第4章 軸向拉伸及壓縮

1、工程力學(xué)工程力學(xué)桿件的幾何特征及變形的基本形式2內(nèi)力 截面法 應(yīng)力 應(yīng)變1第4章軸向拉伸與壓縮拉（壓）桿橫截面上的內(nèi)力及內(nèi)力圖3拉（壓）桿橫截面及斜截面上的應(yīng)力4材料在拉伸或壓縮時(shí)的力學(xué)性能5工程力學(xué)工程力學(xué)拉（壓）桿的變形7拉（壓）桿的強(qiáng)度設(shè)計(jì)6第4章軸向拉伸與壓縮拉（壓）桿超靜定問題8應(yīng)力集中的概念9工程力學(xué)工程力學(xué)4.1 內(nèi)力 截面法 應(yīng)力 應(yīng)變12內(nèi)力內(nèi)力 截面法截面法應(yīng)力應(yīng)力3應(yīng)變應(yīng)變工程力學(xué)工程力學(xué)工程力學(xué)中所研究的內(nèi)力，是指物體在外力作用下，其內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)相互作用力的改變量，稱為附加內(nèi)力附加內(nèi)力，常簡(jiǎn)稱為內(nèi)力內(nèi)力，如圖4-1所示。4.1.1 內(nèi)力 截面法工程力學(xué)工程力學(xué)假想地用一個(gè)截

2、面將構(gòu)件一分為二，并選其一建立方程，以確定截面上內(nèi)力的大小和指向的方法，稱為截面法。截面法的全部過程可歸納為以下三個(gè)步驟：截開；替代；平衡。必須注意：截開面上的內(nèi)力對(duì)研究部分來(lái)說(shuō)屬于外力；在用截面法求內(nèi)力的過程中，靜力學(xué)中的力的可傳性原理及力偶可移性原理的應(yīng)用是有限制的。4.1.1 內(nèi)力 截面法工程力學(xué)工程力學(xué)4.1.2 應(yīng)力應(yīng)力應(yīng)力是受力桿件某一截面上一點(diǎn)處的內(nèi)力集度。如圖4-2所示，K點(diǎn)的總應(yīng)力，即其中稱為正應(yīng)力，稱為切應(yīng)力。應(yīng)力的單位是（Pa）帕， 。工程上常用MPa（兆帕）和GPa（吉帕），其關(guān)系為工程力學(xué)工程力學(xué)4.1.3 應(yīng)變?cè)O(shè)圖4-3（a）為構(gòu)件上某一點(diǎn)處取出的一個(gè)正六面體，其沿

3、x軸方向的棱邊AB原長(zhǎng)為 ,變形后變?yōu)?，如圖4-3（b）所示。如AB線段內(nèi)各點(diǎn)處的變形程度相同，則比值 稱為線段AB的線應(yīng)變。工程力學(xué)工程力學(xué)如線段AB內(nèi)各點(diǎn)處的變形程度并不相同，則此比值只是線段AB的平均線應(yīng)變。而A點(diǎn)沿x方向的線應(yīng)變則為當(dāng)構(gòu)件變形后，上述正六面體除棱邊的長(zhǎng)度改變外，二垂直線段AC與AB間的夾角也會(huì)發(fā)生變化，不再保持直角（圖4-4）。角度的改變量稱為切應(yīng)變。4.1.3 應(yīng)變工程力學(xué)工程力學(xué)構(gòu)件的幾何形狀是多種多樣的，但根據(jù)其幾何特征，可把構(gòu)件分為桿件、板與殼、塊體三類。桿件有兩個(gè)主要的幾何因素：橫截面橫截面和軸線軸線。橫截面和軸線是互相垂直的（圖4-5）。材料力學(xué)中所研究的

4、直桿多數(shù)是等截面的，稱為等直桿等直桿，如圖4-5（a）。橫截面大小不同的桿稱為變截面桿變截面桿。等直桿的計(jì)算原理一般也可近似地用于曲率很小的曲桿，如圖4-5（b），和橫截面變化不大的變截面桿。4.2桿件的幾何特征及變形的基本形式工程力學(xué)工程力學(xué)四種基本變形形式：軸向拉伸或軸向壓縮（如圖4-6、圖4-7） 剪切（如圖4-8）4.2桿件的幾何特征及變形的基本形式工程力學(xué)工程力學(xué)扭轉(zhuǎn)（如圖4-9）彎曲（如圖4-10）4.2桿件的幾何特征及變形的基本形式工程力學(xué)工程力學(xué)12拉伸（壓縮）時(shí)橫截面上的內(nèi)力拉伸（壓縮）時(shí)橫截面上的內(nèi)力軸力圖軸力圖4.3 拉（壓）桿橫截面上的內(nèi)力及內(nèi)力圖工程力學(xué)工程力學(xué)在工程

5、實(shí)際中，承受拉伸或壓縮的桿件是很常見的。這類桿件從幾何上均可抽象為一等直桿。其受力特點(diǎn)是：作用于桿端外力的合力作用線與桿件的軸線重合。其變形特點(diǎn)是：沿軸線方向伸長(zhǎng)或縮短，稱為軸向拉伸圖4-6(a)或軸向壓縮圖4-6(b)。4.3 拉（壓）桿橫截面上的內(nèi)力及內(nèi)力圖工程力學(xué)工程力學(xué)4.3.1 拉伸（壓縮）時(shí)橫截面上的內(nèi)力為了確定拉壓桿橫截面 上的內(nèi)力，可用截面法假想在 截面處將桿件截?cái)啵▓D4-11），則式中 為桿件任一橫截面 上的內(nèi)力。因?yàn)橥饬與桿軸線重合，所以內(nèi)力 的作用線也與桿軸線重合。這種內(nèi)力稱為軸力軸力，用符號(hào) 表示。工程力學(xué)工程力學(xué)4.3.2 軸力圖當(dāng)桿件受到多個(gè)軸向外力作用時(shí)，在桿的

6、不同段內(nèi)將有不同的軸力。為了形象地表明桿內(nèi)軸力隨著橫截面位置而變化的情況“可根據(jù)求得的軸力作出軸力圖!通常是按選定的比例尺，用平行于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面的位置，用垂直于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面上軸力的數(shù)值，從而繪出表示軸力與橫截面位置關(guān)系的圖線，稱為軸力圖軸力圖。慣上將正值的軸力畫在上側(cè)，負(fù)值的畫在下側(cè)。工程力學(xué)工程力學(xué)4.4 拉（壓） 桿橫截面及斜截面上的應(yīng)力12拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力工程力學(xué)工程力學(xué)研究拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力需綜合考慮幾何幾何、物理物理、靜靜力力學(xué)三個(gè)方面。一個(gè)重要的變形假設(shè)平面假設(shè)平面假設(shè)，認(rèn)為桿

7、件變形后，其橫截面仍為平面且垂直于軸線。由于假設(shè)材料是均勻、連續(xù)性的，由此推斷：橫截面上內(nèi)力均勻分布，且其方向垂直于橫截面，即橫截面上只有正應(yīng)力，而且是均勻分布的圖4-13(c)。由此可知，橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式為4.4.1 拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力工程力學(xué)工程力學(xué)嚴(yán)格地說(shuō)，在桿端集中力作用點(diǎn)附近，應(yīng)力并非均勻分布。所以，上式在集中力作用點(diǎn)的小范圍內(nèi)是不適用的。圣維南原理圣維南原理指出：力作用于桿端方式的不同，只會(huì)使與桿端距離不大于桿的橫向尺寸的范圍內(nèi)受到影響。這一原理已為試驗(yàn)所證實(shí)，所以在拉（壓）桿的應(yīng)力計(jì)算中，都以公式（4-3）為準(zhǔn).4.4.1 拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力工程力學(xué)工程力學(xué)如

8、圖4-15所示，可知通過拉桿內(nèi)任一點(diǎn)處不同方位斜截面上的正應(yīng)力 和切應(yīng)力 隨角而改變的規(guī)律通過一點(diǎn)的所有不同方位截面上應(yīng)力的全部情況，稱為該點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。由式（4-4）、式（4-5）還可看出，在所研究的拉桿中，一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)由其橫截面上的正應(yīng)力即可完全確定，這樣的應(yīng)力狀態(tài)稱為單向應(yīng)力狀態(tài)。4.4.2 拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力工程力學(xué)工程力學(xué)4.5 材料在拉伸或壓縮時(shí)的力學(xué)性能12低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能其他材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能其他材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能34材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能幾種非金屬材料的力學(xué)性能幾種非金屬材料的力學(xué)性能工程力學(xué)工程力學(xué)研究桿件的強(qiáng)度

9、和變形時(shí)，需了解材料的力學(xué)性能，如材料的極限應(yīng)力、彈性模量等，這些數(shù)據(jù)需由試驗(yàn)來(lái)確定。所謂材料的力學(xué)性能材料的力學(xué)性能，是指反映材料在外力作用下所呈現(xiàn)的有關(guān)強(qiáng)度和變形方面所表現(xiàn)的特性。4.5 材料在拉伸或壓縮時(shí)的力學(xué)性能工程力學(xué)工程力學(xué)4.5.1 低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能一般試驗(yàn)機(jī)上備有自動(dòng)繪圖裝置，能自動(dòng)繪出荷載F與伸長(zhǎng)量l間的關(guān)系曲線，稱為拉伸圖。圖4-19為低碳鋼試樣的拉伸圖。為消除試樣幾何尺寸的影響，常將拉伸圖上縱坐標(biāo)F除以試樣原橫截面面積A，橫坐標(biāo)l除以試樣標(biāo)距的原始長(zhǎng)度l。將F-l曲線改制成-曲線，稱為應(yīng)力-應(yīng)變曲線或-曲線（圖4-20）。工程力學(xué)工程力學(xué)由應(yīng)力，應(yīng)變曲線可見，整個(gè)拉

10、伸過程大致可分為四個(gè)階段，現(xiàn)分別說(shuō)明如下：彈性階段（圖4-20中ab點(diǎn)）屈服階段（圖4-20中b點(diǎn)之后）強(qiáng)化階段局部變形階段（頸縮階段）工程上常用試樣在拉斷后殘留的塑性變形來(lái)表示材料的塑性性能。常用的塑性指標(biāo)有以下兩個(gè)。4.5.1 低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能工程力學(xué)工程力學(xué)圖4-23給出了另外幾種材料在拉伸時(shí)的 曲線。4.5.2 其他材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能工程力學(xué)工程力學(xué)對(duì)于沒有明顯屈服階段的塑性材料，通常規(guī)定：取對(duì)應(yīng)于試樣卸載后產(chǎn)生0.2%塑性應(yīng)變時(shí)的應(yīng)力值作為材料的規(guī)定非比例延規(guī)定非比例延伸強(qiáng)度伸強(qiáng)度，以 表示。這是一個(gè)人為規(guī)定的極限應(yīng)力，作為衡量材料強(qiáng)度的指標(biāo)。確定 數(shù)值的方法如圖4-24所示

11、，圖中直線CD與彈性階段中的直線部分相平行。4.5.2 其他材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能工程力學(xué)工程力學(xué)圖4-26中的實(shí)線為低碳鋼壓縮時(shí)的 曲線，虛線為低碳鋼拉伸時(shí)的 曲線。可以看出：當(dāng)應(yīng)力小于屈服極限時(shí)，兩曲線基本上是重合的，表明低碳鋼壓縮時(shí)的彈性模量E、比例極限&N#屈服極限 、都與拉伸時(shí)大致相同。超過屈服極限以后，試樣越壓越扁，橫截面面積不斷增大。試樣抗壓能力不斷提高，所以得不到壓縮時(shí)的強(qiáng)度極限。因?yàn)榭蓮睦煸囼?yàn)的結(jié)果了解它在壓縮時(shí)的主要力學(xué)性能，所以不一定要進(jìn)行壓縮試驗(yàn)。4.5.3 材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能工程力學(xué)工程力學(xué)與塑性材料不同，脆性材料在壓縮和拉伸時(shí)表現(xiàn)出的力學(xué)性能有較大差別。圖4-27

12、所示為灰口鑄鐵在拉伸（虛線）和壓縮（實(shí)線）時(shí)的 曲線，壓縮試樣的高度與截面直徑之比l：d=5:14.5.3 材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能工程力學(xué)工程力學(xué)4.5.4 幾種非金屬材料的力學(xué)性能混凝土木材玻璃鋼綜上所述，衡量材料力學(xué)性能的指標(biāo)主要有比例極限 （或彈性極限 ）、屈服極限 、強(qiáng)度極限 、彈性模量E、延伸率和斷面收縮率等。對(duì)于塑性材料來(lái)說(shuō)，抵抗拉斷的能力較好，常用的強(qiáng)度指標(biāo)是屈服極限。而且，一般來(lái)說(shuō)，在拉伸和壓縮時(shí)的屈服極限值相同。對(duì)于脆性材料來(lái)說(shuō)，其抗拉強(qiáng)度遠(yuǎn)低于抗壓強(qiáng)度，強(qiáng)度指標(biāo)是強(qiáng)度極限，一般用于受壓構(gòu)件。工程力學(xué)工程力學(xué)4.6 拉（壓） 桿的強(qiáng)度設(shè)計(jì)12許用應(yīng)力與安全因數(shù)許用應(yīng)力與安全因數(shù)

13、拉（壓）桿的強(qiáng)度條件拉（壓）桿的強(qiáng)度條件工程力學(xué)工程力學(xué)4.6.1 許用應(yīng)力與安全因數(shù)試驗(yàn)指出，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到某一極限值時(shí)，材料便發(fā)生破壞。材料破壞時(shí)的應(yīng)力，稱為極限應(yīng)力極限應(yīng)力，用 表示。一般將極限應(yīng)力 除以大于1的系數(shù)n，作為設(shè)計(jì)應(yīng)力的最高限度，稱為許用應(yīng)力，用 表示，即式中，n稱為安全系數(shù)安全系數(shù)，其數(shù)值常由設(shè)計(jì)規(guī)范規(guī)定。工程力學(xué)工程力學(xué)確定安全系數(shù)主要考慮下列幾方面因素：材料的素質(zhì)，包括材料的均勻程度、是否有缺陷、是塑性材料還是脆性材料等；荷載情況，包括對(duì)荷載的估算是否準(zhǔn)確、是靜荷載還是動(dòng)荷載及超載作用的可能性；實(shí)際構(gòu)件簡(jiǎn)化過程和計(jì)算方法的精確程度；構(gòu)件的工作條件及重要程度； 對(duì)減輕構(gòu)件自

14、重的要求等。4.6.1 許用應(yīng)力與安全因數(shù)工程力學(xué)工程力學(xué)為了保證拉（壓）桿的正常工作，必須使桿件的最大工作應(yīng)力不超過材料在拉（壓）時(shí)的許用應(yīng)力，即式（4-9）稱為桿件軸向拉伸或壓縮時(shí)的強(qiáng)度條件.對(duì)于等截面直桿，軸向拉伸（壓縮）時(shí)的強(qiáng)度條件可表示為應(yīng)用強(qiáng)度條件，可以解決工程中三類強(qiáng)度計(jì)算問題，即：校核強(qiáng)度；選擇截面；確定許用荷載。4.6.2 拉（壓）桿的強(qiáng)度條件工程力學(xué)工程力學(xué)試驗(yàn)證明：當(dāng)桿內(nèi)的應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，桿的伸長(zhǎng) 與其所受外力F、桿的原長(zhǎng)l成正比，而與其橫截面面積A成反比，即這一關(guān)系式稱為胡克定律胡克定律。由式（4-11）還可以看出，對(duì)長(zhǎng)度相同、受力相等的桿件，EA越大，則變

15、形 越小，所以EA稱為桿件的抗拉（抗壓）剛度抗拉（抗壓）剛度。4.7 拉（壓） 桿的變形工程力學(xué)工程力學(xué)式（4-11）改寫后將具有普遍的意義，即得式（4-12）不僅適用于拉（壓)桿,而且還普遍適用于所有的單向應(yīng)力狀態(tài),所以常稱其為單向應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律單向應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律。試驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，橫向線應(yīng)變 與縱向線應(yīng)變 之比的絕對(duì)值為一常數(shù)，即 稱為橫向變形系數(shù)橫向變形系數(shù)或泊松比泊松比，是一個(gè)量綱為一的量，其數(shù)值隨材料而異，由試驗(yàn)測(cè)定。4.7 拉（壓） 桿的變形工程力學(xué)工程力學(xué)4.8 拉（壓）桿超靜定問題12超靜定問題及其解法超靜定問題及其解法裝配應(yīng)

16、力裝配應(yīng)力3溫度應(yīng)力溫度應(yīng)力工程力學(xué)工程力學(xué)桿件內(nèi)力或結(jié)構(gòu)的約束反力都能通過靜力平衡方程來(lái)確定，這類問題稱為靜定問題靜定問題。在工程上，常遇到一些結(jié)構(gòu)，它的約束反力或桿件內(nèi)力等未知力的數(shù)目，超過了靜力平衡方程的數(shù)目，僅靠靜力學(xué)方法無(wú)法解決，這類問題稱為超靜定問題超靜定問題。為了求解超靜定問題，除平衡方程以外，還需通過研究結(jié)構(gòu)各部分之間的變形幾何關(guān)系來(lái)建立補(bǔ)充方程。補(bǔ)充方程的建立，都基于一個(gè)普遍原理，即結(jié)構(gòu)中各桿件的變形應(yīng)符合結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件。4.8.1 超靜定問題及其解法工程力學(xué)工程力學(xué)求解超靜定問題必須考慮以下三方面：滿足力的平衡條件；滿足變形協(xié)調(diào)條件；符合力與變形間的物理關(guān)系

17、（如在彈性變形范圍內(nèi)，符合胡克定律）。概括地說(shuō)，即應(yīng)綜合考慮靜力學(xué)方面、幾何方面和物理方面。工程力學(xué)的許多基本理論，也正是從這三個(gè)方面進(jìn)行綜合分析后建立起來(lái)的。4.8.1 超靜定問題及其解法工程力學(xué)工程力學(xué)4.8.2 裝配應(yīng)力在超靜定問題中，有時(shí)雖然沒有荷載作用，但由于制造誤差，在結(jié)構(gòu)裝配后，桿件中也將產(chǎn)生應(yīng)力，這種應(yīng)力稱為裝配裝配應(yīng)力應(yīng)力。在超靜定問題中，構(gòu)件的尺寸即使有很小的誤差，也可能會(huì)在結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生相當(dāng)可觀的裝配應(yīng)力。裝配應(yīng)力既可能帶來(lái)有利的影響，也可能產(chǎn)生不利的后果。在工程實(shí)際中，應(yīng)利用其有利的一面，而避免其不利的影響。工程力學(xué)工程力學(xué) 4.8.3 溫度應(yīng)力在超靜定結(jié)構(gòu)中，由于溫度變化引起的變形受到約束的限制，在構(gòu)件中將產(chǎn)生應(yīng)力，這種應(yīng)力稱為溫度應(yīng)力溫度應(yīng)力。解決荷載作用、制造誤差、溫度變化等因素對(duì)超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力和應(yīng)力的影響的兩種方法：將所有因素同時(shí)考慮進(jìn)去；先分別計(jì)算出由荷載作用、制造誤差、溫度改變等單個(gè)因素所引起的桿的內(nèi)力和應(yīng)力，然后求相應(yīng)結(jié)果的代數(shù)和來(lái)確定最終的內(nèi)力和應(yīng)力值。此法即為疊加法。工程力學(xué)工程力學(xué) 4.8.3 溫度應(yīng)力解決超靜定問題的具體步驟可以歸納如下：從靜力學(xué)方面，列出靜力平衡方程；從幾何方面，觀察構(gòu)