隨機(jī)過(guò)程課程設(shè)計(jì)

1、課程名稱： 隨機(jī)過(guò)程 課程設(shè)計(jì)（論文）題 目: 應(yīng)用馬爾科夫鏈的平穩(wěn)分 布預(yù)測(cè)空調(diào)市場(chǎng)的占有率 學(xué) 院： 理學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級(jí)： 15-1 學(xué) 生 姓 名： 鄒光睿 學(xué) 生 學(xué) 號(hào)： 指 導(dǎo) 教 師： 蔡吉花 2017年12月20日目 錄任務(wù)書(shū). .I摘要1 馬爾科夫鏈遍歷性與平穩(wěn)分布基本原理.11.1 馬爾科夫鏈的概念.11.2 轉(zhuǎn)移概率的概念.11.3 滿足遍歷性的條件.21.4 平穩(wěn)分布的條件與算法.21.5 應(yīng)用馬爾科夫鏈研究市場(chǎng)占有率預(yù)測(cè)的必要前提.22 市場(chǎng)占有率問(wèn)題的分析.32.1 建立模型.32.2 提出問(wèn)題.42.3 分析問(wèn)題.43計(jì)算機(jī)結(jié)果及程序5結(jié)論1

2、0參考文獻(xiàn)10附錄11評(píng)閱書(shū)13 隨機(jī)過(guò)程 課程設(shè)計(jì)任務(wù)書(shū)姓名鄒光睿學(xué)號(hào)指導(dǎo)教師蔡吉花設(shè)計(jì)題目應(yīng)用馬爾科夫鏈的平穩(wěn)分布預(yù)測(cè)空調(diào)市場(chǎng)的占有率理論要點(diǎn)通過(guò)馬爾科夫鏈的無(wú)后效性和遍歷性以及馬爾科夫鏈的平穩(wěn)分布，對(duì)穩(wěn)定市場(chǎng)的同類競(jìng)爭(zhēng)產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和分析，對(duì)平穩(wěn)的市場(chǎng)的市場(chǎng)占有率進(jìn)行預(yù)測(cè)。設(shè)計(jì)目標(biāo)用實(shí)例求馬爾科夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，用數(shù)學(xué)軟件判別遍歷性，解方程求得平穩(wěn)分布。并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析。研究方法步驟1.對(duì)馬爾科夫鏈的遍歷性和平穩(wěn)分布進(jìn)行研究2.找到市場(chǎng)占有率的例子并分析3.對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和計(jì)算，預(yù)測(cè)未來(lái)的市場(chǎng)占有率判斷馬爾科夫的平穩(wěn)分布是否對(duì)市場(chǎng)占有率有一定的作用預(yù)期結(jié)果同類商品的市場(chǎng)占有率

3、符合馬爾科夫的平穩(wěn)分布，利用馬爾科夫的平穩(wěn)分布可以預(yù)測(cè)市場(chǎng)占有率計(jì)劃與進(jìn)步的安排1-2天：仔細(xì)閱讀設(shè)計(jì)要求，并查詢有關(guān)資料的文獻(xiàn)；3天：對(duì)找到的資料和數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和記錄；4-5天：建立模型，對(duì)有關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和分析，寫(xiě)設(shè)計(jì)論文；6天 ：對(duì)論文進(jìn)行修改和補(bǔ)充參考資料1蔡吉花.隨機(jī)過(guò)程M.東北林業(yè)大學(xué)出版社.2張善文,雷英杰,馮有前. MATLAB在分析中的應(yīng)用M.西安:西安電子科技大學(xué)出版社,2007,4:77-149.3田錚,秦超英.隨機(jī)過(guò)程與應(yīng)用M.北京科學(xué)出版社2007版社2007.4查秀芳.馬爾科夫鏈在市場(chǎng)預(yù)測(cè)中的作用J.江蘇大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版）.填寫(xiě)時(shí)間2017年12月 20日 摘

4、要通過(guò)對(duì)市場(chǎng)現(xiàn)象的大量觀察，人們發(fā)現(xiàn)：同類商品的市場(chǎng)占有率分布是一個(gè)隨時(shí)間不斷變化的隨機(jī)過(guò)程，并且當(dāng)期市場(chǎng)占有率只與前一期的市場(chǎng)占有率有關(guān)，而與再遠(yuǎn)期的市場(chǎng)占有率關(guān)聯(lián)甚微。市場(chǎng)占有率的這一特性與馬爾科夫性相吻合。它具有無(wú)后效性,即事物的將來(lái)呈什么狀態(tài)、取什么值,僅與它現(xiàn)在的狀態(tài)和取值有關(guān),與它以前的狀態(tài)和取值無(wú)關(guān)。在預(yù)測(cè)領(lǐng)域,人們用其對(duì)預(yù)測(cè)對(duì)象各個(gè)狀態(tài)的初始分布和各狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行研究,描述狀態(tài)的變化趨勢(shì),并由此來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)。基于此，本文將對(duì)馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)市場(chǎng)占有率模型進(jìn)行研究和分析，包括根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查結(jié)果求出初始市場(chǎng)占有率，根據(jù)銷(xiāo)售流量的統(tǒng)計(jì)算出一步轉(zhuǎn)移概率矩陣及n步轉(zhuǎn)移概率矩陣，判斷該馬氏

5、鏈?zhǔn)欠袷蔷哂斜闅v性，并求出其平穩(wěn)分布，從而預(yù)測(cè)同類商品不同品牌的市場(chǎng)占有率。關(guān)鍵詞：市場(chǎng)占有率，馬爾科夫鏈，轉(zhuǎn)移概率矩陣，平穩(wěn)分布第1章 馬爾科夫鏈遍歷性與平穩(wěn)分布基本原理1.1馬爾科夫鏈的概念1.馬爾可夫鏈，因安德烈馬爾可夫（A.Markov，18561922）得名，是指數(shù)學(xué)中具有馬爾可夫性質(zhì)的離散事件隨機(jī)過(guò)程。該過(guò)程中，在給定當(dāng)前知識(shí)或信息的情況下，過(guò)去（即當(dāng)前以前的歷史狀態(tài)）對(duì)于預(yù)測(cè)將來(lái)（即當(dāng)前以后的未來(lái)狀態(tài)）是無(wú)關(guān)的。 2. 馬爾可夫鏈（Markov Chain），描述了一種狀態(tài)序列，其每個(gè)狀態(tài)值取決于前面有限個(gè)狀態(tài)。馬爾可夫鏈?zhǔn)蔷哂旭R爾可夫性質(zhì)的隨機(jī)變量的一個(gè)數(shù)列。這些變量的范圍，即

6、它們所有可能取值的集合，被稱為“狀態(tài)空間”，而的值則是在時(shí)間n的狀態(tài)。如果對(duì)于過(guò)去狀態(tài)的條件概率分布僅是的一個(gè)函數(shù)，滿足：則稱為離散時(shí)間的馬爾科夫鏈。1.2轉(zhuǎn)移概率概念1.一步轉(zhuǎn)移概率：稱條件概率為馬爾科夫鏈在n時(shí)刻的一步轉(zhuǎn)移概率，其中i，jI，簡(jiǎn)稱轉(zhuǎn)移概率。2.一步轉(zhuǎn)移概率矩陣：設(shè)P表示一步轉(zhuǎn)移概率矩陣所組成的矩陣，且狀態(tài)空間I=1，2，則，稱為系統(tǒng)狀態(tài)的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，它具有性質(zhì)：（1）;（2）3.n步轉(zhuǎn)移概率：稱條件概率 為馬爾科夫鏈的n步轉(zhuǎn)移概率，并稱為馬爾科夫鏈的n步轉(zhuǎn)移概率矩陣，其中即也是一個(gè)隨即矩陣。n步轉(zhuǎn)移矩陣是一步轉(zhuǎn)移矩陣的n次冪，即。1.3滿足遍歷性的條件1.定義：有限馬

7、氏鏈，n=0,1,的狀態(tài)空間為I,若對(duì)一切i，j I,存在不依賴于i的極限，則稱馬爾科夫鏈具有遍歷性。2.馬爾科夫鏈遍歷性的充分條件：（1）有馬氏鏈，若kN，使i，jI都有0，則此馬氏鏈遍歷。（2）有限遍歷鏈，對(duì)I=1，2，,s,對(duì)jI,= （3）有限遍歷鏈，I=1，2，,s,對(duì)jI,= （4）如果j為非周期的正常返（即遍歷態(tài)），則有=。1.4平穩(wěn)分布的條件與算法1.定義:設(shè)馬爾科夫鏈，n0的轉(zhuǎn)移概率矩陣P=（），如果非負(fù)數(shù)據(jù)滿足：（1）=1；（2）=，jI 則稱，jI為平穩(wěn)分布。2.算法：平穩(wěn)分布計(jì)算歸結(jié)為求解線性方程組 =(-E)=0 =11 1=1 =bL=, b=,B=,D=在matl

8、ab中,Ax=b的求解命令：rref（A b）1.5應(yīng)用馬爾科夫鏈研究市場(chǎng)占有率預(yù)測(cè)的必要前提 1.市場(chǎng)占有率隨機(jī)過(guò)程必須符合馬爾科夫性，將來(lái)t+1時(shí)刻市場(chǎng)占有率僅依賴于第t時(shí)刻的市場(chǎng)占有率的分布，與過(guò)去時(shí)刻t-2,t-2，的市場(chǎng)占有率的分布及轉(zhuǎn)移狀態(tài)無(wú)關(guān)。 2.馬爾科夫鏈理論是以固定的轉(zhuǎn)移概率矩陣為根本規(guī)律和特征。應(yīng)用馬爾科夫鏈模型，市場(chǎng)占有率也要求轉(zhuǎn)移概率矩陣具有相對(duì)穩(wěn)定性。對(duì)于一個(gè)比較穩(wěn)定的市場(chǎng)，在短期內(nèi)可以認(rèn)為市場(chǎng)占有率的轉(zhuǎn)移概率矩陣是相對(duì)穩(wěn)定的。第2章 市場(chǎng)占有率問(wèn)題的分析2.1建立模型：根據(jù)有關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，依據(jù)隨機(jī)變量市場(chǎng)占有率數(shù)據(jù)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)劃分，可以得到初始占有率分布P（0）

9、計(jì)算得轉(zhuǎn)移概率，通過(guò),可以得到P=，（i，jI），然后計(jì)算，得到m階轉(zhuǎn)移矩陣，即m個(gè)周期后的市場(chǎng)占有率轉(zhuǎn)移矩陣，m個(gè)周期后的市場(chǎng)占有率分布為P(m)=P（0）如果市場(chǎng)流趨向長(zhǎng)期穩(wěn)定下去，則經(jīng)過(guò)一段時(shí)間市場(chǎng)占有率將會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，即顧客的流動(dòng)，不會(huì)影響市場(chǎng)占有率，而且這種占有率與初始分布無(wú)關(guān)。按照實(shí)際意義，可以近似的看成最終市場(chǎng)占有率，并且得出計(jì)算式：一般n個(gè)狀態(tài)后的穩(wěn)定市場(chǎng)占有率（穩(wěn)定概率）可通過(guò)解方程求得：2.2提出問(wèn)題：下表（表3-1）表示2011年11月各品牌空調(diào)大城市市場(chǎng)占有率表3-1品牌名稱市場(chǎng)占有率（%）海爾33.5容聲22.8新飛10.5美菱8.8其他品牌24.4 注：資料

10、來(lái)源于賽諾市場(chǎng)研究公司（SINO-MR）對(duì)全國(guó)35個(gè)大城市106家大型商場(chǎng)的流行檢測(cè)表3-1 2011年11月各空調(diào)市場(chǎng)占有率2.3分析問(wèn)題：空調(diào)品牌在將來(lái)一年的市場(chǎng)占有率僅依賴于今年的市場(chǎng)占有率的分布，與過(guò)去幾年的市場(chǎng)占有率的分布及轉(zhuǎn)移狀態(tài)無(wú)關(guān)。如果顧客流在近幾年內(nèi)不會(huì)改變，則轉(zhuǎn)移概率矩陣近幾年內(nèi)也不會(huì)改變，所以可以認(rèn)為該市場(chǎng)是一個(gè)比較穩(wěn)定的市場(chǎng)，在短期內(nèi)可以認(rèn)為市場(chǎng)占有率是相對(duì)穩(wěn)定的，轉(zhuǎn)移概率矩陣反映了各品牌的消費(fèi)群體的流動(dòng)情況。因此，通過(guò)對(duì)轉(zhuǎn)移概率矩陣的分析，可以幫助企業(yè)確定行動(dòng)方案。設(shè)I=1,2,3，4，狀態(tài)1,2,3,4分別表示海爾，容聲，新飛，和其他品牌。統(tǒng)計(jì)其2011年11月份購(gòu)

11、買(mǎi)和12月份欲代銷(xiāo)和訂購(gòu)的空調(diào)的轉(zhuǎn)移量如下表3-212月11月海爾容聲新飛其他合計(jì)海爾49402117520031151088容聲17393240632530134700新飛16602631372536516014其他200547016254660050700注：資料來(lái)源于賽諾市場(chǎng)研究公司（SINO-MR）對(duì)全國(guó)35個(gè)大城市106家大型商場(chǎng)的流行檢測(cè)企業(yè)要進(jìn)行調(diào)整，首先要知道初始的市場(chǎng)占有率P(1)、頻數(shù)矩陣N，一步轉(zhuǎn)移概率P、第2年的市場(chǎng)占有率P(2)，第三年的市場(chǎng)占有率P(3)，第五年的市場(chǎng)占有率P(5)，顧客流長(zhǎng)期穩(wěn)定下去三大品牌的市場(chǎng)占有率的分布C。由三大品牌在市場(chǎng)上的占有率來(lái)決定商場(chǎng)

12、需要對(duì)哪個(gè)品牌產(chǎn)品的數(shù)量進(jìn)行增加和減少。第3章 計(jì)算結(jié)果及程序由上述，畫(huà)出轉(zhuǎn)移圖：海爾空調(diào)新飛空調(diào)容聲空調(diào)其他 1172 365 1625 1739 1660470301200 2005 311可得出已知條：2011年11月在市場(chǎng)的占有率為P(0)=（0.335 0.228 0.105 0.332），所占比例表示如圖3-2所示：圖3-2 2011年11月市場(chǎng)占有率分布圖頻數(shù)矩陣N=用頻率代替概率，可得：=0.967,=0.023,=0.004,=0.006=0.050,=0.932,=0.009,=0.009=0.104,=0.016,=0.857，=0.023=0.040,=0.009,=0

13、.032,=0.919所以，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為,由一步轉(zhuǎn)移概率可得2011年12月的市場(chǎng)占有率為P(1)=P(0)*P=(0.3593 0.2249 0.1040 0.3116)P1=P0*PP1 = 0.3595 0.2249 0.1040 0.3116分布如圖3-3所示：圖3-3 2011年12月市場(chǎng)占有率分布圖同理，可求出2012年1月，2012年2月的市場(chǎng)占有率分別為P（2）=P（0）=（0.3822 0.2223 0.1026 0.2929） P2=P0*P2P2 = 0.3822 0.2223 0.1026 0.2929P（3）=P（0）=（0.4031 0.2203 0.1008

14、 0.2758）P3=P0*P3P3 = 0.4031 0.2203 0.1008 0.2758分布如下圖3-4所示：圖3-4 2012年2月市場(chǎng)占有率分布圖證明（），若使i，jI都有0，則此馬氏鏈?zhǔn)潜闅v的。利用matlab軟件：P=0.967 0.023 0.004 0.006;0.050 0.932 0.009 0.009;0.104 0.016 0.857 0.023;0.040 0.009 0.032 0.919; P2ans = 0.9369 0.0438 0.0077 0.0116 0.0962 0.8700 0.0166 0.0172 0.1914 0.0312 0.7357 0

15、.0416 0.0792 0.0181 0.0571 0.8456所以此馬氏鏈?zhǔn)潜闅v的，解方程組得即為顧客流如此長(zhǎng)期穩(wěn)定市場(chǎng)占有率的分布，企業(yè)可由此調(diào)整管理。B =0.967 0.023 0.004 0.006 1;0.050 0.932 0.009 0.009 1;0.104 0.016 0.857 0.023 1;0.040 0.009 0.032 0.919 1;D=1 0 0 0 0;0 1 0 0 0;0 0 1 0 0;0 0 0 1 0; A=B-D;b=0;0;0;0;1;C=A b;rref(C)ans = 1.0000 0 0 0 0.6256 0 1.0000 0 0 0

16、.2353 0 0 1.0000 0 0.0518 0 0 0 1.0000 0.0872 0 0 0 0 0所以（）=（0.6256 0.2353 0.0518 0.0872）即海爾、容聲、新飛和其他品牌占有率的平穩(wěn)分布為0.6256、0.2353、0.0518和0.0872.第4章 結(jié)論和展望通過(guò)上述問(wèn)題可以看出,馬爾科夫鏈的平穩(wěn)分布在沒(méi)有突發(fā)情況下,確實(shí)是可以起到預(yù)測(cè)同類商品在市場(chǎng)中的占有率.如果不是原始內(nèi)在問(wèn)題導(dǎo)致占有率略低的話,企業(yè)可以通過(guò)馬爾科夫鏈的平穩(wěn)分布來(lái)預(yù)測(cè)市場(chǎng)占有率,通過(guò)調(diào)整企業(yè)內(nèi)部的各種因素來(lái)提高產(chǎn)品在市場(chǎng)中的占有率,從而提高企業(yè)的盈利. 企業(yè)是一個(gè)動(dòng)態(tài)變化的系統(tǒng),在這一

17、系統(tǒng)中,有一些變量和因素隨時(shí)間的推移而不斷地隨機(jī)變化,產(chǎn)品市場(chǎng)占有率就是其中一個(gè)變量。對(duì)這個(gè)變量的預(yù)測(cè)是企業(yè)市場(chǎng)預(yù)測(cè)的一個(gè)重要內(nèi)容。如長(zhǎng)期趨勢(shì)預(yù)測(cè)法,是根據(jù)歷史數(shù)據(jù)的變化規(guī)律對(duì)未來(lái)市場(chǎng)狀況進(jìn)行預(yù)測(cè)的,對(duì)市場(chǎng)占有率這無(wú)確定變化規(guī)律的隨機(jī)變量來(lái)說(shuō),這方法顯然就行不通了。再加上市場(chǎng)調(diào)查預(yù)測(cè)法,是通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查在掌握購(gòu)買(mǎi)意向等市場(chǎng)信息資料的基礎(chǔ)上,再加以簡(jiǎn)單的分析和推斷,是一種定性預(yù)測(cè)法,也難以獲得準(zhǔn)確的結(jié)果。所以,必須尋找一種適應(yīng)隨機(jī)變量變化特點(diǎn)的動(dòng)態(tài)方法對(duì)其進(jìn)行預(yù)測(cè)。馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)法就是一種應(yīng)用于隨機(jī)過(guò)程預(yù)測(cè)的科學(xué)有效的方法它立足于當(dāng)前通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查等途徑所獲現(xiàn)實(shí)資料的基礎(chǔ)上,運(yùn)用馬爾可夫鏈的基本原理

18、和方法對(duì)數(shù)據(jù)資料進(jìn)行運(yùn)算得出預(yù)測(cè)結(jié)果,因此,很適于對(duì)產(chǎn)品市場(chǎng)占有率的預(yù)測(cè)。穩(wěn)定馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)法是一種適用于隨機(jī)過(guò)程的科學(xué)、有效的動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)方法,其基本原理和方法可用來(lái)預(yù)測(cè)企業(yè)產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率。在運(yùn)用馬爾科夫鏈對(duì)市場(chǎng)占有率進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí),應(yīng)做好市場(chǎng)調(diào)查工作,并借助計(jì)算機(jī)和簡(jiǎn)捷表加以計(jì)算。參考文獻(xiàn)1蔡吉花.隨機(jī)過(guò)程M.東北林業(yè)大學(xué)出版社.2張善文,雷英杰,馮有前. MATLAB在分析中的應(yīng)用M.西安:西安電子科技大學(xué)出版社,2007,4:77-149.3田錚,秦超英.隨機(jī)過(guò)程與應(yīng)用M.北京科學(xué)出版社2007版社2007.4查秀芳.馬爾科夫鏈在市場(chǎng)預(yù)測(cè)中的作用J.江蘇大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版）.附錄matla

19、b代碼如下： P0=0.335 0.228 0.105 0.332; P=0.967 0.023 0.004 0.006;0.050 0.932 0.009 0.009;0.104 0.016 0.857 0.023;0.040 0.009 0.032 0.919; P2ans = 0.9369 0.0438 0.0077 0.0116 0.0962 0.8700 0.0166 0.0172 0.1914 0.0312 0.7357 0.0416 0.0792 0.0181 0.0571 0.8456 P1=P0*PP1 = 0.3595 0.2249 0.1040 0.3116 P2=P0*P2P2 = 0.3822 0.2223 0.1026 0.2929 P3=P0*P3P3 = 0.4031 0.2203 0.1008 0.2758 P5=P0*P5P5 = 0.4400 0.2174 0.0967 0.2459B =0.967 0.023 0.004 0.006 1;0.0