線性代數(shù)(人大版)第11講

1、線性代數(shù)第11講3.2 n維向量空間為了深入討論線性方程組的問題, 我們來介紹n維向量空間的相關(guān)概念.一個mn矩陣的每一行都是由n個數(shù)組成的有序數(shù)組, 其每一列都是由m個數(shù)組成的有序數(shù)組. 在研究其它問題時也常遇到有序數(shù)組. 例如平面上一點(diǎn)的坐標(biāo)和空間中一點(diǎn)的坐標(biāo)分別是二元和三元有序數(shù)組(x,y),(x,y,z). 又如把組成社會生產(chǎn)的各部門的產(chǎn)品或勞務(wù)的數(shù)量, 按一定次序排列起來, 就得到國民經(jīng)濟(jì)各部門或勞務(wù)的有序數(shù)組.定義定義3.1 n個實(shí)數(shù)組成的有序數(shù)組稱為n維向量. 一般用a a,b b,g g等希臘字母表示, 有時也用a,b,c,o,u,v,x,y等拉丁字母表示.a a=(a1,a2

2、,an)稱為n維行向量行向量. 其中ai稱為向量a a的第i個分量分量;12nbbb稱為n維列向量列向量. bi是其第i個分量.要把列(行)向量寫成行(列)向量可用轉(zhuǎn)置記號, 例如12nbbb可寫成 b b=(b1,b2,bn)T矩陣111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA中的每一行(ai1, ai2, , ain)(i=1,2,m)都是 n 維行向量, 每一列12(1,2, )jjmjaajna都是 m 維列向量. 兩個n維向量當(dāng)且僅當(dāng)它們各對應(yīng)分量相等時, 才是相等相等的. 即如果a a=(a1,a2,an), b b=(b1,b2,bn)當(dāng)且僅當(dāng)ai=bi (i=1, 2

3、, , n)時, a a=b b.所有分量均為零的向量稱為零向量零向量, 記為o=(0, 0, , 0)n維向量a a=(a1,a2,an)的各分量的相反數(shù)組成的n維向量, 稱為a a的負(fù)向量負(fù)向量, 記為-a a, 即-a a=(-a1,-a2,-an).定義定義3.2 兩個n維向量a a=(a1,a2,an)與b b=(b1,b2,bn)的各對應(yīng)分量之和所組成的向量, 稱為向量a a與向量b b的和和, 記為a a+b b. 即a a+b b=(a1+b1,a2+b2,an+bn).由向量加法及負(fù)向量的定義, 可定義向量向量減法減法: a a-b b=a a+(-b b)=(a1,a2,a

4、n)+(-b1,-b2,-bn)=(a1-b1,a2-b2,an-bn)定義定義3.3 n維向量a a=(a1,a2,an)的各個分量都乘以k(k為一實(shí)數(shù))所組成的向量, 稱為數(shù)k與向量a a的乘積乘積, 記作ka a, 即ka a=(ka1,ka2,kan).向量的加, 減及數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線線性運(yùn)算性運(yùn)算.定義定義3.4 所有n維實(shí)向量的集合記為Rn, 我們稱Rn為實(shí)n維向量空間, 它是指在Rn中定義了加法及數(shù)乘這兩種運(yùn)算, 并且這兩種運(yùn)算滿足以下8條規(guī)律:(1) a a+b b=b b+a a(2) a a+(b b+g g)=(a a+b b)+g g(3) a a+o=a a(4

5、) a a+(-a a)=o(5) (k+l)a a=ka a+la a(6) k(a a+b b)=ka a+kb b(7) (kl)a a=k(la a)(8) 1a a=a a其中a a,b b,g g都是n維向量, k,l為實(shí)數(shù)例例. 設(shè)125(2, 4,1, 1),( 3, 1,2,),2- -, 如果向量b b滿足 3a a1-2(b b+a a2)=o, 求b b. 解解: 由題設(shè)條件, 有 3a a1-2b b-2a a2=o 所以 212113(23)22 - - 53( 3, 1,2,)(2, 4,1, 1)221(6, 5,1)2 - - 3.3 向量間的線性關(guān)系(一)

6、線性組合線性方程組(3.1)寫成常數(shù)列向量與系數(shù)列向量如下的線性關(guān)系x1a a1+x2a a2+xna an=b b稱為方程組(3.1)的向量形式.其中1122(1,2, )jjjmjmababjnab都是m維向量.于是, 線性方程組(3.1)是否有解, 就相當(dāng)于是否存在一組數(shù): x1=k1, x2=k2, , xn=kn, 使線性關(guān)系式k1a a1+k2a a2+kna an=b b成立. 即常數(shù)列向量b b是否可以表示成上述系數(shù)列向量組a a1,a a2,a an的線性關(guān)系式. 如果可以, 則方程組有解; 否則, 方程組無解. b b可以表示成上述關(guān)系式時, 稱向量b b是向量組a a1,

7、a a2,a an的線性組合線性組合, 或者稱b b可由向量組a a1,a a2,a an線性表示線性表示.定義定義3.5 對于給定向量b b, a a1,a a2,a as,如果存在一組數(shù)k1,k2,ks, 使關(guān)系式b b=k1a a1+k2a a2+ksa as(3.10)成立, 則稱稱向量b b是向量組a a1,a a2,a an的線性組合線性組合, 或者稱b b可由向量組a a1,a a2,a an線性表示線性表示.例如, b b=(2,-1,1), a a1=(1,0,0), a a2=(0,1,0), a a3=(0,0,1), 顯然b b=2a a1-a a2+a a3. 即b

8、b是a a1,a a2,a a3的線性組合, 或者說b b可由a a1,a a2,a a3線性表示.定定理理 3.3 設(shè)向量12,mbbb向量12jjimjaaa(j=1, 2, , n), 則向量b b可由向量組a a1,a a2,a an線性表示的充分必要條件是以a a1,a a2,a an為列向量的矩陣與以a a1,a a2,a an,b b為列向量的矩陣有相同的秩. 證證: 線性方程組x1a a1+x2a a2+xna an=b b有解的充分必要條件是: 系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相同. 這就是說b b可由a a1, a a2 , , a an線性表示的充分必要條件是: 以a a1, a

9、a2, , a an為列向量的矩陣與以a a1,a a2,a an,b b為列向量的矩陣有相同的秩.定理定理 3.3 也可以敘述為: 對于向量b b和向量組a a1,a a2,a an, 其中b b=(b1,b2,bm), a aj=(a1j, a2j, , amj) (j=1, 2, , n). 向量b b可由向量組a a1,a a2,a an線性表示的充分必要條件是以12,TTTn為列向量的矩陣與以12,TTTTn為列向量的矩陣有相同的秩. 例例1. 任何一個n維向量a a=(a1,a2,an)都是n維向量組e e1=(1,0,0), e e2=(0, 1, 0, , 0), , e en

10、=(0, 0, , 0, 1)的線性組合.因?yàn)?a a=a1e e1+a2e e2+ane ene e1,e e2,e en稱為Rn的初始單位向量組.例例2. 零向量是任何一組向量的線性組合.因?yàn)閛=0a a1+0a a2+0a as例例3. 向量組a a1,a a2,a as中的任一向量a aj(1js)都是此向量組的線性組合.因?yàn)閍 aj=0a a1+1a aj+0a as.例例4. 判斷向量b b1=(4,3,-1,11)與b b2=(4,3,0,11)是否各為向量組a a1=(1, 2, -1, 5), a a2=(2, -1, 1, 1)的線性組合. 若是, 寫出表達(dá)式.解解: 設(shè)

11、k1a a1+k2a a2=b b, 對矩陣121(,)TTT施以初等行變換: 121124124213055(,)1110335111099TTT-121124124055011(,)033000099000102011000000TTT-因此b b1可由a a1,a a2線性表示, 且由上面的初等變換可知k1=2, k2=1使b b1=2a a1+a a2.121124102213011(,)1110005111000TTT-秩121(,)TTTb b秩12(,)TT=2. 類似地, 對矩陣122(,)TTT施以行初等變換: 12412412421305501111003400151110

12、99000- 秩122(,)TTT=3, 而秩12(,)TT=2. 因此b b2不能由a a1,a a2線性表示. (二二) 線性相關(guān)與線性無關(guān)線性相關(guān)與線性無關(guān)齊次線性方程組(3.9)可以寫成零向量與系數(shù)列向量的如下的線性關(guān)系式x1a a1+x2a a2+xna an=o它稱為齊次線性方程組(3.9)的向量形式.其中1200(1,2, )0jjjmjaajna o都是m維列向量.因?yàn)榱阆蛄渴侨我庀蛄拷M的線性組合, 所以齊次線性方程組一定有零解. 即0a a1+0a a2+0a as=o總是成立的. 問題是齊次線性方程組(3.9)除零解外是否還有非零解, 即是否存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,

13、kn使關(guān)系式k1a a1+k2a a2+kna an=o成立.例如, 齊次線性方程組 1212320640 xxxx- 除零解 x1=0,x2=0 外, 還有非零解, 如 x1=2, x2=3. 因此, 系數(shù)列向量組1232,64-與零向量00 之間, 除有關(guān)系0a a1+0a a2=o之外, 還有關(guān)系式2a a1+3a a2=o等關(guān)系. 而齊次線性方程組 1212020 xxxx- 僅有零解, 即系數(shù)列向量組112 , 211-與零向量00 之間, 僅有關(guān)系式0b b1+0b b2=o. 定義定義3.6 對于向量組a a1,a a2,a as, 如果存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,ks使關(guān)系

14、式k1a a1+k2a a2+ksa as=o(3.11)成立, 則稱向量組a a1,a a2,a as線性相關(guān)線性相關(guān); 如果(3.11)當(dāng)且僅當(dāng)k1=k2=ks=0時成立, 則稱向量組a a1,a a2,a as線性無關(guān)線性無關(guān).前面例中1232,64-線性相關(guān). 而112 與211-線性無關(guān). 定理定理3.4 對于m維列向量組a a1,a a2,a an, 其中12(1,2, )jjjmjaajna則a a1,a a2,a an線性相關(guān)的充分必要條件是: 以為a a1,a a2,a an列向量的矩陣的秩小于向量的個數(shù)n.定理 3.4 也可以敘述為: 對于 m 維行向量組a a1,a a2

15、,a an, 其中a aj=(a1j,a2j,amj)(j=1,2, , n), 則a a1,a a2,a an線性相關(guān)的充分必要條件是, 以12,TTTn為列向量的矩陣的秩小于向量的個數(shù) n. 證證: 齊次線性方程組k1a a1+k2a a2+kna an=o有非零解的充分必要條件是: 系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù)n, 由此定理得證.此定理的另一說法是: m維列向量組線性無關(guān)的充分必要條件是: 以為a a1,a a2,a an列向量的矩陣的秩等于向量的個數(shù)n.對于行向量組顯然也成立.推論推論1 設(shè)n個n維向量a aj=(a1j,a2j,anj) (j=1, 2,n), 則向量組a a1,a

16、a2,a an線性相關(guān)的充分必要條件是1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa或者說, 設(shè)n個n維向量a aj=(a1j,a2j,anj) (j=1, 2,n), 則向量組a a1,a a2,a an線性無關(guān)的充分必要條件是1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa實(shí)際上, 根據(jù)定理 3.4, n 維向量組a a1, a a2, , a an線性無關(guān)的充分必要條件是矩陣12(,)TTTn滿秩. 即1121112222120nnnnnnaaaaaaaaa, 亦即1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa 推論推論2 當(dāng)向量組中所含向量的個數(shù)大于向量的維

17、數(shù)時, 此向量組線性相關(guān).證證: 設(shè)a aj=(a1j,a2j,amj) (j=1, 2,n), 齊次線性方程組 k1a a1+k2a a2+kna an=o 由于mn, 故有非零解, 由此得證.例例1. 證明Rn中的初始單位向量組e e1,e e2,e en線性無關(guān).因?yàn)閨In|=10, 故線性無關(guān).例例2. 一個零向量線性相關(guān); 而一個非零向量線性無關(guān).因?yàn)楫?dāng)a a=o時, 對任意k0, 都有ka a=o成立, 而當(dāng)a ao時, 當(dāng)且僅當(dāng)k=0時ka a=o才成立.例例3. 判斷向量組a a1=(1,2,-1,5),a a2=(2,-1, 1, 1), a a3=(4,3,-1,11)是否線性相關(guān).解解: 對矩陣123(,)TTT施以初等變換化為階梯矩陣: 1241241242130550111110330005111099000-秩123(,)TTT=23, 所以向量組a a1,a a2,a a3線性相關(guān). 例例4. 判斷向量組a a1=(1,2,0,1), a a2=(1,3,0, -1), a a3=(-1,-1,1,0)是否線性相關(guān).解解: 111231001110-中有三階子式11123110001- , 即這個矩陣的秩為 3, 恰等于向量組中向量的個數(shù), 故向量組a a1,a a2,a a3線性無關(guān). 例例5. 證明