（存）對(duì)數(shù)列單調(diào)完備性定理的修正(2012年第7期)

1、適合欄目：專論薈萃或教學(xué)參考、Email：wwhb.618對(duì)數(shù)列單調(diào)完備性定理的修正賀斌(湖北省谷城縣第三中學(xué)，441700)對(duì)于數(shù)列的單調(diào)性，文1有如下的完備性定理：“定理 設(shè)數(shù)列（其中為實(shí)數(shù)），則 （1）該數(shù)列是上的嚴(yán)格遞增數(shù)列的充要條件是；（2）該數(shù)列是上的嚴(yán)格遞減數(shù)列的充要條件是”由于文1在推證上述結(jié)論時(shí)，忽視了數(shù)列單調(diào)性與函數(shù)單調(diào)性的差異，從而導(dǎo)致上述結(jié)論錯(cuò)誤現(xiàn)修正如下：定理 設(shè)數(shù)列（其中為實(shí)數(shù)），則 （1）該數(shù)列是上的嚴(yán)格遞增數(shù)列的充要條件是；（2）該數(shù)列是上的嚴(yán)格遞減數(shù)列的充要條件是證明我們?nèi)圆捎梦?的記號(hào)，即記,， ，則，并且為減函數(shù)（文1引理2）另記，則（1）為嚴(yán)格遞增數(shù)列同

2、理可證結(jié)論（2）成立注 由本文定理知，當(dāng)時(shí)，數(shù)列不單調(diào),其區(qū)間長(zhǎng)度為0.0905參考文獻(xiàn)：1 陳孝鳳，李建潮對(duì)數(shù)列的單調(diào)性的再思考J數(shù)學(xué)通訊（下半月），2012(3) （收稿日期：2012-04-23） 2012-05-04“待審中” 2012-06-22“已錄用2012-07”對(duì)數(shù)列的單調(diào)完備性定理的修正（刊出稿）李劍峰 賀斌（安徽省肥東一中，231600） (湖北省谷城縣第三中學(xué)，441700)文1給出數(shù)列與的單調(diào)性的新證，并結(jié)合2008年湖南理科壓軸題作如下探究：研究數(shù)列（其中為實(shí)數(shù)）的單調(diào)性，得出如下的完備性定理：定理 設(shè)數(shù)列，則 （1）該數(shù)列是上的嚴(yán)格遞增數(shù)列的充要條件是；（2）該數(shù)

3、列是上的嚴(yán)格遞減數(shù)列的充要條件是其中結(jié)論（2）是正確的，結(jié)論（1）是錯(cuò)誤的，原因在于（1）只注意到了數(shù)列與函數(shù)的單調(diào)性之間的聯(lián)系，卻沒(méi)有注意到它們的區(qū)別，下面給出（1）的正確結(jié)論。=，記，并令，這樣將研究數(shù)列遞增性轉(zhuǎn)化為研究該函數(shù)遞減性問(wèn)題，。令，即，設(shè)，則在上是減函數(shù)（文1已證）。下面證明：數(shù)列是上的嚴(yán)格遞增數(shù)列的充要條件是。（i）必要性：若數(shù)列是上的嚴(yán)格遞增數(shù)列，記，則有，即，（）；（ii）充分性：若，因此時(shí)有，故現(xiàn)在只需驗(yàn)證成立。事實(shí)上，由，只需驗(yàn)證對(duì)成立即可，因?yàn)椋谏线f減，所以對(duì)成立。綜上可知，數(shù)列是上的嚴(yán)格遞增數(shù)列的充要條件是。文1 結(jié)論（1）中的，其中是在上的最小值，然而文1作

4、者忽視了函數(shù)與數(shù)列單調(diào)性的區(qū)別：函數(shù)自變量的連續(xù)與數(shù)列自變量的離散，函數(shù)在上是減函數(shù)與數(shù)列是上的嚴(yán)格遞增數(shù)列并非等價(jià)。事實(shí)上，“函數(shù)在上是減函數(shù)數(shù)列是上的嚴(yán)格遞增數(shù)列，但反之不真”。順帶指出，結(jié)論（2）是正確的，在上文中我們記，其中在上取值是均勻的，而對(duì)應(yīng)的并非在上均勻取值，的取值越大，對(duì)應(yīng)的在0附近的取值就越密集，因此可知結(jié)論（2）是正確的，嚴(yán)格證明留給有興趣的讀者完成。注 以上討論還告訴我們，當(dāng)時(shí)，數(shù)列不單調(diào),其區(qū)間長(zhǎng)度為0.0905參考文獻(xiàn)：1 陳孝鳳，李建潮對(duì)數(shù)列的單調(diào)性的再思考J數(shù)學(xué)通訊（下半月），2012(3) 教師刊湖北姓名為賀斌投稿文章處理情況列表1206376對(duì)數(shù)列 非單調(diào)情

5、形的研究待審中1204321對(duì)數(shù)列 單調(diào)完備性定理的修正已錄用:2012-71204091涉及定角和角內(nèi)定點(diǎn)的一個(gè)結(jié)論的修正二審不用1201112涉及定角和角內(nèi)定點(diǎn)的兩個(gè)結(jié)論的推廣二審不用1112128一道陳省身杯數(shù)學(xué)賽題的推廣二審不用1112124糾正一個(gè)情理之中的錯(cuò)誤發(fā)現(xiàn)一個(gè)意料之外的結(jié)論二審不用1107257對(duì)有關(guān)三角形及四邊形內(nèi)角的正弦性質(zhì)之簡(jiǎn)證二審不用1004193一類函數(shù)個(gè)數(shù)問(wèn)題的解決已錄用:2010-81004112對(duì)2009年高考浙江卷理科15題的思考一審不用0812179點(diǎn)頂距已知時(shí)矩形周長(zhǎng)最大值問(wèn)題的解決已錄用:2009-60804271有關(guān)三次函數(shù)圖像與正方形關(guān)系的兩個(gè)結(jié)

6、論已錄用:2008-8 教師刊安徽姓名為李劍峰投稿文章處理情況列表1203118二次型在不等式中的應(yīng)用二審不用1202114一道2010瑞士奧數(shù)題的簡(jiǎn)證與推廣一審不用1111109對(duì)一道IMO數(shù)論問(wèn)題再思考的補(bǔ)充與完善二審不用1110352一個(gè)尋求人工證明的不等式之解決一審不用1105036從視角最大到光時(shí)最短二審不用1105035爭(zhēng)鳴問(wèn)題201一審不用1104121一類多元代數(shù)式取值范圍再探一審不用1103261對(duì)數(shù)學(xué)通報(bào)1624號(hào)問(wèn)題的兩個(gè)別證及再推廣的一點(diǎn)補(bǔ)充二審不用1103245一道美國(guó)數(shù)學(xué)月刊題的簡(jiǎn)解二審不用1101262一個(gè)優(yōu)美猜想的證明一審不用1101103一道不等式猜想的證明一審不用1101068一個(gè)不等式的聯(lián)想一審不用1101057一道IMO50預(yù)選題的推廣一審不用1011290也談一道聯(lián)賽題一審不用1010086從探求一道試題到不等式的加強(qiáng)一審不用1010070任意性