高等數(shù)學(xué)(下)第十二章D12習(xí)題課(2)

1、二階微分方程的 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 習(xí)題課 (二)二、微分方程的應(yīng)用二、微分方程的應(yīng)用 解法及應(yīng)用 一、兩類二階微分方程的解法一、兩類二階微分方程的解法 第十二章 一、兩類二階微分方程的解法一、兩類二階微分方程的解法 1. 可降階微分方程的解法可降階微分方程的解法 降階法降階法)(dd22xfxy)dd,(dd22xyxfxy令xyxpdd)(),(ddpxfxp)dd,(dd22xyyfxy令xyypdd)(),(ddpyfypp逐次積分求解 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 二階線性微分方程的解法二階線性微分方程的解法 常系數(shù)情形齊次非齊次代數(shù)法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下

2、頁 返回 結(jié)束 P327 題題2 求以xxeCeCy221為通解的微分方程 .提示提示: 由通解式可知特征方程的根為,2,121rr故特征方程為,0)2)(1(rr0232 rr即因此微分方程為023 yyyP327 題題3 求下列微分方程的通解, 01)6(2 yyy.2sin52)7(xyyy 提示提示: (6) 令, )(ypy 則方程變?yōu)?01dd2 pyppyyypppd1d2即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特征根:xyyy2sin52)7( ,212, 1ir齊次方程通解:)2sin2cos(21xCxCeYx令非齊次方程特解為xBxAy2sin2cos*代入方程可得1741

3、71,BA思思 考考若 (7) 中非齊次項(xiàng)改為,sin2x提示提示:,sin22cos12xxxBxAy2sin2cos*故D原方程通解為xx2sin2cos174171)2sin2cos(21xCxCeyx特解設(shè)法有何變化 ?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.,)(二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)設(shè)xf且滿足方程xtdtftxxxf0)()(sin)(. )(xf求提示提示: ,)()(sin)(00 xxtdtfttdtfxxxf則xxfcos)()(sin)(xfxxf xtdtf0)()(xfx)(xfx問題化為解初值問題:xxfxfsin)()( ,0)0(f1)0( f最后求得xxxxfco

4、s2sin21)(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的解. 例例2.設(shè)函數(shù)),()(在xyy,)()(, 0的函數(shù)是xyyyxxy內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1) 試將 xx( y) 所滿足的微分方程 變換為 yy(x) 所滿足的微分方程 ;(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件 0)dd)(sin(dd322yxxyyx, 0)0(y數(shù), 且23)0( y解解: ,1ddyyx, 1ddyxy即上式兩端對 x 求導(dǎo), 得: (1) 由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知(03考研考研)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0)(dddd222 yyxyxy222)(ddddyyxyy

5、x 3)(yy 代入原微分方程得 xyysin (2) 方程的對應(yīng)齊次方程的通解為 xxeCeCY21設(shè)的特解為 ,sincosxBxAy代入得 A0,21B,sin21xy故從而得的通解: 題 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xeCeCyxxsin2121由初始條件 ,23)0(, 0)0(yy得1, 121CC故所求初值問題的解為 xeeyxxsin21二、微分方程的應(yīng)用二、微分方程的應(yīng)用 1 . 建立數(shù)學(xué)模型 列微分方程問題建立微分方程 ( 共性 )利用物理規(guī)律利用幾何關(guān)系確定定解條件 ( 個(gè)性 )初始條件邊界條件可能還要銜接條件2 . 解微分方程問題3 . 分析解所包含的實(shí)際意義 機(jī)動(dòng)

6、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 解解:欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星, 為使其擺脫地球 引力, 初始速度應(yīng)不小于第二宇宙速度, 試計(jì)算此速度.設(shè)人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為 m , 地球質(zhì)量為 M , 衛(wèi)星的質(zhì)心到地心的距離為 h , 由牛頓第二定律得: 222ddhmMGthm00dd,vthRht,0v為(G 為引力系數(shù))則有初值問題: 222ddhMGth又設(shè)衛(wèi)星的初速度，已知地球半徑51063R機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(ddhvth設(shè),dddd22hvvth則代入原方程, 得2ddhMGhvvhhMGvvdd2兩邊積分得ChMGv221利用初始條件, 得RMGvC2021因此R

7、hMGvv112121202221limvhRMGv12120注意到 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為使,0v應(yīng)滿足0vRMGv20因?yàn)楫?dāng)h = R (在地面上) 時(shí), 引力 = 重力, )sm81. 9(22ggmhmMG即,2gRMG故代入即得81. 910632250gRv) s(m102 .113這說明第二宇宙速度為 skm2 .11機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)例例5. 上的力 F 所作的功與經(jīng)過的時(shí)間 t 成正比 ( 比例系數(shù),00vs初始速度為初始位移為).(tss 律提示提示:,d0tksFss由題設(shè)兩邊對 s 求導(dǎo)得:stkFdd牛頓第二定律stkt

8、smdddd22mktsts22ddddtdd2ddtsmk2 2ddts12 Ctmk為 k), 開方如何定開方如何定 + ?已知一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng), 作用在質(zhì)點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 一鏈條掛在一釘子上 , 啟動(dòng)時(shí)一端離釘子 8 m ,另一端離釘子 12 m , 如不計(jì)釘子對鏈條所產(chǎn)生的摩擦 力, 求鏈條滑下來所需的時(shí)間 .解解: 建立坐標(biāo)系如圖. 設(shè)在時(shí)刻 t , 鏈條較長一段xox下垂 x m , 又設(shè)鏈條線密度為常數(shù),此時(shí)鏈條受力Fgxgx)20(gx)10(2由牛頓第二定律, 得22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttxgxgtx10

9、dd22機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 101 . 021 . 01tgtgeCeCx由初始條件得, 121 CC故定解問題的解為解得24)10(1021 . 0 xxetg), 1(舍去另一根左端當(dāng) x = 20 m 時(shí),(s)625ln(10gt微分方程通解: 101 . 01 . 0tgtgeex思考思考: 若摩擦力為鏈條 1 m 長的重量 , 定解問題的數(shù)學(xué)模型是什么 ?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 摩擦力為鏈條 1 m 長的重量 時(shí)的數(shù)學(xué)模型為xox不考慮摩擦力時(shí)的數(shù)學(xué)模型為g1(s)322419ln10gt22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttx22dd2

10、0txgx)10(2,120tx0dd0ttx此時(shí)鏈條滑下來所需時(shí)間為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yoy練習(xí)題練習(xí)題從船上向海中沉放某種探測儀器, 按探測要求, 需確定儀器的下沉深度 y 與下沉速度 v 之間的函數(shù)關(guān)系. 設(shè)儀器在重力作用下從海平面由靜止開始下沉, 在下沉過程中還受到阻力和浮力作用, 設(shè)儀器質(zhì)量為 m,體積為B , 海水比重為 ,儀器所受阻力與下沉速度成正 比 , 比例系數(shù)為 k ( k 0 ) , 試建立 y 與 v 所滿足的微分方程, 并求出函數(shù)關(guān)系式 y = y (v) . ( 95考研考研 )提示提示: 建立坐標(biāo)系如圖.質(zhì)量 m體積 B由牛頓第二定律B22ddt

11、ymvk重力重力浮力浮力 阻力阻力mgtvtydddd22tyyvddddyvvdd注意: 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 BgmvkBgmkBgmmvkmyln)(2vkBgmyvvmdd初始條件為00yv用分離變量法解上述初值問題得yoy質(zhì)量 m體積 B得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題 )()(xfyxy 有特,1xy 解而對應(yīng)齊次方程有解,2xy 及求)(, )(xfx微分方程的通解 . 解解:, 0)(2 yxyxy代入將xx1)(得代入再將xy1)(1xfyxy 33)(xxf得故所給二階非齊次方程為331xyxy ),(xpy 令方程化為331xpxp1. 設(shè)

12、二階非齊次方程一階線性非齊次方程機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 331xpxp故py xxed1xCx121再積分得通解2211CxCxy)(1211CC1d13d3Cxexxx)()(xfyxpyCxexfeyxxpxxpd)(d)(d)(復(fù)習(xí): 一階線性微分方程通解公式 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. ! )3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn(1) 驗(yàn)證函數(shù))(x滿足微分方程;xeyyy (2) 利用(1)的結(jié)果求冪級數(shù)! )3(30nxnn的和.解解: (1)! )3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn! ) 13(!8!5!2)(13852nxxxxxyn ! )23(!7!4)(2374nxxxxxyn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (02考研考研)!0nxnn所以 yyyxe(2) 由(1)的結(jié)果可知所給級數(shù)的和函數(shù)滿足xeyyy , 1)0(y0)0( y其特征方程:,012 r