華東師大版13.5.2線段的垂直平分線

1、13.5.2 13.5.2 線段的垂直平分線線段的垂直平分線復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)互逆命題互逆命題互逆定理互逆定理問題問題:如圖如圖,A、B、C三個村莊合建三個村莊合建一所學(xué)校一所學(xué)校,要求校址要求校址P點(diǎn)距離三個村點(diǎn)距離三個村莊都相等莊都相等.請你幫助確定校址請你幫助確定校址. ABC線段的垂直平分線的性質(zhì)線段的垂直平分線的性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等到線段兩端點(diǎn)的距離相等直線直線MN AB，垂足是，垂足是C，且且AC=CB.點(diǎn)點(diǎn)P在在MN上上.已知：已知：PA=PB求證：求證：ABCNMP證明證明:MNMN ABAB（已知）（已知） PCA=PCA= PCB(PCB

2、(垂直的定義垂直的定義) )在在 PCAPCA和和 PCBPCB中中, ,AC=CB(AC=CB(已知已知),), PCA=PCA= PCB(PCB(已證已證) )PC=PC(PC=PC(公共邊公共邊) ) PCA PCA PCB(SAS)PCB(SAS)PA=PB(PA=PB(全等三角形的對應(yīng)邊相等全等三角形的對應(yīng)邊相等) )ABCMNPABCMNP當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)與點(diǎn)C重合時重合時,上述證上述證明有什么缺陷明有什么缺陷? PCAPCA與與 PCBPCB將不存在將不存在. .PA與與PB還相等嗎還相等嗎?相等相等! !此時此時,PA=CA,PB=CB已知已知AC=CB PA=PBPA=PBAB

3、C MN 線段垂直平分線上的線段垂直平分線上的點(diǎn)點(diǎn)到這條線段到這條線段兩個端點(diǎn)兩個端點(diǎn)的的距離相等距離相等.性質(zhì)定理性質(zhì)定理那么到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)那么到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是否一定在線段的中垂線上？是否一定在線段的中垂線上？ABPC已知已知:線段線段AB,且且PA=PB求證求證:點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直的垂直平分線平分線MN上上. 過點(diǎn)過點(diǎn)P作作PC AB垂足為垂足為C. PA=PB(已知已知) PABPAB是等腰三角形是等腰三角形( (等腰三角等腰三角 形的定義形的定義) )AC=BC(AC=BC(等腰三角形底邊上等腰三角形底邊上的高是底邊上的中線的高是底邊上的中線) )PCPC

4、是線段是線段ABAB的垂直平分線的垂直平分線. .即即點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直的垂直平分線平分線MN上上.證明證明:到線段兩個端點(diǎn)距離相到線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)等的點(diǎn),在這條線段的垂在這條線段的垂直平分線上直平分線上.判定定理判定定理該定理只能判定一個該定理只能判定一個點(diǎn)點(diǎn)在線段的中垂在線段的中垂線上，那么如何判定一條線上，那么如何判定一條直線直線是線段是線段的中垂線呢？的中垂線呢？要證明幾個點(diǎn)在線段的中垂線上呢？要證明幾個點(diǎn)在線段的中垂線上呢？因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，我們只需證因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，我們只需證明這條直線上有明這條直線上有兩個點(diǎn)兩個點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，即的

5、距離相等，即有兩個點(diǎn)在線段的中有兩個點(diǎn)在線段的中垂線上垂線上。學(xué)案學(xué)案例例2練案練案44頁左頁左2小結(jié)小結(jié):1.性質(zhì)定理性質(zhì)定理：線段的垂直平分線上：線段的垂直平分線上的點(diǎn)的點(diǎn),到這條線段兩個端點(diǎn)的距離到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等相等.2.判定定理：判定定理：到線段兩個端點(diǎn)距離相等到線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上在這條線段的垂直平分線上.互互逆逆定定理理能否根據(jù)線段的垂直平分線的能否根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)定性質(zhì)定理和判定定理理和判定定理，來證明，來證明三角形三邊的三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)垂直平分線交于一點(diǎn)？ACBMPNM/N/思路：思路：證證其中兩條其中兩條中

6、垂線的中垂線的交點(diǎn)，也在交點(diǎn)，也在第三條第三條中中垂線上。垂線上。課本課本9696頁頁練習(xí)練習(xí)1 1、2 2、3 3問題問題:如圖如圖,A、B、C三個村莊合建三個村莊合建一所學(xué)校一所學(xué)校,要求校址要求校址P點(diǎn)距離三個村點(diǎn)距離三個村莊都相等莊都相等.請你幫助確定校址請你幫助確定校址. ABCP 點(diǎn)點(diǎn)P為校址為校址作圖題作圖題:如圖如圖,在直線在直線 l 上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)P,使使PA=PB l BAP點(diǎn)點(diǎn)P為所求作的點(diǎn)為所求作的點(diǎn)填空：填空：1.已知已知:如圖如圖,AD是是 ABC的高的高,E為為AD上一點(diǎn)上一點(diǎn),且且BE=CE,則則 ABC為為 三角形三角形.ABCED1題圖題圖等腰等腰填空：填

7、空：1.已知已知:如圖如圖,AD是是 ABC的高的高,E為為AD上一點(diǎn)上一點(diǎn),且且BE=CE,則則 ABC為為 三角形三角形.2.已知已知: 等腰等腰 ABC,AB=AC,AD為為BC邊上的高邊上的高,E為為AD上一點(diǎn)上一點(diǎn),則則BE EC.(填填、或或=號號)ABCEDABCED1題圖題圖2題圖題圖等腰等腰=3.已知已知:如圖如圖,AB=AC, A=30o,AB的垂的垂直平分線直平分線MN交交AC于于D,則則 1= , 2= .ABCDMN30o1275o30o60o45o填空：填空：4.已知已知:如圖如圖,在在 ABC中中,DE是是AC的垂直平分線的垂直平分線,AE=3cm, ABD的周長

8、為的周長為13cm,則則 ABC 的周長的周長為為 cmABDCE3cm3cm1913cm5.如圖如圖,CD、EF分別是分別是AB、BC的垂直的垂直平分線平分線.請你指出圖中相等的線段有哪些請你指出圖中相等的線段有哪些?AD =BDCF = BFAC = BCCE = BE123CF =DF即即:BF=CF=DFACEBFD證明題證明題:1.已知已知: ABC中中, C=90 , A=30o,BD平分平分 ABC交交AC于于D.求證求證:D點(diǎn)在點(diǎn)在AB的垂直平分線上的垂直平分線上.ABCD證明證明:30o C=90o, A=30o(已知已知) ABC=60o(三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理)

9、 A= ABD (等量代換等量代換) D點(diǎn)在點(diǎn)在AB的垂直平分線上的垂直平分線上.(到線到線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線在這條線段的垂直平分線上段的垂直平分線上.)BD平分平分 A BC(已知已知) ABD=30o(角平分線的定義角平分線的定義)30o AD=BD(等角對等邊等角對等邊)證明題證明題:2.已知已知:如圖如圖,線段線段CD垂直平分垂直平分AB,AB平分平分 CAD. 求證求證:ADBC.ABCDO123證明證明: 線段線段CD垂直平分垂直平分AB(已知已知) CA=CB(線段垂直平分線的線段垂直平分線的性質(zhì)定理性質(zhì)定理) 1= 3(等邊對等角等邊對等角)又又 AB平分平分 CAD(已知已知) 1= 2(角平分線的定義角平分線的定義) 2= 3(等量代換等量代換) AD BC(內(nèi)錯角相等內(nèi)錯角相等, ,兩直線平行兩直線平行)證明題證明題:4.已知已知:如圖如圖,AD平分平分 BAC,EF垂直平分垂直平分AD交交BC的延長線于的延長線于F,連結(jié)連結(jié)AF.求證求證: CAF= B.ABCDEF1234ABCDEF1234 1+ 2= 4(等邊對等角等邊對等角)又又 4= B+ 3(三角形的一個外角等于與它三角形的一個外角等于與它 不相鄰的兩個內(nèi)角的和不相鄰的兩個內(nèi)角的和) 1+ 2