畢業(yè)設(shè)計（論文）矩陣逆的判定及求逆矩陣方法

1、 題 目 矩陣逆的判定及求逆矩陣方法 學(xué)生姓名 學(xué)號 1109014131 所在學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院 專業(yè)班級 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)(數(shù)教1102) 指導(dǎo)教師 完成地點 陜西理工學(xué)院 2015年06月12日矩陣逆的判定及求逆矩陣方法 (陜理工數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院數(shù)教1102班,陜西 漢中 723000)指導(dǎo)教師: 摘要矩陣的可逆性判定及逆矩陣的求解是高等代數(shù)的主要內(nèi)容之一.本文歸納總結(jié)出判定矩陣是否可逆及求逆矩陣的幾種方法.關(guān)鍵詞伴隨矩陣;初等矩陣;分塊矩陣引言矩陣是高等代數(shù)重要組成部分,是許多數(shù)學(xué)分支研究的重要工具,已成為數(shù)學(xué)中一個及其重要的應(yīng)用廣泛的概念,可逆矩陣作為一種特殊的矩陣,已成為

2、代數(shù)特別是高等代數(shù)的一個主要研究對象,在解決矩陣問題中有重要的作用.因此對矩陣逆的研究自然也成為高等代數(shù)研究的主要內(nèi)容之一.隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展,矩陣可逆的求解方法不斷更新,理論與實際的結(jié)合越發(fā)密切.所以我們有必要再次學(xué)習(xí)研究它,進(jìn)一步豐富發(fā)展它.本文在了解了矩陣可逆的定義、判定和性質(zhì)等內(nèi)容的基礎(chǔ)上,歸納總結(jié)出了幾種可逆矩陣的求解方法.1基本概念與判定、性質(zhì)1.1基本概念定義11n級方陣稱為可逆的,如果有n級方陣,使得. (1)這里是n級單位矩陣.定義21如果矩陣適合(1),那么就稱為的逆矩陣,記為.定義31設(shè)是矩陣中元素的代數(shù)余子式,矩陣稱為的伴隨矩陣.定義41矩陣的分塊在處理級數(shù)較高矩陣

3、時,有時候我們把一個大矩陣看成是由一些小矩陣組成的,就如矩陣是由數(shù)組成的一樣.特別在運算中,把這些小矩陣當(dāng)作數(shù)一樣處理,這就是所謂矩陣的分塊.定義51 稱一下三種變化為矩陣的初等行(列)變換：(1)交換矩陣的某兩行(列)；(2)以一個非零的數(shù)k乘矩陣的某一行(列)；(3)把矩陣的某一行(列的常數(shù)倍加到另一行(列)；矩陣的初等行變換和列變換統(tǒng)稱為初等變換.定義61由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.定義72若將分塊矩陣的子塊看成是普通矩陣的元素,則分塊矩陣的下列變換,稱為的廣義初等變換.(1)互換的兩行(列)；(2)用一個非零常數(shù)k乘的某行(列)；(3)用一個非零常數(shù)k乘的某行(列

4、),并加到另一行(列)上.對 的行(列)作上述三種變換,稱的廣義行(列)變換.1.2 可逆矩陣的判定3定義法 n級方陣稱為可逆的,如果有n級方陣,使得.定理1 矩陣是可逆的充分必要條件是非退化,且 ()定理2 矩陣是可逆的充分必要條件是可以寫成初等矩陣的乘積.定理3 矩陣是可逆的充分必要條件是的秩為n.定理4 若齊次線性方程組只有零解,則是可逆矩陣.定理5 階矩陣可逆的充要條件是它的特征值都不等于0.即,可逆.定理6 可逆的充要條件是非齊次線性方程組總有唯一解.1.3可逆矩陣的性質(zhì)1(1)若可逆,則也可逆且；(2)若可逆,則也可逆且；(3)若可逆,則(為任意一個非零的數(shù))也可逆且；(4),其中

5、均為n階可逆陣.2可逆矩陣的求法2.1定義法 利用定義,湊的方法,當(dāng)條件中有矩陣方程時,通過矩陣運算規(guī)律從矩陣方程中湊出(或)的形式,從而可得.例1 求的逆矩陣.解 因為,所以可逆.設(shè)的逆矩陣為,則由,得 解得所以 .注釋：定義法一般適用于求二級,三級可逆方陣的逆矩陣,級數(shù)高的可逆矩陣不宜采取這種方法. 因為矩陣的級數(shù)越大,方程組所含的方程越多,解方程就會越困難.2.2伴隨矩陣法由定理1矩陣a是可逆的充分必要條件是a非退化,且 ()求得. 例2 求的逆矩陣.解 因為,所以可逆.其中,同理求得,.所以.注釋:由于 要計算量較大,且容易出錯.因此用公式法一般適合求2階和3階這種階數(shù)較小的矩陣.對于

6、3階以上的矩陣,工作量大且中途難免會出現(xiàn)計算錯誤和符號錯誤.對于求出的逆矩陣是否正確,一般要通過來檢驗,一旦出現(xiàn)錯誤,我們必須對每個計算都加以檢查,所以在用伴隨矩陣求逆時應(yīng)當(dāng)注意：(1)中的元素是中元素的代數(shù)余子式而不是余子式,計算式切勿遺漏符號； (2)元素位于中的第行第列,而不是第行,第列；(3)這種方法必須在判定該矩陣為可逆矩陣的基礎(chǔ)上進(jìn)行.2.3 初等變換法由定理2方陣可逆的充分必要條件是可表示為若干個同階初等矩陣的乘積可求得.初等行(列)變換:可逆矩陣總可以經(jīng)過一系列初等行(列)變換化為單位矩陣,如果用一系列初等行(列)變換把可逆矩陣化成單位矩陣,那么同樣地用這一系列初等行(列)變換

7、去化單位矩陣就得到.2.3.1.初等行變換具體方法是：欲求的逆矩陣時,首先由作出一個矩陣,即,然后對這個矩陣施以行初等變換只能用行初等變換,將它的左半部的矩陣化為單位矩陣,那么原來右半部的單位矩陣就同時化為.即.例3 求的逆矩陣.解 于是.2.3.2初等列變換具體方法是:欲求的逆矩陣時,首先由作出一個矩陣,即,然后對這個矩陣施以列初等變換只能用列初等變換,將它的上半部分矩陣化為單位矩陣,那么原來下半部分的單位矩陣就同時化為,即.例4 求的逆矩陣.解 于是.初等行、列變換適合于3階以上的矩陣求逆,它的方法比較單一,只要反復(fù)進(jìn)行初等行(列)變換即可.并且條件與結(jié)果非常鮮明,便于檢查,是求逆的一種常

8、見方法.2.3.3 同時使用初等行、列變換引理4:如果用一系列初等行、列變換將化成單位矩陣,則必存在矩陣,使得,且由實施初等列變換得到,由實施初等行變換得到.證明:設(shè)是一個n階可逆矩陣,則,其中均為n階可逆矩陣.對上式左乘,這相當(dāng)于對作初等行變換,右乘,相當(dāng)于對作初等列變換,經(jīng)過這一系列初等行、列變換將矩陣化成單位矩陣.即,又矩陣可寫成,則=.設(shè),這是對e右乘,相當(dāng)于對作初等列變換.,這是對左乘,相當(dāng)于對作初等行變換.所以.上述內(nèi)容用分塊矩陣表示,即為經(jīng)過一系列初等行、列變換得到,.這就給我們提供了一個具體求矩陣逆的一個方法.歸納起來是:對矩陣()作2n階矩陣,然后對作一系列初等行、列變換(只

9、對前n行和前n列),目的是在于將左上角的化成單位矩陣,用初等行變換將右側(cè)的化成矩陣,用初等列變換將下面的化成矩陣,得到,即,最后得出.例5 求的逆矩陣.解 由題作2n階矩陣,然后對同時施行初等行、列變換,即有所以.這種方法在計算上有時并不比行初等變換和列初等變換簡單,但是它將上述兩種只能使用一種變換的方法綜合起來同時進(jìn)行初等行列變換,把已知矩陣放在含有單位矩陣的分塊矩陣中,同時進(jìn)行變換.以此來求逆矩陣,有時會比較簡單.2.4 分塊求逆法在處理較高級數(shù)的矩陣時,我們把大矩陣看成是由一些小矩陣組成的,就如矩陣是由數(shù)組成的一樣.特別在運算中,把這些小矩陣當(dāng)做數(shù)一樣來處理,即矩陣的分塊.如果把這類矩陣

10、分塊,再對分塊矩陣求逆矩陣,則能減少計算量.用分塊矩陣求逆矩陣,適合零元素較多較大型的矩陣.這種類型的矩陣使用分塊求逆較方便.主要是利用“廣義初等變換”求分塊矩陣的逆. 若階方陣其中分別是階可逆矩陣,則.理由:利用廣義行初等變換所以.也可利用廣義列初等變換,即.所以.同理,其他情形類似.例6 求的逆矩陣.解 設(shè),其中,.而我們很容易求出,.所以.2.5 利用解線性方程組來求逆矩陣計算給定的階矩陣的逆矩陣,可以歸結(jié)為解個線性方程組,其中每一個都包含個未知量的個方程且未知量的系數(shù)矩陣就是矩陣. 實際上,考慮n個未知數(shù)的線性方程組:記方程組的系數(shù)矩陣記, . 現(xiàn)在設(shè),.若階矩陣可逆,則,于是的第列是

11、線性方程組的解,.因此我們可以去解線性方程組,其,然后把所得的解的公式中的分別用；代替,便可求得的第列,這種方法在某些時候可能比用初等變換法求逆矩陣稍微簡單一點.例7 求矩陣的逆矩陣. 解 設(shè),.解方程組.即 解得然后把列,分別用,代替,帶入得到矩陣的第1,2,3,4,5列分別為:,.所以.這種方法特別適用于線性方程組ax=b的解容易求解的情形.2.6 利用哈密爾頓凱萊定理求逆矩陣法引理15 hamilton-cayley定理 設(shè)a是階數(shù)字矩陣,其特征多項式為:則定理75 設(shè)a是階數(shù)字矩陣,其特征多項式.若,則可逆,且 . 此式給出了的多項式計算方法.例8 已知,利用哈密爾頓凱萊定理求. 解

12、矩陣的特征多項式為: 因為,所以矩陣可逆,則由可知.2.7 用行列式求矩陣的逆定義85矩陣的秩 設(shè)為階矩陣,如果中不為零的子式最高階數(shù)為,即存在階子式不為零,任何階子式皆為零,則稱為矩陣的秩,記為,當(dāng)時,稱矩陣為滿秩矩陣.定理5 若階方陣為滿秩矩陣,則可逆.且其中為的單位向量組.例9 求的逆矩陣.解 ,.故.2.8 由求可逆矩陣的逆設(shè)為階非奇異方陣,為階單位矩陣,因為,現(xiàn)在我們用表示的第行元素,用表示的第行元素,那么我們可以表示為:,即在這里,我們將看作未知向量,將看作已知向量.因為,所以未知向量為已知向量的線性組合,即為,也就是.即,于是我們由可逆矩陣的定義可知.例10 求的逆矩陣.解 由題

13、分別用和表示和的第1,2,3行元素.則 ,即將看作未知向量,解此方程組得:,即.故,所以.2.9 利用lu分解求矩陣的逆當(dāng)?shù)那皞€順序主子式都不為零時,矩陣可唯一的分解為兩個三角矩陣的乘積.其中是單位下三角矩陣,是上三角矩陣.即,.對于方程組的系數(shù)矩陣,當(dāng)實現(xiàn)了上述的時,這時我們就可以將上述方程組寫成,然后令,則有,由此方法我們可以求出矩陣的逆.2.10 一般循環(huán)矩陣逆的求法以下討論的都是階復(fù)矩陣,形如的矩陣稱為循環(huán)矩陣6.因為由它的第一行元素決定,故簡記為.令,稱為基本循環(huán)矩陣.引理16 任意兩個循環(huán)矩陣的乘積是循環(huán)矩陣.引理26 可逆循環(huán)矩陣的逆仍是可逆矩陣.引理36 若可逆,則以的轉(zhuǎn)置為系

14、數(shù)矩陣的關(guān) 于的線性方程組 有且僅有一個解. 引理46 設(shè)可逆,則的充要條件是:滿足方程組.引理4給了我們求矩陣逆的一種方法:寫出以的轉(zhuǎn)置為系數(shù)矩陣的方程組,然后求出的唯一解,則.另一方法:計算的行列式,依次求出的第一行元素的代數(shù)余子式,則.3小結(jié)上面我們介紹了可逆矩陣的有關(guān)知識以及歸納總結(jié)了求解可逆矩陣的簡單的幾種方法和一種特殊矩陣的求解.對于用公式法(利用伴隨矩陣)求可逆矩陣的逆, 這是各種教材均會提到的方法, 是通過行列式的性質(zhì)得來的.對于一般的可逆矩陣,求其逆矩陣是很麻煩的,利用伴隨矩陣求逆矩陣, 表達(dá)式雖很簡單,但計算量一般很大,其意義主要在理論方面.初等變換法是最常用的求逆矩陣的方

15、法,容易理解,步驟也很簡單.我們在將原矩陣施行(列)初等變換化成單位矩陣的同時,單位矩陣在施行同樣的初等行(列)變換下就化成了所求逆矩陣了.同時進(jìn)行初等行、列變換求可逆矩陣的逆的方法是初等變換法的推廣,此方法進(jìn)行時需要注意的是對于構(gòu)造的矩陣,我們只對它前行和前列施行變換,這種求逆的方法從理論上說明了求高階矩陣的逆矩陣的可能性.分塊矩陣求逆的方法是在求級數(shù)較高的矩陣時采用的,并且對于零元素較多的矩陣使用較為方便.以及利用線性方程組求矩陣的逆,此方法在某些時候可能比用初等變換法求逆矩陣稍微簡單一點.還有介紹利用hamilton-cayley定理求逆矩陣的方法,此方法是在hamilton-cayle

16、y定理的基礎(chǔ)上得到的,這種方法的使用是利用了矩陣的特征多項式,在求逆矩陣上有其獨到之處等等.總之,求逆矩陣的方法很多,不僅僅只是以上列舉的幾種方法,大家在做題過程中,可根據(jù)題目的需要和特點靈活選用合適的方法來求解.參考文獻(xiàn)1王萼芳,石明生.高等代數(shù)m.北京:高等教育出版社,2003.2宋玉英.用“廣義初等變換”法求分塊矩陣的逆矩陣j.蘭州教育學(xué)院學(xué)報,2002(04):57-61.3徐蘭,蘇貴福.也談矩陣逆的求法j.長春理工大學(xué)學(xué)報,2011,6(02):126-134.4刁光成,張曉燕.關(guān)于求逆矩陣方法的進(jìn)一步研究j.牡丹江教育學(xué)院學(xué)報,2010(02):148-151.5魯翠仙.逆矩陣的一

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