2021屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考第二輪專題復(fù)習(xí)第14講圓錐曲線的方程與性質(zhì)學(xué)案理含解析

1、第14講圓錐曲線的方程與性質(zhì)高考年份全國卷全國卷全國卷2020拋物線的定義t4雙曲線的離心率t15雙曲線的性質(zhì)t8拋物線的性質(zhì)t5雙曲線的性質(zhì)及定義t112019橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)t10雙曲線的漸近線與離心率t16拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)t8雙曲線的離心率t11雙曲線的性質(zhì)及定義t10橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)t152018直線與拋物線的位置關(guān)系、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算t8雙曲線的性質(zhì)及定義t11雙曲線的漸近線t5直線與橢圓的位置關(guān)系t12雙曲線的離心率t11直線與拋物線的位置關(guān)系t161.2020全國卷已知a為拋物線c:y2=2px(p0)上一點(diǎn),點(diǎn)a到c的焦點(diǎn)的距離為12,到y(tǒng)軸的距離為9,則p=(

2、)a.2b.3c.6d.92.2020浙江卷已知點(diǎn)o(0,0),a(-2,0),b(2,0).設(shè)點(diǎn)p滿足|pa|-|pb|=2,且p為函數(shù)y=34-x2圖像上的點(diǎn),則|op|=()a.222b.4105c.7d.103.2020全國新高考卷(多選題)已知曲線c:mx2+ny2=1.()a.若mn0,則c是橢圓,其焦點(diǎn)在y軸上b.若m=n0,則c是圓,其半徑為nc.若mn0,則c是兩條直線4.2020全國卷設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn),直線x=2與拋物線c:y2=2px(p0)交于d,e兩點(diǎn),若odoe,則c的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()a.14,0b.12,0c.(1,0)d.(2,0)5.2020全國卷設(shè)雙曲線c:x2

3、a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1,f2,離心率為5.p是c上一點(diǎn),且f1pf2p.若pf1f2的面積為4,則a=()a.1b.2c.4d.86.2019全國卷已知橢圓c的焦點(diǎn)為f1(-1,0),f2(1,0),過f2的直線與c交于a,b兩點(diǎn).若|af2|=2|f2b|,|ab|=|bf1|,則c的方程為()a.x22+y2=1b.x23+y22=1c.x24+y23=1d.x25+y24=17.2019全國卷設(shè)f為雙曲線c:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦點(diǎn),o為坐標(biāo)原點(diǎn),以of為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于p,q兩點(diǎn).若|pq|=|of|,則c的離心率為(

4、)a.2b.3c.2d.58.2018全國卷已知f1,f2是橢圓c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點(diǎn),a是c的左頂點(diǎn),點(diǎn)p在過a且斜率為36的直線上,pf1f2為等腰三角形,f1f2p=120,則c的離心率為()a.23b.12c.13d.149.2020全國卷已知f為雙曲線c:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦點(diǎn),a為c的右頂點(diǎn),b為c上的點(diǎn),且bf垂直于x軸.若ab的斜率為3,則c的離心率為.圓錐曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)1(1)若拋物線y2=2px(p0)上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離恒大于1,則p的取值范圍是()a.p1c.p2(2)以橢圓y29+x24=1的長軸端點(diǎn)作為短軸端點(diǎn),且過

5、點(diǎn)(-4,1)的橢圓的焦距是()a.16b.12c.8d.6【規(guī)律提煉】圓錐曲線的性質(zhì)較多,如橢圓上兩點(diǎn)間的最大距離是2a(長軸長)、雙曲線上兩點(diǎn)間的最小距離為2a(實(shí)軸長)、橢圓的焦半徑的取值范圍是a-c,a+c等.還有一些二級(jí)結(jié)論也應(yīng)該記憶,如:雙曲線上的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是b.測(cè)題1.如圖m5-14-1,圓柱的軸截面abcd是邊長為2的正方形,過ac且與截面abcd垂直的平面截該圓柱表面,所得曲線為一個(gè)橢圓,則該橢圓的焦距為()圖m5-14-1a.1b.2c.2d.222.2020天津卷設(shè)雙曲線c的方程為x2a2-y2b2=1(a0,b0),過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)和點(diǎn)(0,b)的直線為l

6、.若c的一條漸近線與l平行,另一條漸近線與l垂直,則雙曲線c的方程為()a.x24-y24=1b.x2-y24=1c.x24-y2=1d.x2-y2=13.已知曲線c由拋物線y2=2x與拋物線y2=-2x組成,a(1,2),b(-1,2),m,n是曲線c上關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)(a,b,m,n四點(diǎn)不共線,且點(diǎn)m在第一象限),則四邊形abnm周長的最小值為()a.2+17b.1+17c.3d.4圓錐曲線的定義的應(yīng)用2(1)設(shè)雙曲線c:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦點(diǎn)為f,點(diǎn)q(0,b).已知點(diǎn)p在雙曲線c的左支上,且p,q,f三點(diǎn)不共線,若pqf的周長的最小值是8a,則雙曲線c的離心率是

7、()a.3b.3c.5d.5(2)已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為f,點(diǎn)p是拋物線在第一象限上的一個(gè)點(diǎn),線段pf的垂直平分線l與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)q,且qp|qp|qf|qf|=12,則直線l在x軸上的截距為()a.533b.74c.72d.5【規(guī)律提煉】利用橢圓、雙曲線的定義解題時(shí),要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件,如在雙曲線的定義中,有兩點(diǎn)是缺一不可的:一是絕對(duì)值,二是2a1)交于p,q兩點(diǎn),點(diǎn)f,a分別是橢圓c的右焦點(diǎn)和右頂點(diǎn),若|fp|+|fq|+|fa|=52a,則a=()a.4b.2c.43d.2332.2020北京卷設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為o,焦點(diǎn)為f,準(zhǔn)線為l,p是拋物線上異于o的一點(diǎn)

8、,過p作pql于q,則線段fq的垂直平分線()a.經(jīng)過點(diǎn)ob.經(jīng)過點(diǎn)pc.平行于直線opd.垂直于直線op3.已知橢圓c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1,f2,過f1的直線交橢圓c于a,b兩點(diǎn),若abf2=90,且abf2的三邊長|bf2|,|ab|,|af2|成等差數(shù)列,則c的離心率為()a.12b.33c.22d.324.已知雙曲線x2-y22=1的左、右焦點(diǎn)分別為f1,f2,若雙曲線的右支上存在一點(diǎn)m,使得直線mf1與圓o:x2+y2=1相切,則f1mf2的面積為()a.22b.22+2c.22+4d.42+4離心率問題3(1)已知雙曲線c:x2a2-y2b2=1

9、(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1,f2,圓o:x2+y2-a2-b2=0與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為p,若|pf1|=3|pf2|,則雙曲線c的離心率為()a.2b.3+12c.2d.3+1(2)已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1(-c,0),f2(c,0)(c0),直線l1:y=x-c交橢圓于c,d兩點(diǎn)(c在第一象限),直線l2:y=x+c交橢圓于a,b兩點(diǎn)(b在第二象限),若四邊形abcd的面積為2b2,則橢圓的離心率為.【規(guī)律提煉】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題,其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a,b,c的方程或不等式,再根據(jù)a,b,c的關(guān)系消掉b得到a,c的關(guān)系

10、式,而建立關(guān)于離心率的方程或不等式要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.測(cè)題1.我國現(xiàn)代著名數(shù)學(xué)家徐利治教授曾指出,圓的對(duì)稱性是數(shù)學(xué)美的一種體現(xiàn).已知圓c:(x-2)2+(y-1)2=2,直線l:a2x+b2y-1=0,若圓c上任一點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓c上,則點(diǎn)(a,b)必在()a.離心率為12的橢圓上b.離心率為2的雙曲線上c.離心率為22的橢圓上d.離心率為2的雙曲線上2.已知雙曲線c:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的兩條漸近線與直線x=-1所圍成的三角形的面積為4,則雙曲線c的離心率為()a.15b.172c.17d.1523.已知雙曲線c:x2a2-y2b2=

11、1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1,f2,拋物線e:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)與雙曲線c的右焦點(diǎn)f2重合,點(diǎn)p為c與e的一個(gè)交點(diǎn),且直線pf1的傾斜角為45,則雙曲線c的離心率為()a.5+12b.2+1c.3d.3+524.已知橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦點(diǎn)是f1,左頂點(diǎn)為a,直線y=kx(k0)交橢圓于p,q兩點(diǎn)(p在第一象限),直線pf1與直線aq交于點(diǎn)d,且點(diǎn)d為線段aq的中點(diǎn),則橢圓的離心率為()a.32b.22c.12d.13焦點(diǎn)三角形問題4(1)古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓c的中心為原點(diǎn),焦

12、點(diǎn)f1,f2均在x軸上,c的面積為23,過點(diǎn)f1的直線交c于a,b兩點(diǎn),且abf2的周長為8,則橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為()a.x24+y2=1b.x23+y24=1c.x24+y23=1d.x216+4y23=1(2)設(shè)f2是雙曲線c:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦點(diǎn),o為坐標(biāo)原點(diǎn),過f2的直線交雙曲線的右支于p,n兩點(diǎn),直線po交雙曲線c的左支于點(diǎn)m,若|mf2|=3|pf2|,且mf2n=60,則雙曲線c的漸近線的斜率為()a.277b.233c.72d.32【規(guī)律提煉】焦點(diǎn)三角形作為橢圓、雙曲線中的一個(gè)特殊圖形,其主要的解題策略為:一,利用兩種曲線的定義;二,充分運(yùn)用好正弦定理與

13、余弦定理.如在焦點(diǎn)三角形pf1f2中:對(duì)于橢圓,有|f1f2|2=|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|pf2|cosf1pf2=(|pf1|+|pf2|)2-2|pf1|pf2|(1+cosf1pf2)=4a2-2|pf1|pf2|(1+cosf1pf2),即2b2=|pf1|pf2|(1+cosf1pf2);對(duì)于雙曲線,有|f1f2|2=|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|pf2|cosf1pf2=(|pf1|-|pf2|)2+2|pf1|pf2|(1-cosf1pf2)=4a2+2|pf1|pf2|(1-cosf1pf2),即2b2=|pf1|pf2|(1-cosf1pf2).測(cè)題

14、1.已知中心在原點(diǎn)的橢圓和雙曲線有共同的左、右焦點(diǎn)f1,f2,兩曲線在第一象限的交點(diǎn)為p,pf1f2是以pf1為底邊的等腰三角形,若|pf1|=8,橢圓和雙曲線的離心率分別為e1,e2,則2e1+1e2的取值范圍是()a.(4,+)b.(4,7)c.(2,4)d.(22,4)2.過橢圓x225+y216=1的中心o任作一條直線交橢圓于p,q兩點(diǎn),f是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),則pfq的周長的最小值為()a.12b.14c.16d.183.橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1,f2,若橢圓上存在點(diǎn)m滿足f1mf2=60,且mf1mf2=2,則b=()a.1b.2c.3d.24.已知點(diǎn)

15、p是雙曲線x28-y24=1上一點(diǎn),f1,f2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),若f1pf2的外接圓半徑為4,且f1pf2為銳角,則|pf1|pf2|=()a.15b.16c.18d.20與弦相關(guān)的問題5(1)已知雙曲線x2-y22=1的漸近線與拋物線m:y2=2px(p0)交于點(diǎn)a(2,a),直線ab過拋物線m的焦點(diǎn),交拋物線m于另一點(diǎn)b,則|ab|等于()a.72b.4c.92d.5(2)已知f是拋物線y2=x的焦點(diǎn),點(diǎn)a,b在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),oaob=2(其中o為坐標(biāo)原點(diǎn)),則abo與afo面積之和的最小值是()a.2b.3c.1728d.10【規(guī)律提煉】求解直線與圓錐曲線的相交弦問

16、題時(shí),常用“設(shè)而不求”的策略,利用弦長公式求解的常用方法有:求出兩交點(diǎn)坐標(biāo),用兩點(diǎn)間的距離公式求解;運(yùn)用弦長公式|ab|=1+k2|x1-x2|或|ab|=1+1k2|y1-y2|,有時(shí)套用“強(qiáng)算公式”.測(cè)題1.已知斜率為k(k0)的直線l過拋物線c:y2=6x的焦點(diǎn)f且與拋物線c交于a,b兩點(diǎn),過a,b作x軸的垂線,垂足分別為a1,b1,若sabb1saba1=2,則k的值為()a.1b.3c.5d.222.如圖m5-14-2,已知f1,f2分別是橢圓c:x264+y232=1的左、右焦點(diǎn),過f1的直線l1與過f2的直線l2交于點(diǎn)n,線段f1n的中點(diǎn)為m,線段f1n的垂直平分線mp與l2的交

17、點(diǎn)p在橢圓上,若o為坐標(biāo)原點(diǎn),則|om|of2|的取值范圍為()圖m5-14-2a.0,22b.0,12c.(0,2)d.(0,1)圓錐曲線與圓、直線的綜合問題6(1)已知f1,f2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),p是它們的一個(gè)公共點(diǎn),且f1pf2=3,記橢圓和雙曲線的離心率分別為e1,e2,則1e12+3e22的值為()a.1b.2512c.4d.16(2)2020全國卷設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn),直線x=a與雙曲線c:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的兩條漸近線分別交于d,e兩點(diǎn).若ode的面積為8,則c的焦距的最小值為()a.4b.8c.16d.32(3)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知拋物線c:y2=

18、4x和點(diǎn)d(2,0),直線x=ty-2與拋物線c交于不同的兩點(diǎn)a,b,直線bd與拋物線c交于另一點(diǎn)e.給出以下說法:以be為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相離;直線ob與直線oe的斜率之積為-2;設(shè)過點(diǎn)a,b,e的圓的圓心坐標(biāo)為(a,b),半徑為r,則a2-r2=4.其中所有正確說法的序號(hào)是()a.b.c.d.【規(guī)律提煉】圓錐曲線的綜合問題一般以直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為載體,參數(shù)處理為核心,經(jīng)常運(yùn)用函數(shù)與方程、不等式、平面向量等知識(shí)求解,主要體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、特殊與一般等思想方法,突出考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).測(cè)題1.已知雙曲線c:x24-y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為f1,f2,射線x=5(y0)

19、與雙曲線c的漸近線交于點(diǎn)p,與雙曲線c交于點(diǎn)q,則f1pq的面積為()a.5+52b.5-52c.5+5d.5-52.已知雙曲線x2a2-y2=1(a0)的離心率為233,拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)f重合,其準(zhǔn)線與雙曲線交于點(diǎn)m(ym0),n,若mf=2fq,點(diǎn)r在x軸上,則當(dāng)|rn|-|rq|取得最大值時(shí),點(diǎn)r的坐標(biāo)為()a.(6,0)b.(8,0)c.(9,0)d.(10,0)3.如圖m5-14-3,已知四面體abcd的所有棱長都為22,m,n分別為ab,cd的中點(diǎn),直線mn垂直于水平地面,將該四面體繞著直線mn旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體如圖所示,若圖所示的幾何體的正視圖中

20、的曲線部分恰為雙曲線e:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一部分,則雙曲線e的方程為.圖m5-14-3第14講圓錐曲線的方程與性質(zhì)真知真題掃描1.c解析設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為f,過點(diǎn)a作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為b,則|af|=|ab|=12,點(diǎn)a到y(tǒng)軸的距離為9,p2=3,p=6,故選c.2.d解析方法一:由|pa|-|pb|=2,知點(diǎn)p在雙曲線的右支上,設(shè)雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1(a0,b0),則a=1,c=2,所以b2=3,所以雙曲線的方程為x2-y23=1.設(shè)p(x,y),把y=34-x2代入雙曲線的方程,得x2=134,y2=274,所以|op|=x2+y2=10.故選d.方

21、法二:由p為函數(shù)y=34-x2圖像上的點(diǎn),可設(shè)p(2cos,6sin),其中0,.由題易得p是雙曲線x2-y23=1右支上的一點(diǎn),將(2cos,6sin)代入雙曲線方程,可得4cos2-12sin2=1,即sin2=316,所以|op|=4cos2+36sin2=4+32sin2=10.故選d.3.acd解析a選項(xiàng)中,將曲線c的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程x21m+y21n=1,mn0,1m1n,c為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,a選項(xiàng)正確;b選項(xiàng)中,圓的半徑應(yīng)為nn,b選項(xiàng)不正確;c選項(xiàng)中,當(dāng)mn0,則y=1n,c是平行于x軸的兩條直線,d選項(xiàng)正確.故選acd.4.b解析由x=2,得y=2p,由odoe,得2p2

22、-2p2=-p=-1,解得p=1,所以拋物線的方程為y2=2x,則焦點(diǎn)坐標(biāo)為12,0.5.a解析由條件可得|pf1|-|pf2|=2a,因?yàn)閒1pf2p,所以|pf1|2+|pf2|2=4c2,故(|pf1|-|pf2|)2+2|pf1|pf2|=4a2+2|pf1|pf2|=4c2,得|pf1|pf2|=2b2,故spf1f2=12|pf1|pf2|=b2=4,故b=2,所以e=ca=c2a2=a2+b2a2=a2+4a2=5,得a=1.6.b解析由題意知|bf1|=|ab|=|af2|+|f2b|=2|f2b|+|f2b|=3|f2b|,又由橢圓定義得|bf1|+|bf2|=2a,所以|b

23、f2|=a2,|bf1|=32a,|af2|=|af1|=a,而|f1f2|=2c=2,則在af1f2中,由余弦定理得cosf1af2=a2+a2-222aa,在abf1中,由余弦定理得cosf1ab=a2+32a2-32a22a32a,解得a2=3,所以b2=3-1=2,所以橢圓c的方程為x23+y22=1.7.a解析由以of為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于p,q兩點(diǎn),得pq是以of為直徑的圓的一條弦,又|of|=|pq|,所以pq也為此圓的一條直徑,如圖所示,連接op.根據(jù)對(duì)稱性,可知pq垂直于x軸,所以pq與x軸的交點(diǎn)h即為圓心,所以|oh|=|ph|=c2,|op|=2|oh|,即a

24、=2c2,所以離心率e=ca=2.8.d解析由題意知a(-a,0),過a且斜率為36的直線方程為y=36(x+a),設(shè)p(x0,y0),則有y0=36(x0+a).又pf1f2為等腰三角形,且f1f2p=120,所以kpf1=y0x0+c=tan30=33,kpf2=y0x0-c=tan60=3.聯(lián)立,消去x0,y0,得ca=14,即c的離心率為14.9.2解析由題知,a(a,0),f(c,0),因?yàn)閎fx軸,所以bc,b2a,又ab的斜率為3,所以kab=b2ac-a=b2a(c-a)=3,所以c+aa=e+1=3,解得e=2.考點(diǎn)考法探究小題1例1(1)d(2)d解析(1)設(shè)p為拋物線上的

25、任意一點(diǎn),則p到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線:x=-p2的距離,顯然當(dāng)p為拋物線的頂點(diǎn)時(shí),p到準(zhǔn)線的距離取得最小值p2,p21,即p2.故選d.(2)設(shè)所求橢圓的方程為x2a2+y29=1(a3),將點(diǎn)(-4,1)的坐標(biāo)代入,解得a2=18,則c2=a2-b2=18-9=9,即c=3,故所求橢圓的焦距為2c=6,故選d.【自測(cè)題】1.c解析由圖可知,該橢圓的長軸長2a=|ac|=22,短軸長即為圓柱底面圓的直徑,即2b=2,所以a=2,b=1,則c=2-1=1,所以該橢圓的焦距為2c=2,故選c.2.d解析由題可知,拋物線的焦點(diǎn)為(1,0),所以直線l的方程為x+yb=1,即直線l的斜率為-b.又雙

26、曲線的漸近線方程為y=bax,因?yàn)閍0,b0,所以-b=-ba,-bba=-1,所以a=1,b=1.故選d.3.b解析設(shè)拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為f,易知f12,0,則四邊形abnm的周長l=|ab|+2|am|+2xm=2+2|am|+2|mf|-11+2|af|=1+17,當(dāng)a,m,f三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào),故選b.小題2例2(1)d(2)d解析(1)設(shè)f為雙曲線c的左焦點(diǎn),連接pf,qf,則|qf|=|qf|,|pf|=|pf|+2a,所以pqf的周長l=|pq|+|pf|+|qf|=|pq|+|pf|+|qf|+2a.因?yàn)閨pq|+|pf|qf|=c2+b2,當(dāng)q,p,f三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào),所以

27、pqf的周長的最小值為2c2+b2+2a.因?yàn)閜qf的周長的最小值是8a,所以2c2+b2+2a=8a,所以c2=5a2,所以雙曲線c的離心率e=ca=5.故選d.(2)由題可得|qp|=|qf|,因?yàn)閝p|qp|qf|qf|=|qp|qp|qf|qf|cos=12,所以cos=12,所以=60,故pqf是等邊三角形,所以|pq|=|pf|,即|pq|為p到準(zhǔn)線的距離.設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為a,由|af|=2,qfa=60,可得|qf|=4,所以|pq|=4,則xp+1=4,得xp=3,故p(3,23),又f(1,0),直線pf的傾斜角為60,所以l的方程為y-3=-33(x-2),令y=0,解

28、得x=5,所以直線l在x軸上的截距為5.故選d.【自測(cè)題】1.d解析設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為f,連接fp,fq,因?yàn)橹本€pq過原點(diǎn),所以坐標(biāo)原點(diǎn)o為pq的中點(diǎn),pq,ff互相平分,所以四邊形fpfq為平行四邊形,則|fq|=|pf|,故|fp|+|fq|+|fa|=|fp|+|pf|+|fa|=3a-c=52a,得c=a2,由b2=a2-c2=34a2=1,得a=233.故選d.2.b解析根據(jù)拋物線的定義,得|pf|=|pq|,所以線段fq的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)p.故選b.3.c解析由|bf2|,|ab|,|af2|成等差數(shù)列,可設(shè)|bf2|=x,|ab|=x+d,|af2|=x+2d.由于abf2=90

29、,所以|bf2|2+|ab|2=|af2|2,即x2+(x+d)2=(x+2d)2,化簡(jiǎn)得x=3d.由橢圓的定義知x+x+d+x+2d=3x+3d=12d=4a,得a=3d,所以x=a,所以|bf2|=a=|bf1|,在rtbf2f1中,由|bf1|2+|bf2|2=|f1f2|2,得2a2=4c2,c的離心率e=22.故選c.4.b解析過o作直線mf1的垂線,垂足為a,過f2作直線mf1的垂線,垂足為b,則|f2b|=2|oa|=2,|f1b|=2|f1a|=22.設(shè)f1mf2=,則|mf2|=2sin,|bm|=2tan,根據(jù)雙曲線的定義可知,22+2tan-2sin=2,1-cossin

30、=2-1,tan2=2-1,tan=2tan21-tan22=1.(0,),=4,sf1mf2=12(22+2)2222=22+2.故選b.小題3例3(1)d(2)2-2解析(1)設(shè)|pf2|=x,則|pf1|=3x,焦距為2c,由x2+y2-a2-b2=0得x2+y2=c2,所以f1pf2=90,即pf1f2為直角三角形.由x2+3x2=4c2,解得x=c,又2a=|pf1|-|pf2|=3c-c,所以雙曲線c的離心率e=2c(3-1)c=3+1.故選d.(2)設(shè)橢圓的離心率為e(0e0,b0)的漸近線方程為y=bax,將x=-1代入y=bax,得y=ba,故122ba1=4,得ba=4,故

31、雙曲線c的離心率e=ca=1+b2a2=17.故選c.3.b解析易知f2(c,0)(c0),則拋物線e的準(zhǔn)線l的方程為x=-c,過p作pml,垂足為m,則|pm|=|pf2|,pmf1f2,pf1f2=45,mpf1=45,|mp|=|mf1|,|mf1|=|pf2|,得pf2f1f2,|pf2|=|f1f2|=2c,|pf1|=22c,又點(diǎn)p在雙曲線上,|pf1|-|pf2|=2a=2(2-1)c,得雙曲線c的離心率e=ca=12-1=2+1.故選b.4.d解析設(shè)橢圓的半焦距為c,由題意知a(-a,0),f1(-c,0),設(shè)點(diǎn)p(x,y)(x0,y0),由題意可知,點(diǎn)p,q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則q

32、(-x,-y).因?yàn)榫€段aq的中點(diǎn)為d,所以d-x-a2,-y2.因?yàn)辄c(diǎn)d在直線pf1上,所以kpf1=kf1d,即yx+c=y2x+a2-c,即yx+c=yx+a-2c,整理得a=3c,因此,橢圓的離心率e=ca=13.故選d.小題4例4(1)c(2)d解析(1)根據(jù)題意可設(shè)橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1(ab0).因?yàn)閍bf2的周長為8,所以|ab|+|af2|+|bf2|=8|af1|+|bf1|+|af2|+|bf2|=8(|af1|+|af2|)+(|bf1|+|bf2|)=8,由橢圓的定義可知,|af1|+|af2|=2a,|bf1|+|bf2|=2a,所以2a+2a=8

33、a=2.由題意可得ab=23,解得b=3,所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1.故選c.(2)設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為f1,連接f1m,f1p,由雙曲線的對(duì)稱性可知四邊形mf2pf1為平行四邊形,所以|mf1|=|pf2|,mf1pn.設(shè)|pf2|=m,則|mf2|=3m,|mf1|=m,因?yàn)?a=|mf2|-|mf1|=2m,所以a=m,即|mf1|=a,|mf2|=3a.因?yàn)閙f2n=60,所以f1mf2=60,又|f1f2|=2c,所以在mf1f2中,由余弦定理可得4c2=a2+9a2-2a3acos60,即4c2=7a2,所以c2a2=74,b2a2=c2a2-1=34,所以雙曲線c的漸

34、近線的斜率為32.故選d.【自測(cè)題】1.b解析設(shè)橢圓的長半軸長為a1,雙曲線的實(shí)半軸長為a2,焦距為2c,則|pf2|=2c,由橢圓和雙曲線的定義可得8+2c=2a1,8-2c=2a2,解得a1=4+c,a2=4-c,由4-c0,得c|pf1|,即4c8,解得c2,所以2c4,所以2e1+1e2=2a1+a2c=8+2c+4-cc=12c+1(4,7),故選b.2.d解析記橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為f1,連接pf1,根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知,|qf|=|pf1|,|pq|=2|po|,設(shè)p(5cos,4sin),則|po|2=25cos2+16sin2=9cos2+1616,當(dāng)cos=0時(shí)取等號(hào),即|po

35、|4,|pq|=2|po|8,所以pqf的周長l=|qf|+|pf|+|pq|=|pf1|+|pf|+|pq|=10+|pq|10+8=18,故選d.3.c解析設(shè)|mf1|=m,|mf2|=n,則mncos60=2mn=4,又m+n=2a,所以|f1f2|2=m2+n2-2mncos60=4a2-12=4(a2-b2),得b2=3,故b=3.故選c.4.b解析依題意得a=22,b=2,則c=8+4=23.在f1pf2中,|f1f2|=2c=43,由正弦定理得|f1f2|sinf1pf2=24,即43sinf1pf2=8,則sinf1pf2=32,因?yàn)閒1pf2為銳角,所以f1pf2=3.根據(jù)雙

36、曲線的定義得|pf1|-|pf2|=2a=42.在f1pf2中,由余弦定理得|f1f2|2=|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|pf2|cos3,即48=|pf1|2+|pf2|2-|pf1|pf2|,即(|pf1|-|pf2|)2+|pf1|pf2|=48,即32+|pf1|pf2|=48,所以|pf1|pf2|=16.故選b.小題5例5(1)c(2)b解析(1)由題知雙曲線的漸近線方程為y=2x,不妨取y=2x,當(dāng)x=2時(shí),y=22,即a(2,22),將點(diǎn)a的坐標(biāo)代入拋物線的方程可得(22)2=4p,則p=2,所以拋物線m:y2=4x,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),得直線ab的方程為y=22

37、(x-1).由y=22(x-1),y2=4x,得2x2-5x+2=0,則xa+xb=52,所以|ab|=xa+xb+p=92,故選c.(2)根據(jù)題意得f14,0,設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),則x1=y12,x2=y22,因?yàn)閛aob=2,所以y12y22+y1y2=2,得y1y2=-2或y1y2=1,又a,b位于x軸的兩側(cè),所以y1y2=-2.設(shè)abo與afo的面積之和為s,則s=12|oa|ob|sinaob+1214|y1|=12|oa|2|ob|2-4+1214|y1|=2y1+y1+18|y1|=2y1+98y1=2y1+98y13(當(dāng)且僅當(dāng)|y1|=43時(shí)取等號(hào)),故選b.

38、【自測(cè)題】1.d解析sabb1saba1=12|ab|bb1|sinabb112|ab|aa1|sinbaa1=|bb1|aa1|=|bf|af|=2,設(shè)直線ab的傾斜角為,則|af|=31+cos,|bf|=31-cos,所以31-cos=61+cos,解得cos=13,則k=tan=22.故選d.2.d解析由題可知|pf1|=|pn|,|om|=12|f2n|.設(shè)點(diǎn)p(x0,y0)(0x08,0y0|pf2|,根據(jù)橢圓及雙曲線的定義知|pf1|+|pf2|=2a1,|pf1|-|pf2|=2a2,得|pf1|=a1+a2,|pf2|=a1-a2.因?yàn)閨f1f2|=2c,f1pf2=3,所以在pf1f2中,由余弦定理得4c2=(a1+a2)2