10(5)冪級數(shù)及其收斂性

1、1冪級數(shù)的性質(zhì)冪級數(shù)的性質(zhì)小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)power series第五節(jié)第五節(jié) 冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性收斂半徑的求法收斂半徑的求法冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間 第十一章第十一章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)21.1.定義定義,00時時當(dāng)當(dāng) x,0nnnxa 如下形式的函數(shù)項級數(shù)如下形式的函數(shù)項級數(shù)nnnxxa)(00 稱為稱為的的冪級數(shù)冪級數(shù). .為常數(shù)為常數(shù)其中其中na的的冪級數(shù)冪級數(shù). .定義定義)(0 xx nnnxxa)(00 稱為稱為x nnxxaxxaa)()(0010一、一、冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間間冪級數(shù)及其收斂性

2、冪級數(shù)及其收斂性3例1 (1) 冪級數(shù)冪級數(shù)0!nnxn在整個數(shù)軸上處處收斂在整個數(shù)軸上處處收斂.(2) 冪級數(shù)冪級數(shù)01 1,0,nnnr xrr r的收斂域為(3) 冪級數(shù)冪級數(shù)0!0.nnn xx只在收斂發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn):冪級數(shù)冪級數(shù)0nnna x的收斂域為以的收斂域為以 為中心的對稱區(qū)為中心的對稱區(qū)間間.0 x 冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性4證證0lim0 nnnxa收斂收斂 00)1(nnnxa阿貝爾阿貝爾 (Abel)(挪威挪威) 18021829nnnxa 0nnnxa 01| |xx定理定理1 1 (阿貝爾阿貝爾(Abel)第一定理第一定理)0(00 xxx在在|0 xx 1xx在

3、處則它在滿足則它在滿足不等式不等式絕對收斂絕對收斂;發(fā)散發(fā)散.收斂收斂,發(fā)散發(fā)散,如果級數(shù)如果級數(shù)則它在滿足不等式則它在滿足不等式的一切的一切x處處如果級數(shù)如果級數(shù)的一切的一切x處處從而數(shù)列從而數(shù)列0nnxa有界有界, 即有常數(shù)即有常數(shù) M 0,使得使得), 2 , 1 , 0(|0nMxann2. .收斂半徑和收斂域收斂半徑和收斂域冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性5nnxannnxxxa00 nxxM0 ,10時時當(dāng)當(dāng) xx,00收收斂斂等等比比級級數(shù)數(shù)nnxxM ,0收收斂斂 nnnxa 0nnnxa即即級級數(shù)數(shù)nnnnxxxa00|0 xx ;|)|(|0絕絕對對收收斂斂xx 1(2),

4、xx假設(shè)當(dāng)時發(fā)散由由(1)結(jié)論結(jié)論,這與所設(shè)矛盾這與所設(shè)矛盾.使級數(shù)收斂使級數(shù)收斂,則級數(shù)則級數(shù)時應(yīng)收斂時應(yīng)收斂,1xx當(dāng)而有一點而有一點x2適合適合21| |xx|0 xx ), 2 , 1 , 0(|0nMxann冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性6Ox 定理定理2 2nnnxa 1也不是在整個數(shù)軸上都收斂也不是在整個數(shù)軸上都收斂,則必有一個完全確則必有一個完全確冪級數(shù)冪級數(shù) 絕對收斂絕對收斂;,|時時當(dāng)當(dāng)Rx ,|時時當(dāng)當(dāng)Rx 冪級數(shù)冪級數(shù) 發(fā)散發(fā)散.冪級數(shù)冪級數(shù),時時與與當(dāng)當(dāng)RxRx 可能收斂也可能發(fā)散可能收斂也可能發(fā)散. .幾何說明幾何說明R R收斂區(qū)域收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域

5、發(fā)散區(qū)域如果冪級數(shù)如果冪級數(shù)不是僅在不是僅在x = 0一點收斂一點收斂,定的正數(shù)定的正數(shù)R存在存在,它具有下列性質(zhì)它具有下列性質(zhì):冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性7正數(shù)正數(shù)R稱為冪級數(shù)的稱為冪級數(shù)的冪級數(shù)的冪級數(shù)的規(guī)定規(guī)定, R問問: :如何求冪級數(shù)的收斂半徑如何求冪級數(shù)的收斂半徑?),(RR定義定義收斂半徑收斂半徑. .收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為(1)冪級數(shù)只冪級數(shù)只在在x = 0處收斂處收斂, 0 R收斂區(qū)間收斂區(qū)間; 0 x(2)冪級數(shù)對一切冪級數(shù)對一切 x 都都收斂收斂,收斂區(qū)間收斂區(qū)間).,(冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性8提問提問:(0,2)1.nnaxxn=0設(shè)在則它在是收斂還收斂x

6、=3是發(fā)散?32.,nna xx n=0設(shè)在則其收斂半條件收斂徑R=?冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性9設(shè)設(shè)定理定理3 3nnnxa 0如果冪級數(shù)如果冪級數(shù)的所有系數(shù)的所有系數(shù)0 nannnaa1lim ）或或 nnalim(n二、二、收斂半徑的求法收斂半徑的求法則該冪級數(shù)的收斂半徑為則該冪級數(shù)的收斂半徑為1,0,00,R 證證,0 nnnxa對對級級數(shù)數(shù)由由比值審斂法比值審斂法,nnnnnxaxa11lim xaannn1limx 冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性10,)0(lim)1(1存存在在如如果果 nnnaa,1|時時當(dāng)當(dāng) x 0|nnnxa級級數(shù)數(shù) 0nnnxa,1|時時當(dāng)當(dāng) x

7、0|nnnxa級級數(shù)數(shù)|,|11nnnnxaxa 0nnnxa|lim1xaannn 1 R收斂半徑收斂半徑0|nnxa收斂收斂,從而級數(shù)從而級數(shù)絕對收斂絕對收斂.發(fā)散發(fā)散,并且從某個并且從某個n開始開始從而級數(shù)從而級數(shù)發(fā)散發(fā)散. 比值判別法比值判別法冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性11, 0)2( 如如果果, 0 x),(011 nxaxannnn有有 0|nnnxa級級數(shù)數(shù) 0nnnxa; R,)3( 如果如果, 0 x 0nnnxa級級數(shù)數(shù))|00收收斂斂使使 nnnxax. 0 R定理證畢定理證畢.|lim1xaannn 收斂收斂,從而級數(shù)從而級數(shù)絕對收斂絕對收斂.收斂半徑收斂半徑必發(fā)

8、散必發(fā)散.(否則由定理否則由定理1知將有點知將有點收斂半徑收斂半徑冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性12定理4如果冪級數(shù)如果冪級數(shù)0nnna x的系數(shù)滿足的系數(shù)滿足:limnnna則該冪級數(shù)的收斂半徑則該冪級數(shù)的收斂半徑為為1,0,00,R 冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性13例例2 2 求下列冪級數(shù)的求下列冪級數(shù)的收斂半徑收斂半徑與與收斂域收斂域:解解)1(nnnnn 21)1(21lim12 R 1)()2(nnnx122)!2() !()3(nnxnnnnnnxn)21(2)1()4(1 12)1(nnnnx21 nnnaa1lim )1(2lim nnn 1 R冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其

9、收斂性14,2時時當(dāng)當(dāng) x,2時時當(dāng)當(dāng) x,)1(1 nnn級級數(shù)數(shù)為為,11 nn級級數(shù)數(shù)為為是收斂的交錯級數(shù)是收斂的交錯級數(shù). 是調(diào)和是調(diào)和級數(shù)級數(shù),發(fā)散發(fā)散.故收斂域為故收斂域為).2 , 2 , 級數(shù)只在級數(shù)只在0 x處收斂處收斂.0 R 1)()2(nnnx解解nn lim 12)1(nnnnxnna limn 冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性15 1 R221( !)(3)(2 )!nnnxn221( !),(2 )!nnntxtn令解解nnnaa1lim )!2() !(!)1(2!)1(lim22nnnnn )22)(12()1(lim2 nnnn41 21R冪級數(shù)及其收斂性冪

10、級數(shù)及其收斂性16級數(shù)為正項級數(shù)級數(shù)為正項級數(shù) 124)!2() !(nnnn因為因為112221 nnuunn所以所以,0lim nnu故級數(shù)故級數(shù) 發(fā)散發(fā)散. 124)!2() !(nnnn對應(yīng)的常數(shù)項級數(shù)也對應(yīng)的常數(shù)項級數(shù)也發(fā)散發(fā)散.當(dāng)當(dāng) x = 2 時時,2時當(dāng)x).2, 2( 12)!2() !()3(nnxnn故收斂域為故收斂域為冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性172121| xt)1 , 0( xnnnnxn)21(2)1()4(1 R21 ,21 xt令令nnnntn2)1(1 解解 1limnnnaannn21lim 即即收斂收斂即即收斂收斂11| |22tx發(fā)散發(fā)散即即0(

11、1,)x （， ）發(fā)散發(fā)散,0時時當(dāng)當(dāng) x 11nn級級數(shù)數(shù)為為發(fā)散發(fā)散,1時時當(dāng)當(dāng) x 1)1(nnn級級數(shù)數(shù)為為收斂收斂故收斂域為故收斂域為(0,1.還有別的方法嗎還有別的方法嗎冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性18解解是是缺偶次冪缺偶次冪的冪級數(shù)的冪級數(shù).)()(lim1xuxunnn 例例3 求函數(shù)項級數(shù)求函數(shù)項級數(shù) 的收斂區(qū)間的收斂區(qū)間.)!12() 1(ln120 nxxnnn去掉第一項去掉第一項,1232|)!12()!32(|lim nnnxnnx)32)(22(|lim2 nnxn所以所以,去掉第一項去掉第一項,級數(shù)處處收斂級數(shù)處處收斂.定義域為定義域為0 因為第一項因為第一項

12、lnx的的所以所以,原級數(shù)的原級數(shù)的收斂區(qū)間收斂區(qū)間是是, 0 x)., 0( 比值判別法比值判別法冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性19三、冪級數(shù)的性質(zhì)三、冪級數(shù)的性質(zhì)定理定理5 (Abel第二定理第二定理)設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù)0nnna x的收斂半徑為的收斂半徑為0,R 0,rR 則冪級數(shù)冪級數(shù)0,nnna xr r在上一致收斂(稱該級數(shù)在稱該級數(shù)在 中中內(nèi)閉一致收斂內(nèi)閉一致收斂.,R R利用優(yōu)級數(shù)判別法可證利用優(yōu)級數(shù)判別法可證.冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性20冪級數(shù)的這一性質(zhì)保證了和函數(shù)的連續(xù)性冪級數(shù)的這一性質(zhì)保證了和函數(shù)的連續(xù)性及有任意階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)及有任意階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì).定理定理6 (和函

13、數(shù)的連續(xù)性和函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù)0,nnna xR的收斂半徑為則其和函數(shù)則其和函數(shù) 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù).( ),S xR R在結(jié)論結(jié)論:設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù)0,nnna xxR在收斂則其和函數(shù)則其和函數(shù)( ).S xxR在連續(xù)1. 分析運算性質(zhì)分析運算性質(zhì)冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性21定理定理7 (和函數(shù)的可微性和函數(shù)的可微性)設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù)0,nnna xR的收斂半徑為則其和函數(shù)則其和函數(shù) 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),且且( ),S xR R在0011( )nnnnnnnnnS xa xa xna x并且逐項求導(dǎo)后的冪級數(shù)的收斂半徑仍為并且逐項求導(dǎo)后的冪級數(shù)的收斂半徑仍為.R結(jié)論結(jié)論:( ),S

14、xR R在內(nèi)有任意階的導(dǎo)數(shù)內(nèi)有任意階的導(dǎo)數(shù).說明說明: 冪級數(shù)類似于多項式冪級數(shù)類似于多項式.冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性22定理定理8 (和函數(shù)的可積性和函數(shù)的可積性)設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù)0,nnna xR的收斂半徑為設(shè)其和函數(shù)為設(shè)其和函數(shù)為( ),S x,xR R 則都有都有10000( )dd1xxnnnnnnas tta ttxn并且逐項求積之后的冪級數(shù)的收斂半徑仍為并且逐項求積之后的冪級數(shù)的收斂半徑仍為.R冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性23注意注意: 冪級數(shù)經(jīng)過逐項求導(dǎo)求積后的冪級數(shù)冪級數(shù)經(jīng)過逐項求導(dǎo)求積后的冪級數(shù)收斂半徑不變收斂半徑不變,但收斂域會變但收斂域會變?nèi)缛?01( 1)

15、,( 1,1)1nnnxxx 0, ,x兩邊在積分 得0ln(1)( 1),( 1,11nnnxxxn 利用冪級數(shù)的這些性質(zhì)可以求和函數(shù)利用冪級數(shù)的這些性質(zhì)可以求和函數(shù).冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性24解解.1的和函數(shù)的和函數(shù)求冪級數(shù)求冪級數(shù) nnnx(1)求收斂區(qū)間求收斂區(qū)間1lim nnnaaR)1(11lim nnn時時，當(dāng)當(dāng)1 x,11 nn級級數(shù)數(shù)為為發(fā)散發(fā)散時，時，當(dāng)當(dāng)1 x,)1(1 nnn級數(shù)為級數(shù)為1 收斂收斂故級數(shù)的求收斂域為故級數(shù)的求收斂域為).1 , 1 容易求和函數(shù)的冪級數(shù)是幾何級數(shù)容易求和函數(shù)的冪級數(shù)是幾何級數(shù),分析分析設(shè)法設(shè)法用逐項求導(dǎo)或逐項積分的方法把通項變

16、形用逐項求導(dǎo)或逐項積分的方法把通項變形.例例4冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性25),1ln()(xxs 即即 xxsd)( 1)(nnnxxs,11x )11( x)(xs由牛由牛萊公式得萊公式得)1ln(x xxx0d11利用逐項求導(dǎo)利用逐項求導(dǎo) 11nnx)11( x,1處處在在 x,)(連續(xù)連續(xù)xs,)1ln(也連續(xù)也連續(xù)x 因因此此.1)(處也成立處也成立在在 xxs(2)求求和函數(shù)和函數(shù)s(x),)(1 nnnxxs設(shè)和函數(shù)設(shè)和函數(shù). 0)0( s ,)1 , 1)(連續(xù)連續(xù)在在則則 xs2ln)1( s得得0 x)0( s 冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性26例例5 求冪級數(shù)求冪

17、級數(shù) 的和函數(shù)的和函數(shù).1121 nnnxn解解 (1)求收斂域求收斂域1lim nnnaaR,211 nn級數(shù)為級數(shù)為發(fā)散發(fā)散,21)1(11 nnn級數(shù)為級數(shù)為收斂收斂12)1(121lim nnnnn2 故級數(shù)的故級數(shù)的收斂域收斂域).2 , 2 時時，當(dāng)當(dāng)2 x時，時，當(dāng)當(dāng)2 x冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性27(2)求求和函數(shù)和函數(shù)s(x) 設(shè)所求和函數(shù)為設(shè)所求和函數(shù)為s(x),21)(11 nnnxnxs有有 11nn逐項求導(dǎo)逐項求導(dǎo)21121x )( xxs 112nnx21x 21即即)2 , 2 x)(xsxx nnnxn 1211121 nnnxnnx 2冪級數(shù)及其收斂性

18、冪級數(shù)及其收斂性28由牛由牛 萊公式得萊公式得:)0(0)(sxxs xx0)2ln( xxxxs0d )(xxxd210 )2ln(x 21lnx2ln 因此因此,)2 , 0()0 , 221ln1)( xxxxs當(dāng)當(dāng)x = 0時時,顯然有顯然有1121)( nnnxnxs)0( s總之有總之有 1121nnnxn,21ln1 xx,21)2 , 0()0 , 2 x,21 0 x xxxs 21 )(冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性29解解收斂收斂區(qū)間為區(qū)間為1limnnnaaR 11nnnxxxnnnnxd)1(10 11nnnx(1)求收斂區(qū)間求收斂區(qū)間(2)求和函數(shù)求和函數(shù)s(x)

19、利用性質(zhì)利用性質(zhì)2,逐項積分逐項積分 1)1()(nnnxs設(shè)和函數(shù)設(shè)和函數(shù))2)(1()1(lim nnnnn1 ).1 , 1( 2x例例6.2) 1(1nnnn的和求xd0 x0 x 1)1()(nnxnnxs)(xgnx xd 數(shù)項級數(shù)間接求和法數(shù)項級數(shù)間接求和法冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性30 12)1(nnnn故故8 3)1(2xx xxnnxnxxxg0011dd)( 1nnxxx 1即即 101dnxnxnx又設(shè)又設(shè),)(11 nnnxxg則則利用性質(zhì)利用性質(zhì)2,逐項積分逐項積分(3)求函數(shù)求函數(shù)s(x)在在 的值的值21 x2)1(1x xxxs0d)(22)1(xx x

20、xxg1)()(d)(20 xgxxxsx 22)1()(xxxs)(xs 1)1(nnxnnn 21 21冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性31堂上練習(xí)堂上練習(xí):1. 求下列冪級數(shù)的和函數(shù):211.(21)3nnn-1n=12. 求(-1)的和000(1);(2)(21);(3)(1)nnnnnnxnxnxn n冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)及其收斂性32 小結(jié)小結(jié)再對和函數(shù)積分再對和函數(shù)積分(求導(dǎo)求導(dǎo)),求出原級數(shù)的和函數(shù)求出原級數(shù)的和函數(shù).求和函數(shù)的一般過程是求和函數(shù)的一般過程是:首先找收斂半徑首先找收斂半徑,再利用在收斂區(qū)間上冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)可再利用在收斂區(qū)間上冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)可逐項求導(dǎo)逐項求導(dǎo)(積分積分),求得新的冪