高中數(shù)學(xué)必備

1、決戰(zhàn)高考“獨木橋”，志愿填報最重要；提前著手早規(guī)劃，保證錄取上名校2010高考數(shù)學(xué)壓軸題1. (本小題滿分12分)已知常數(shù)a 0, n為正整數(shù)，f n ( x ) = x n ( x + a)n ( x 0 )是關(guān)于x的函數(shù).(1) 判定函數(shù)f n ( x )的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.(2) 對任意n a , 證明f n + 1 ( n + 1 ) 0 , x 0, fn ( x ) a0時, fn ( x ) = xn ( x + a)n是關(guān)于x的減函數(shù), 當(dāng)n a時, 有：(n + 1 )n ( n + 1 + a)n n n ( n + a)n. 2分又 f n + 1 (x ) = (

2、 n + 1 ) xn ( x+ a )n ,f n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) (n + 1 )n ( n + 1 + a )n n ,f n + 1 ( n + 1 ) | u v |，所以p( x)不滿足題設(shè)條件.（2）分三種情況討論：10. 若u ,v 1，0，則|g(u) g (v)| = |(1+u) (1 + v)|=|u v |，滿足題設(shè)條件；20. 若u ,v 0，1， 則|g(u) g(v)| = |(1 u) (1 v)|= |v u|，滿足題設(shè)條件；30. 若u1，0，v0，1，則： |g (u) g(v)|=|(1 u) (1 + v)| =

3、| u v| = |v + u | | v u| = | u v|，滿足題設(shè)條件;40 若u0，1，v1，0, 同理可證滿足題設(shè)條件.綜合上述得g(x)滿足條件.3. (本小題滿分14分)已知點p ( t , y )在函數(shù)f ( x ) = (x 1)的圖象上，且有t2 c2at + 4c2 = 0 ( c 0 ).(1) 求證：| ac | 4;(2) 求證：在(1，+）上f ( x )單調(diào)遞增.(3) (僅理科做)求證：f ( | a | ) + f ( | c | ) 1.證：(1) tr, t 1, = (c2a)2 16c2 = c4a2 16c2 0 ， c 0, c2a2 16

4、, | ac | 4. (2) 由 f ( x ) = 1 ,法1. 設(shè)1 x1 x2, 則f (x2) f ( x1) = 1 1 + = . 1 x1 x2, x1 x2 0, x2 + 1 0 ,f (x2) f ( x1) 0 , 即f (x2) 0 得x 1, x 1時，f ( x )單調(diào)遞增.（3）（僅理科做）f ( x )在x 1時單調(diào)遞增，| c | 0 , f (| c | ) f () = = f ( | a | ) + f ( | c | ) = + +=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) 1.4（本小題滿分15分）設(shè)定義在r上的函數(shù)（其中r，i=

5、0,1,2,3,4），當(dāng)x= 1時，f (x)取得極大值，并且函數(shù)y=f (x+1)的圖象關(guān)于點（1，0）對稱（1） 求f (x)的表達(dá)式；（2） 試在函數(shù)f (x)的圖象上求兩點，使這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標(biāo)都在區(qū)間上；（3） 若，求證：解：（1）5分 （2）或10分 （3）用導(dǎo)數(shù)求最值，可證得15分5（本小題滿分13分）設(shè)m是橢圓上的一點，p、q、t分別為m關(guān)于y軸、原點、x軸的對稱點，n為橢圓c上異于m的另一點，且mnmq，qn與pt的交點為e，當(dāng)m沿橢圓c運動時，求動點e的軌跡方程解：設(shè)點的坐標(biāo)則1分 3分 由（1）（2）可得6分 又mnmq，所以 直線qn的方程為，又

6、直線pt的方程為10分 從而得所以 代入（1）可得此即為所求的軌跡方程.13分6（本小題滿分12分）過拋物線上不同兩點a、b分別作拋物線的切線相交于p點，（1）求點p的軌跡方程；（2）已知點f（0，1），是否存在實數(shù)使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.解法（一）：（1）設(shè)由得：3分直線pa的方程是：即 同理，直線pb的方程是： 由得：點p的軌跡方程是6分（2）由（1）得： 10分所以故存在=1使得12分解法（二）：（1）直線pa、pb與拋物線相切，且直線pa、pb的斜率均存在且不為0，且設(shè)pa的直線方程是由得：即3分即直線pa的方程是：同理可得直線pb的方程是：由得：故點p的軌跡方程

7、是6分（2）由（1）得：10分故存在=1使得12分7（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)在上是增函數(shù).（1） 求正實數(shù)的取值范圍；（2） 設(shè)，求證：解：（1）對恒成立，對恒成立又 為所求.4分（2）取，一方面，由（1）知在上是增函數(shù)，即8分另一方面，設(shè)函數(shù)在上是增函數(shù)且在處連續(xù)，又當(dāng)時， 即綜上所述，14分8(本小題滿分12分)如圖，直角坐標(biāo)系中，一直角三角形，、在軸上且關(guān)于原點對稱，在邊上，的周長為12若一雙曲線以、為焦點，且經(jīng)過、兩點(1) 求雙曲線的方程；(2) 若一過點（為非零常數(shù)）的直線與雙曲線相交于不同于雙曲線頂點的兩點、，且，問在軸上是否存在定點，使？若存在，求出所有這樣定點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：(1) 設(shè)雙曲線的方程為，則由，得，即（3分）解之得，雙曲線的方程為（5分）(2) 設(shè)在軸上存在定點，使設(shè)直線的方程為，由，得即（6分），即（8分）把代入，得（9分）把代入并整理得其中且，即且 （10分）代入，得 ，化簡得 當(dāng)時，上式恒成立因此，在軸上存在定點，使（12分）9(本小題滿分14分)已知數(shù)列各項均不為0，其前項和為，且對任意都有（為大于1的常數(shù)），記(1) 求；(2) 試比較與的大?。ǎ?；(3) 求證：，（）解：(1) ，得，即（3分）在中令，可得是首項為，公比為的等比數(shù)列，（4分）(2) 由(1)可得，（5分）而，且，（）（8分）(3) 由(