動(dòng)態(tài)模擬直流機(jī)電系統(tǒng) 創(chuàng)新的數(shù)字方法

1、 動(dòng)態(tài)模擬直流機(jī)電系統(tǒng)創(chuàng)新的數(shù)字方法 chen chaoyinga,*, p. di barbab, a savinib電機(jī)工程系,天津大學(xué),天津300072,中華人民共和國(guó)電氣工程系,帕維亞大學(xué),27100年,意大利帕維亞摘要在本文中, 提出了一個(gè)名為“r k t”方法創(chuàng)新的數(shù)字仿真方法,新方法結(jié)合了龍格庫(kù)塔和梯形方法，具有他們兩個(gè)的優(yōu)勢(shì)。對(duì)該方法進(jìn)行了誤差分析并進(jìn)行了修正。作為一個(gè)案例研究,考慮了直流電機(jī)作為道路小型車輛發(fā)動(dòng)機(jī)起動(dòng)器的的電路模型;所建議的方法用來(lái)進(jìn)行機(jī)電裝置的動(dòng)態(tài)仿真。有效地獲得具有良好的精確度結(jié)果，特別是抑制了數(shù)值振蕩。關(guān)鍵詞: 數(shù)值方法 時(shí)間 動(dòng)態(tài)系統(tǒng) 機(jī)電一體化 直流

2、電機(jī)1 介紹幾個(gè)數(shù)字方法,如歐拉,梯形,龍格庫(kù)塔和線性多步方法一般用來(lái)進(jìn)行數(shù)值積分和微分。歐拉方法簡(jiǎn)單,但精度低;其截止錯(cuò)誤是o(h2),而這的梯形法減少為o(h3)。龍格庫(kù)塔法相對(duì)精度高,但需要大量的計(jì)算工作;最后,多步方法具有較高的準(zhǔn)確性,但它不能自我開(kāi)始1。因此,梯形方法廣泛應(yīng)用于暫態(tài)數(shù)字仿真。然而,在直流系統(tǒng)模擬,梯形介紹了平等的振幅的數(shù)值振蕩方法。因此,它的應(yīng)用在本例中是至關(guān)重要的。由于后退歐拉法可以避免這樣的振蕩,在文獻(xiàn)2, 提出了一個(gè)阻尼梯形法,該方法了將阻尼系數(shù)引入梯形方法有效地降低了數(shù)值振蕩,但在準(zhǔn)確性也有所降低。在仔細(xì)地分析了梯形和龍格庫(kù)塔方法,本文提出了一種創(chuàng)新的仿真方法

3、,稱為“r k t,它巧妙的結(jié)合了龍格庫(kù)塔和梯形方法優(yōu)勢(shì)：同伴模型就像梯形方法可以表達(dá)龍格庫(kù)塔法;數(shù)值振蕩可以大大減弱。根據(jù)頻譜分析,這種方法誤差可以計(jì)算并修正，這使它可以準(zhǔn)確有效地模擬直流系統(tǒng)。2 在直流系統(tǒng)數(shù)值振蕩的梯形法考慮到如圖1(a)所示的電感電路控制方程是:在當(dāng)前i是未知的。使用梯形方法對(duì)時(shí)間積分,可以得到:當(dāng)前h是計(jì)算的時(shí)間步長(zhǎng)。令則:在表1(a)中描述定同伴模型顯示在表1(b)中。從eq. (1)也可以得到:表1 電感阻抗(a)和它的同伴模型(b)和(c)。當(dāng)它的同伴模型見(jiàn)圖1(c). 假設(shè)，當(dāng)t =，一個(gè)直流電流流過(guò)電感阻抗，從eq. (3) 感應(yīng)分支的電壓響應(yīng)可以計(jì)算可以看

4、到,振蕩的電壓沒(méi)有被抑制。否則假設(shè)，當(dāng)n=k，電流被切換掉，也就是( = 0, nk); 從eq. (3)可知:也就是電壓響應(yīng)也是一個(gè)未按下去的振蕩。它可以證明,向后歐拉法可以避免這樣的振蕩。對(duì)于感應(yīng)阻抗它給:可以看出, 并不依賴于,所以這使得它可以避免數(shù)值振蕩但大大降低了后退歐拉法的精度。為解決這一矛盾,文獻(xiàn)2提出了一種帶阻尼的梯形方法。對(duì)微分方程:它給出對(duì)于圖1顯示的電感阻抗,它給:是阻尼因子,在0到1之間。當(dāng)=0這個(gè)方法變成梯形的一個(gè), 當(dāng)=1這方法成為向后歐拉法。從eq.(9),可以看到,字母系數(shù)是(1-)/(1+) 1,所以當(dāng)電壓振蕩產(chǎn)生,它可以迅速衰減。更大的因素是,更快速的振蕩是

5、減少和可以通過(guò)這種方法降低精度。此外,因子只根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選擇:其最優(yōu)值很難確定。3r-k-t方法龍格庫(kù)塔法具有更高的精度和更好的穩(wěn)定的直流系統(tǒng),但它需要在單一的步驟多次計(jì)算函數(shù)值;它不能像梯形法用一個(gè)伙伴模型表達(dá)。如果一個(gè)人可以結(jié)合龍格庫(kù)塔法和梯形法形成一種新方法,然后它將具有兩者優(yōu)點(diǎn)的兩種方法。以三階龍格庫(kù)塔法為例,推導(dǎo)出新的方法。對(duì)微分方程用三階龍格庫(kù)塔法，可得到對(duì)于電感阻抗,有:當(dāng)從eq. (10)，它遵循在/2是在步驟中點(diǎn)的電壓,它可以通過(guò)求解方程的系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)。但是我們通過(guò)梯形法計(jì)算。這可以做到在兩個(gè)不同的方式(a)和(b):(a) 取和的平均值，讓代替上面的公式為eq. (10),可以得到

6、:當(dāng)很明顯, /2代替eq.(14)的三階龍格庫(kù)塔方法可以表達(dá)在圖1(b)的同伴模型顯示,至于梯形方法,模型的參數(shù)是:該方法的特點(diǎn)是,和的系數(shù)是不等的,a可用平等的振幅的梯形法去變數(shù)值振蕩。它轉(zhuǎn)向梯形法當(dāng)r=0,即公式給出了純電感梯形法:(b)用利用梯形法,有:用eq(19)到eq (13),可以得到:用上面的方程代入eq(10),它遵循公式(20)可能是由一個(gè)電感阻抗同伴的模型表達(dá)的，如表1(b)所示,當(dāng)公式(20)也像eq.(15)衰減數(shù)值振蕩的函數(shù),它也轉(zhuǎn)向純電感的梯形法當(dāng)r=0。第四次龍格庫(kù)塔法,它給:同樣可以獲得四次龍格庫(kù)塔法同伴模型如下4(a)用，可得到：當(dāng)它的同伴模型在圖1(b)

7、（b）用可得到當(dāng)它的同伴模型在圖1(b)這兩個(gè)介紹的4次模型也轉(zhuǎn)向梯形法對(duì)純電感當(dāng)r=0。因此,龍格庫(kù)塔法結(jié)合梯形方法來(lái)形成一個(gè)新的“rkt”方法,該展現(xiàn)了這兩種方法的優(yōu)點(diǎn)。4 rkt方法的分析和計(jì)算誤差在實(shí)際系統(tǒng)中,電壓和電流,不管他們有哪種波形,可以用方法的頻譜分析。仿真的誤差可以通過(guò)分析每個(gè)頻率分量;組件和理論加在一起去獲得總錯(cuò)誤。讓我們假設(shè)電流和電壓的一個(gè)特定的系統(tǒng)對(duì)任何一個(gè)頻率分量v，讓我們重寫3次 rkt方法(20)如下:用eq(27)代入eq(28),可以推斷:從公式的電感阻抗,有兩邊eq. (29)的不同表示r k t法頻率分量的錯(cuò)誤，這樣誤差函數(shù)可以定義為：如果這個(gè)令人興奮的

8、消息來(lái)源包含大量的頻率組分,e(v)應(yīng)該為每個(gè)頻率計(jì)算組分和加在一起。所有的總和e(v)給出了總的誤差函數(shù)的三階r k t方法。5 rkt法錯(cuò)誤的糾正從eq(29)很明顯對(duì)于角頻率r k t方法的公式是不平衡的;它是由于方法本身,而不是相關(guān)的令人興奮的來(lái)源。如果將匹配雙方的eq.(29)添加一些條目,那么它能給頻率分量準(zhǔn)確的結(jié)果。讓成為令人激動(dòng)的源主要的角頻率,為了進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算v0,必須改造eq29如下:eq.(32) 兩邊的系數(shù)都是相等的當(dāng)w=時(shí)，這意味著它給準(zhǔn)確的結(jié)果。回到eq.(32),可以推斷圖2 測(cè)試電路計(jì)算eq.(33)是公式的r k t法校正之后。如果激勵(lì)源的系統(tǒng)只有一個(gè)頻率,然

9、后校正可以為這個(gè)頻率。如果系統(tǒng)有一個(gè)多頻興奮源,然后校正可能為占統(tǒng)治地位的較低的頻率,具有更高的振幅。6 數(shù)值結(jié)果為了檢查方法的精度, 顯示在圖2的電路可被考慮。它的參數(shù)是:電流準(zhǔn)確的表達(dá)是:當(dāng)h=0.1 ms上述的模型解決了顯示在圖2中測(cè)試電路,以及作為通過(guò)公式(34)給一個(gè)更準(zhǔn)確的結(jié)果。在每種情況下誤差被定義為在考慮的結(jié)果中最大絕對(duì)差異模型,得到了式(34)。圖3對(duì)于每個(gè)模型誤差曲線(t:周期)(見(jiàn)表1)圖4 對(duì)于每個(gè)模型誤差曲線(t:周期)(見(jiàn)表1)。圖5對(duì)于每個(gè)模型誤差曲線(t:周期)(見(jiàn)表1)圖6對(duì)于每個(gè)模型誤差曲線(t:周期)(見(jiàn)表1)圖7對(duì)于每個(gè)模型誤差曲線(t:周期)(見(jiàn)表1)

10、圖8對(duì)于每個(gè)模型誤差曲線(t:周期)(見(jiàn)表1)圖9對(duì)于每個(gè)模型誤差曲線(t:周期)(見(jiàn)表1)圖10對(duì)于每個(gè)模型誤差曲線(t:周期)(見(jiàn)表1)表2直流電機(jī)參數(shù)從表1和顯示在表3-10,誤差曲線可以得到以下結(jié)論1. 梯形法的誤差很小,阻尼梯形法是大而落后歐拉方法被證明是非常不準(zhǔn)確的。這意味著這是一個(gè)簡(jiǎn)單的方法梯形法高精度。2. 不論是第三或第四r k t法,如梯形法錯(cuò)誤很小。這意味著r k t的精度可與梯形法相媲美。3. 修正r k t法的誤差比那梯形法一半要多。4. 對(duì)歐拉,梯形和未修正的r k t方法，正弦函數(shù)誤差是穩(wěn)定的,但是在幾個(gè)周期修正r k t法誤差是唯一的一個(gè)趨近零。這意味著糾正的方

11、法可以用來(lái)消除波動(dòng)和計(jì)算準(zhǔn)確度高。7 直流電機(jī)的動(dòng)態(tài)模擬為了應(yīng)用,讓我們考慮顯示在圖11電路。它可以表示5的集總參數(shù)直流電機(jī)的模型和串勵(lì),充當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)起動(dòng)器在機(jī)電設(shè)備的道路車輛。這個(gè)電感參數(shù)通過(guò)一場(chǎng)在二維有限元素基礎(chǔ)模擬在以前確定的。從設(shè)計(jì)師的觀點(diǎn)，十分關(guān)注預(yù)測(cè)動(dòng)態(tài)行為的的設(shè)備,尤其是,和估計(jì)的峰值電流。當(dāng)換向器是打開(kāi)了電壓源,電路的控制方程可以寫成:.re是源電阻，rf是磁場(chǎng)繞組電阻,lf低頻磁場(chǎng)繞組自感,ra是電樞電阻,la是電樞自感,g速度系數(shù)和w是角速度的電樞。圖11 串勵(lì)直流電機(jī)表3直流電機(jī)電流(a)模擬了不同的方法表4最大和最小錯(cuò)誤不同的方法相比龍格庫(kù)塔方法 (%)機(jī)械方程是:在j是

12、慣性矩,k是阻尼系數(shù)、t0是庫(kù)侖阻尼。初始狀態(tài)是零。eq.(35)eq.(36)是一個(gè)非線性耦合系統(tǒng),為計(jì)算它們,對(duì)速度預(yù)測(cè)和校正方法被引進(jìn)。7.1 模擬電機(jī)的線性參數(shù)圖11中電機(jī)線性參數(shù)的在列出表2。幾個(gè)數(shù)字仿真方法是用來(lái)相互比較，表3分別列出了一些龍格庫(kù)塔默森6,梯形,r k t和阻尼梯形方法電動(dòng)機(jī)電流計(jì)算仿真結(jié)果, (t=0.01 ms)。在龍格庫(kù)塔默森方法,一個(gè)介紹參數(shù)控制誤差集成的公差被引進(jìn)。時(shí)間步長(zhǎng)改變的根據(jù)誤差估計(jì)。由于更高的精度,龍格庫(kù)塔默森方法可以作為參考來(lái)比較其他方法。表4列出了最大和最小錯(cuò)誤,分別為每個(gè)方法的通過(guò)龍格庫(kù)塔獲得默森的方法有關(guān)結(jié)果?？梢钥吹? r k t方法最

13、大誤差是小于阻尼梯形法但比梯形法要大;但r k t方法的最低誤差是三個(gè)之中最小的。所以先前的部分結(jié)論已確認(rèn)。圖12顯示了一些r k t的仿真結(jié)果圖12 r k t方法的直流電機(jī)模擬(線性情況下) 圖13 梯形方法的直流電機(jī)模擬(線性情況下) 方法:(a)是電樞電壓;(b)是電動(dòng)機(jī)電流;(c)是電動(dòng)機(jī)速度;(d)是電機(jī)轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系和轉(zhuǎn)矩?？梢钥吹?結(jié)果給一個(gè)明確的過(guò)渡過(guò)程,沒(méi)有振蕩發(fā)生。圖13代表一些模擬了梯形法結(jié)果。它顯示了電樞電壓的電動(dòng)機(jī)顯示一些向下數(shù)值振蕩。7.2 模擬電機(jī)的非線性參數(shù)考慮飽和的鐵的電機(jī),參數(shù)表1中低頻和g將非線性依賴電流來(lái)模擬這些非線性參數(shù),一個(gè)曲線擬合的方法已被應(yīng)用。

14、見(jiàn)圖14顯示了參數(shù)低頻和曲線擬合的結(jié)果圖14 參數(shù)lf的非線性行為 圖15 參數(shù)g的非線性行為 曲線擬合模型是:圖15顯示了非線性參數(shù),g和曲線擬合結(jié)果。其數(shù)學(xué)模型是:為了避免圖14和圖15中l(wèi)f和g曲線擬合的開(kāi)始所示圖產(chǎn)生的波峰值。在圖14和圖15的第一段顯示為虛線的分段線性案例被引進(jìn)。lf是非線性的,式(35)必須改變?yōu)?當(dāng)計(jì)算完每一步, 式(39)的參數(shù)lf,dlf / di和g必須根據(jù)新的電機(jī)電流進(jìn)行修改; 然后可以繼續(xù)計(jì)算下一個(gè)。在瞬態(tài)過(guò)程可以指出非線性的主效應(yīng)。圖16顯示了r k t法的一些仿真結(jié)果?？梢钥闯? 圖15中電機(jī)的峰值電流是高于顯示在圖12線性情況;另一方面, 非線性模

15、型的電樞電壓的特點(diǎn)是有時(shí)間瞬態(tài)過(guò)程。7.3 速度控制下非線性情況下的仿真為控制電機(jī)的速度,一個(gè)簡(jiǎn)單的控制系統(tǒng)如圖17所示模擬。它包括一個(gè)時(shí)間常數(shù)的電流測(cè)量t1速度測(cè)量環(huán),一個(gè)比較環(huán)和一個(gè)開(kāi)關(guān)控制環(huán)節(jié)。在控制系統(tǒng)中，速度測(cè)量值與速度引用進(jìn)行比較獲取速度誤差。由于誤差的限制,它將切斷;否則,它將合上的開(kāi)關(guān)。所以式(39)將更改為:開(kāi)關(guān)函數(shù): 圖16 r k t方法直流電機(jī)模擬(非線性情況下)r k t法速度控制( = 12 002 rad/s)下非線性情況的仿真結(jié)果中顯示在圖18中,(a)是電壓源;(b)是電壓的電樞;(c)是電動(dòng)機(jī)電流;(d)是電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速。結(jié)果表明,r k t方法給予在直流電機(jī)模擬中明確的動(dòng)態(tài)過(guò)程。這個(gè)方法簡(jiǎn)單,準(zhǔn)確度高。此外,它可以有效的消除數(shù)值振蕩。8. 結(jié)論一個(gè)模擬直流系統(tǒng)稱為r k t的數(shù)字的方法,被引用和討論。它是以一種創(chuàng)新的方式結(jié)合龍格庫(kù)塔梯形方法創(chuàng)造出的,其中保持了積極功能。所建議的方法可以在一個(gè)個(gè)人電腦桌面實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化了計(jì)算，節(jié)省運(yùn)行時(shí)間，保持了準(zhǔn)確性。特別地,誤差修正實(shí)際上可以抑制虛假的數(shù)值振蕩。該方法應(yīng)用到小型直流電機(jī)的電路模型在給模擬設(shè)備的動(dòng)態(tài)行為效果不錯(cuò)。圖18 r k t方法(t1 =0.002 s)速度控制非線性情況參考文獻(xiàn)1dommell hw 電磁暫態(tài)程序參考手冊(cè),2001。2alvarado rl,