具有多輸入時(shí)滯預(yù)測(cè)反饋控制線性系統(tǒng)泛函求解

1、具有時(shí)滯的多輸入預(yù)測(cè)反饋控制線性系統(tǒng)的Lyapunov-Krasovskii 函數(shù)構(gòu)建王 俊 201421170123吳新保201422170135背景介紹具有時(shí)滯的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)得到越來越多的關(guān)注，因?yàn)闀r(shí)滯系統(tǒng)在實(shí)踐工程中有許多的應(yīng)用，例如網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，化學(xué)過程控制，人口模型，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等。在時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中，Lyapunov-Krasovskii（李雅普諾夫-克拉索夫斯基）函數(shù)是最重要的方法之一。文章簡(jiǎn)介本文是關(guān)于帶時(shí)滯多輸入預(yù)測(cè)反饋線性系統(tǒng)的Lyapunov-Krasovskii函數(shù)的構(gòu)建。通過把預(yù)測(cè)反饋控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為帶外部輸入的無時(shí)滯線性系統(tǒng)，解一系列線性矩陣不等式構(gòu)造Lyapuno

2、v-Krasovskii函數(shù)。一系列線性矩陣不等式的可解性等價(jià)于從預(yù)測(cè)反饋控制系統(tǒng)導(dǎo)出的無時(shí)滯線性系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性。閉環(huán)模型考慮如下多輸入時(shí)滯線性系統(tǒng)：（1）在這里 是常數(shù)矩陣，且 是常數(shù)。不失一般性，假設(shè) 并且 是滿列秩的 。對(duì)于系統(tǒng)（1）的穩(wěn)定化，預(yù)測(cè)反饋可以設(shè)計(jì)如下： （2）正是如下的系統(tǒng)：（3）特征方程： 有有限零點(diǎn)在這里：（4）因此（A,B）穩(wěn)定及F被很好設(shè)計(jì)可以保證系統(tǒng)（3）的穩(wěn)定對(duì)于（3）中的閉環(huán)系統(tǒng)，雖然其穩(wěn)定性可以由其特征方程確定，但李雅普諾夫-克拉索夫斯基函數(shù)是不適合的。在這篇文章中我們感興趣的是對(duì)這種延時(shí)系統(tǒng)的李雅普諾夫-克拉索夫斯基函數(shù)的構(gòu)造。問題的難點(diǎn)在于閉環(huán)系統(tǒng)的狀

3、態(tài)應(yīng)該被認(rèn)為是 而不是 。指數(shù)穩(wěn)定定義定義1：閉環(huán)系統(tǒng)（3）是指數(shù)穩(wěn)定的如果存在正常數(shù)G和g，使得 （5）成立，這里 （6）引理引理1：存在常數(shù)函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件：則存在G和g，狀態(tài)滿足（5），函數(shù)V就為閉環(huán)系統(tǒng)（3）的Lyapunov-Krasovskii函數(shù)。證明：由條件1可得（7）由（7）及條件2可得（8）因此可得如下不等式（9）也就是，閉環(huán)系統(tǒng)（3）是指數(shù)穩(wěn)定的在定義1的條件下。模型轉(zhuǎn)化在這篇文章中我們將構(gòu)建一個(gè)李雅普諾夫-克拉索夫斯基函數(shù)其滿足引理1。為了達(dá)到這個(gè)目的，首先我們先引進(jìn)一個(gè)新的狀態(tài)變量即（10）則原始時(shí)滯系統(tǒng)（1）表示為（11）這是一個(gè)無時(shí)滯的線性系統(tǒng)，反饋（2）變?yōu)?/p>

4、了（12）閉環(huán)系統(tǒng)（3）可表示為（13）因此我們只需要找到系統(tǒng)（13）的Lyapunov-Krasovskii函數(shù)。引理引理2：對(duì)任何的常數(shù)矩陣整數(shù)且，向量函數(shù)存在下面算式（14）引理引理3：給定對(duì)一個(gè)向量值函數(shù)和一個(gè)確定維數(shù)的矩陣，存在下面算式（15）主要結(jié)果在給出我們的主要結(jié)果前，根據(jù)上面部分的討論，我們引入對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)（3）下面的假設(shè)。假設(shè)假設(shè)1：矩陣是赫爾維茨矩陣，也就是，矩陣H的特征值有負(fù)實(shí)部。然后我們有如下的結(jié)論根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)（3）或（13）Lyapunov-Krasovskii函數(shù)的構(gòu)造。定理定理1：讓假設(shè)1成立且存在常數(shù) 使的 （16）則下面兩條陳述成立。陳述陳述1. 存在一個(gè)正

5、定矩陣且和一個(gè)正定矩陣使下面的線性矩陣不等式成立：在這里：（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（24）陳述陳述2.如果且滿足（16）-（18），則下面的函數(shù)（25）是以引理1為條件的閉環(huán)系統(tǒng)（3）的Lyapunov-Krasovskii函數(shù)。證明：先證明陳述1.首先我們選擇兩個(gè)正定對(duì)稱矩陣由此（26）則（18）中的線性矩陣不等式可變形為如下形式（27）其中，運(yùn)用Schur補(bǔ)引理，（27）中的不等式可以等價(jià)為：（28）對(duì)所有的存在矩陣使得成立基于（16）中的條件。通過在次運(yùn)用Schur補(bǔ)引理，（28）中的不等式可進(jìn)一步等價(jià)為 且（29）從假設(shè)1我們知道，對(duì)任意的 和 等式（3

6、0）有解令 則可以得到（31）對(duì)所有的如果我們讓 充分小，則上式最 后3項(xiàng)在（31）中由第一項(xiàng)所決定。因此，存在一個(gè)在（29）中的線性矩陣不等式對(duì)所有的成立。最后對(duì)于在（26）中給定的和（17）中的不等式可以被重寫為（32）這明顯是成立的考慮到（30）。陳述1的證明完成。再證明陳述2. 很容易得到下面不等式（33）其中（34）因此對(duì)某一成立。由引理2和3可以推斷出（35）所以我們可以得到（36）對(duì)某一成立。為完成證明，我們僅僅需要證明對(duì)某一成立。從（10）我們知道（37）由此我們可以計(jì)算出（38）基于這個(gè)定理的陳述1我們可以得到（39）另外，通過運(yùn)用Jensen不等式我們可以得到（40）由此，

7、通過（41），（17）和（40），我們可以進(jìn)一步得到（41）記（43）則（42）可以重寫為（44）通過運(yùn)用（18）中的不等式我們知道存在一個(gè)足夠小的數(shù)，由此對(duì)所有成立。我們可以進(jìn)一步得到（45）在這里 是某一常數(shù)，證明完成。 也是一個(gè)輸入狀態(tài)穩(wěn)定性（ISS）李雅普諾夫-克拉索夫斯基函數(shù)備注：備注：數(shù)值舉例議論文為例，我們考慮系統(tǒng)（1）帶有參數(shù)并且我們指出在此沒有必要假設(shè)如果我們選擇論文中說得到了而我們通過matlab仿真得不到H的特征值為負(fù)數(shù)？A=1.6650 -0.7118 0.0169;0.5178 0.0779 0.1157;0.7270 -0.5615 0.9571;B0=0.5 -0.9;1.0 1.4;2.1 -1.7;B1=-1.2 2.0;0.7 0.9;-1.0 -1.6;B2=0.7 -0.2;0.9 1.4;-2.0 0.6;B3=-1.2 1.8;2.5 0.4; 0.9 -0.6;t1=0.2;t2=1.0;t3=0.4;F=0.3035 -0.0545 -0.2557;3.5895 -0.7321 -1.9651;eig(A)C=(exp(-A*t1)*