取Q為半正定的。第41頁/共51頁根據(jù)李雅普諾夫方程100000000101200101100

12、2100333231232221131211333231232221131211KppppppppppppppppppKKKKKKKKKKKKKKK212621202122123212602126212122P可解P陣得為使P為正定矩陣，充要條件是60 K滿足0K6時，系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定 的。第42頁/共51頁雅可比矩陣法（克拉索夫斯基法）對一非線性系統(tǒng)，構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)設(shè)非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：)(xfx 假設(shè)原點xe=0是平衡狀態(tài)，f(x)對xi(i=1,2, ,n)可微，系統(tǒng)的雅可比矩陣為：第43頁/共51頁nnnnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf212221212111)(

13、xfxJ)()()(xPJPxJxQT則系統(tǒng)在原點漸近穩(wěn)定的充分條件是：任給正定對稱矩陣，使下列矩陣為正定的。并且xPxxTV)(是系統(tǒng)的一個李雅普諾夫函數(shù)。第44頁/共51頁證明： 選取二次型函數(shù)：)()()(xPfxfxPxxTTV為李雅普諾夫函數(shù)，其中P為正定對稱矩陣，因此V(x)是正定的。f(x)是x的顯函數(shù)，不是時間t的顯函數(shù)，因而有)()()()()()(xfxJxxxfxxxfxfxfdtddtd將V(x)沿狀態(tài)軌跡對t求全導(dǎo)數(shù)，得：第45頁/共51頁)()()()()()()()()()()()()()()()()()(xfxQxfxfPxJxPJxfxPfxfxJxfxPJxfxPfxfxfPxfxTTTTTTTV如果Q(x)是正定的，那么 一定是負(fù)定的。系統(tǒng)在原點是漸近穩(wěn)定的。注意：雅可比矩陣的主對角元素不能恒為零。)(xV第46頁/共51頁)()()(xJxJxQT如果取P=I，則)()()(xfxfxTV上式稱為克拉索夫斯基表達(dá)式。這時有)()()()()(xfxJxJxfxTTV和推論 對于線性定常系統(tǒng) ，若矩陣A非奇異，且矩陣(AT+A)為負(fù)定，則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe=0是大范圍漸近穩(wěn)定的。Axx 第47頁/共51頁322122113xxxxxxx322121213)()(xxxxxffxx試用克拉索夫斯基