經(jīng)濟數(shù)學微積分第二版第一章第三節(jié)復合函數(shù)與反函數(shù)

1、第三節(jié)第三節(jié) 復合函數(shù)與反函復合函數(shù)與反函數(shù)數(shù)一、復合函數(shù)一、復合函數(shù)二、反函數(shù)二、反函數(shù)三、函數(shù)的運算三、函數(shù)的運算四、小結(jié)四、小結(jié) 思考題思考題一、復合函數(shù)(compound function),uy 設設,12xu 21xy 定義定義:,自自變變量量x,中中間間變變量量u因變量y的的和和為為上的函數(shù)上的函數(shù)定義在定義在，則稱，則稱，和和設有函數(shù)設有函數(shù)gfgfDxgDxxRDgffggf)(,| 復合函數(shù)，復合函數(shù)，其中其中)()(xgfxgf 例例1,ln)(,2)(2uufyxxgu ,), 2fgDR 則則因此能夠形成復合函數(shù)因此能夠形成復合函數(shù))2ln()(2xxgf 注意注意:

2、 :1.不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù)的合函數(shù)的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2.復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復合構(gòu)成合構(gòu)成.,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 二、反函數(shù)(inverse function)0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函數(shù)函數(shù)oxyDW)(yx 反函數(shù)反函數(shù)o射射是是單單射射，則則它它存存在在逆逆映映設設函函數(shù)數(shù))(:DfDf,)(:1DDff 的的為為函函數(shù)數(shù)稱稱此此映映射射ff1 反函數(shù)反函數(shù). .)(xfy 直直接接函函

3、數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP)(1xfy 反函數(shù)反函數(shù) 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對稱對稱.xy 定理（反函數(shù)存在定理）：定理（反函數(shù)存在定理）：單調(diào)函數(shù)單調(diào)函數(shù) f 必存在單調(diào)必存在單調(diào)的反函數(shù)的反函數(shù) ，且此反函數(shù)與，且此反函數(shù)與 f 具有相同的單調(diào)性具有相同的單調(diào)性.例例2.1的反函數(shù)的反函數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xey),1()1ln(),1(11)1ln(11222 fxxDxyeyyxye反函數(shù)為反函數(shù)為，即原函數(shù)的值域為，即原函數(shù)的值域為解解三、函數(shù)的運算的下列運算：的下列運算：,)(, )(21DDxgxf、的定義域分別是的定義域分別是設函數(shù)設

4、函數(shù)個函數(shù)個函數(shù)，則我們可以定義這兩，則我們可以定義這兩 21DDD函數(shù)的函數(shù)的和（差）和（差）函數(shù)的函數(shù)的積積函數(shù)的函數(shù)的商商 gf Dxxgxfxgf ，)()()(Dxxgxfxgf ，)()()(gfgf )()()(xgxfxgf 0)(| xgxDx函數(shù)的函數(shù)的和（差）和（差）例例3.)()()(,)()(),(),()(xhxgxfxhxgllllxf 使得使得及奇函數(shù)及奇函數(shù)上的偶函數(shù)上的偶函數(shù)定存在定存在，證明必，證明必的定義域為的定義域為設函數(shù)設函數(shù) )()()()()()()()()()(xhxgxhxgxfxhxgxfxhxg，于是有，于是有存在存在和和如果這樣的如果這

5、樣的分析分析證明證明 )()(21)()()(21)(xfxfxhxfxfxg設設.)()()(xhxgxf 顯然顯然.)()()(21)()()()(21)(是奇函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)是偶函數(shù)xhxfxfxhxgxfxfxg 四、小結(jié) 思考題1.1.復合函數(shù)：復合函數(shù)： 復合函數(shù)的形成與復合過程的分解復合函數(shù)的形成與復合過程的分解.2.2.反函數(shù)：反函數(shù)： 反函數(shù)的基本求法反函數(shù)的基本求法.3.3.函數(shù)的運算：函數(shù)的運算： 簡單函數(shù)的四則運算簡單函數(shù)的四則運算.思考題思考題)(,1sec)(tan2xfxxf求求已知已知 解解21)1()(1)1(tan)(tan222 xxxfxxf練練 習習 題題2,uyeux1由函數(shù)復合而成的函數(shù)為 . 2 sin