數(shù)學(xué)概念的文化性

1、邏輯思維的基本形式： 概念、判斷和推理 數(shù)學(xué)本質(zhì)上研究的是抽象的東西，數(shù)學(xué)發(fā)展所依據(jù)的最重要的思想是抽象。這種抽象了東西就是數(shù)學(xué)研究所必須定義的最基本的概念。 即數(shù)學(xué)概念一、數(shù)學(xué)概念概念： 反映研究對象的本質(zhì)屬性，是人類主觀意識對客觀事物本質(zhì)屬性的能動反映，是科學(xué)的認(rèn)識方法。概念是思維形式的最基本的組成單位，是構(gòu)成判斷推理的要素?？臻g形式、數(shù)量關(guān)系數(shù)學(xué)概念：是反映客觀事物關(guān)于空間形式和數(shù)量關(guān)系方面的本質(zhì)屬性的思維形式。數(shù)學(xué)概念形成特性： 把一類事物的空間形式與數(shù)量關(guān)系方面的本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性區(qū)別開來，撇開非本質(zhì)屬性，抽象本質(zhì)屬性，再用詞語表達(dá)，從而形成概念。 概念的形成過程：感覺知覺表象概念

2、感性認(rèn)識 理性認(rèn)識（1） 概念的普遍性與抽象性數(shù)學(xué)概念的特性：三角形概念、矩形概念 數(shù)學(xué)概念是人們在數(shù)量和圖形方面對事物本質(zhì)進(jìn)行抽象的結(jié)果。 這些抽象的東西在現(xiàn)實(shí)中是存在的，抽象的東西只是表現(xiàn)在每一個具體之中。 當(dāng)然，抽象必須依賴具體的人，必須依賴于具體人的抽象能力。（2） 概念具有發(fā)展性函數(shù)概念、數(shù)的概念、空間概念 對變量的認(rèn)識是函數(shù)概念產(chǎn)生的標(biāo)志 馬克思說過，函數(shù)概念源于代數(shù)方程的函數(shù)概念源于代數(shù)方程的研究，古羅馬時代丟番圖對不定方程的研究，研究，古羅馬時代丟番圖對不定方程的研究，就有了函數(shù)概念的萌芽。就有了函數(shù)概念的萌芽。 恩格斯所指出的，“數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)卡兒

3、的變數(shù),有了變數(shù)有了變數(shù),運(yùn)動進(jìn)入了數(shù)學(xué)運(yùn)動進(jìn)入了數(shù)學(xué),有了有了變數(shù)變數(shù),辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué),有了變數(shù)有了變數(shù),微分和積微分和積分也就立刻成為必要的了分也就立刻成為必要的了?！?十四世紀(jì)，法國的奧萊斯姆奧萊斯姆在表示隨時間t而變化的變量x時，畫出相關(guān)圖形，并把t稱為經(jīng)度，而把x稱為緯度。 開普勒、伽利略也采用變量思想去研究天體運(yùn)動。伽利略認(rèn)為，初速為0自由落體運(yùn)動是加速運(yùn)動，其經(jīng)過的距離與其所用時間的平方成正比，若沿同高度但不同坡度的斜坡平面下滑的物體，其下滑的時間與平板的長度成正比。 笛卡爾用坐標(biāo)描述點(diǎn)時，也采用變量的觀念利用橫、縱坐標(biāo)間的互變關(guān)系的曲線方程去刻劃物體運(yùn)動軌跡。

4、 1714年，萊布尼茲在微積分的歷史和起源中用“函數(shù)”術(shù)語表示依賴于一個變量的量。人們膚淺的認(rèn)識：函數(shù)就是解析式人們膚淺的認(rèn)識：函數(shù)就是解析式 天真地認(rèn)為，函數(shù)就是解析表達(dá)式，認(rèn)識到了函數(shù)必須有解析的表達(dá)式。 1698年，約翰.伯努利認(rèn)為，函數(shù)是由變量x和常數(shù)構(gòu)成的式子。 1718年，他又提出一個自認(rèn)為較規(guī)范的定義，一個變量的函數(shù)是指由這個變量和常量以任意方式構(gòu)成的一個量。 1797年，拉格朗日認(rèn)為，所謂一個或幾個量的函數(shù)是指任意一個適于計(jì)算的表達(dá)式，這些量以任意方式出現(xiàn)在表達(dá)式中，表達(dá)式可以有也可以沒有其它一些被稱為具有給定和不變的量，而且數(shù)的量值可取所有可能的量值。 歐拉在無窮小分析引論中

5、給出了函數(shù)定義: 把凡是可以給出“解析式表示”的，通稱之為函數(shù)。 函數(shù)是否一定有解析式,解析式是否一定唯一？ 1750年左右，在研究弦振動問題時，歐拉發(fā)現(xiàn)所有的解析式都能用一條曲線表示，但并不是所有的曲線都能用解析式來表示。證明了不僅僅周期函數(shù),任一連續(xù)函數(shù)在(-,)上都可以用正弦或余弦函數(shù)給出。著名的數(shù)學(xué)家柯西也發(fā)現(xiàn)了即使在簡單函數(shù)中也存在著表達(dá)式不唯一的情形,如0 , 0 ,xxyxxyy = x2 人們終于發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的本質(zhì)是人們終于發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的本質(zhì)是 變量間的對應(yīng)變量間的對應(yīng) 1755年，歐拉提出了函數(shù)的定義：如果某些變量以如下方式依賴于另一些量，即當(dāng)后面變化時，前者本身也發(fā)生變化，則稱

6、前一些量是后一些量的函數(shù)。 1821年，柯西引入自變量，并給出函數(shù)的定義：當(dāng)變量這樣起來時，即給定的這些量中的一個值，就可以決定其他所有變量值的時候，人們通常想像這些量是用其中的一個來表達(dá)的。 1834年，羅巴切夫斯基認(rèn)為，x的函數(shù)應(yīng)該是這樣的數(shù)，它對于每個x都有確定的值，并且隨著x一起變化。 1837年，狄利克雷認(rèn)為，變量間建立怎樣的依賴關(guān)系，是按照一種規(guī)則還是多種規(guī)則對應(yīng)，這無關(guān)緊要，重要的是變量間的對應(yīng)關(guān)系。定義：如果對于x的每一個值，y總有完全確定的值與之對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)。函數(shù)定義域和變量間的對應(yīng)關(guān)系是它的核心，是函數(shù)定義的本質(zhì)規(guī)律。 是無理數(shù)是有理數(shù)xxy 0 1借用集合對應(yīng)刻

7、劃，函數(shù)概念進(jìn)一步深化借用集合對應(yīng)刻劃，函數(shù)概念進(jìn)一步深化 著名的數(shù)學(xué)家龐加萊在1900年的國際數(shù)學(xué)家大會上宣布:“由于有了集合論,現(xiàn)在我們可以說,數(shù)學(xué)的完全嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到了?！?美國以維布倫為代表給出定義: 若對集合M的任意元素x,總有集合N確定的元素y與之對應(yīng),則稱在集合M上定義一個函數(shù),記為y=f(x).元素x稱為自變量。 設(shè)f是X與Y的關(guān)系,即f ：XY,如果(x,y),(x,z)f,必有y=z,那么稱f為X到Y(jié)的函數(shù)。 數(shù)學(xué)概念的文化特性 這些抽象的東西在現(xiàn)實(shí)中是存在的，抽象的東西只是表現(xiàn)在每一個具體之中。 抽象必須依賴具體的人，必須依賴于具體人的抽象能力。 數(shù)學(xué)概念必須得到數(shù)學(xué)共同

8、體的認(rèn)可，才會被接受，傳播。圓周率考驗(yàn)人類智力 在希臘文中，是餅的頭一個字母。餅是圓的。 因此，古希臘人用表示圓周率，恰到好處地反映了圓的本質(zhì)。 現(xiàn)在賣“派”很時興如蘋果派、巧克力派等等其實(shí)都是和武大郎一個行當(dāng)，賣餅罷了 圓是平面上到定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合。 除了直線，它的結(jié)構(gòu)又是最簡單的 簡樸與美是圓的個性圓有幾條與眾不同的性質(zhì)： 圓的周長與直徑之比是一個常數(shù)，把這個常數(shù)叫做圓周率，記為在周長相同的所有平面封閉圖形中，圓的面積最大 面積相同的平面圖形中，圓的周長最短。即等周問題 以前，有位教書先生，整日里不務(wù)正業(yè)，就喜歡到山上找廟里的和尚喝酒。他每次臨行前留給學(xué)生的作業(yè)都一樣：背誦圓周率。開

9、始的時候，每個學(xué)生都苦不堪言。后來，有一位聰明的學(xué)生靈機(jī)一動，想出妙法，把圓周率的內(nèi)容與眼前的情景（老師上山喝酒）聯(lián)系起來，編了一段順口溜： “ 山巔一寺一壺酒（3.14159），爾樂苦煞吾（26535），把酒吃（897），酒殺爾（932），殺不死（384），樂爾樂（626）?！?祖沖之祖沖之“圓滿圓滿”人生的心路歷程：人生的心路歷程： 3.14159 傷定伊始憶吾舊， 26535 愛路吾深悟。 8979323 布鵑雀鳩甚愛山， 84626 不時遛愛路。 4338327 誓三生不生爾氣， 95028 揪吾擰爾發(fā)。 8419716 罰誓依舊去亦留， 93993 久散久久散！ 7510582 沏壺

10、意寧吾弗愛， 09749 拎酒氣死舅。 4459230 世事無究愛山嶺， 78164 去發(fā)依入寺。 0628620 嶺綠艾發(fā)樂而寧， 89986 不酒久發(fā)樂！ 2803482 愛播靈山事博愛， 53421 吾深思愛矣： 1706798 意氣零落去酒吧， 21480 愛抑逝不臨。 8651328 不樂無益山兒爬， 23066 愛上嶺麓綠。 4709384 始祈領(lǐng)救三發(fā)誓， 46095 釋樂領(lǐng)救吾。 圓周率小數(shù)點(diǎn)后1000位： 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 062862089

11、9 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7

12、892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785

13、771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147

14、303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 黃金比、兔子繁殖、斐波拉契數(shù)列幾何學(xué)有兩大財(cái)富： 畢達(dá)哥拉斯定理 黃金分割比。前者好比金子，后者堪稱珠玉。開普勒 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，是當(dāng)時希臘的一個秘密團(tuán)體，為了保證學(xué)派不被外入流入，他們畫一個正五角星作為學(xué)會的會章。 有一則軼事，說畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一個成員流落異鄉(xiāng)，貧病交迫，無力酬謝房主的殷勤照顧，臨終時要求房主在門前畫一個五角星形。若干年后，有同派的人看到這個標(biāo)志，詢

15、問事情的經(jīng)過，厚報(bào)房主而去。梁宗巨，數(shù)學(xué)歷史典故，P204 黃金分割的系統(tǒng)論述，最早見于歐幾里得幾何原本。卷第11題：“分已知線段為兩部分，使全線段與一小線段構(gòu)成的矩形等于另一小線段上的正方形”，這就是黃金分割的問題。點(diǎn)P成為線段BE 的黃金分割點(diǎn)，使PBE黃金矩形黃金矩形黃金矩形與對數(shù)螺線 兔子出生以后兩個月就能生小免，若每次不多不少恰好生一對(一雌一雄)假如養(yǎng)了初生的小兔一對，試問一年以后共可有多少對免予(如果生下的小兔都不死的話)？我們來推算一下：我們來推算一下： 第一個月；只有一對小兔； 第二個月：小兔子沒有長成不會生殖，仍然只有一對兔子； 第三個月：這對免子生了一對小免，這時共有兩對

16、兔子， 第四個月：老兔子又生了一對小兔，而上月出生的小兔還未成熟，這時共有三對兔子， 第五個月：這時已有兩對兔子可以生殖(原來的老兔和第三個月出生的小兔)，于是生了兩對小兔，這時共有五對兔子五角星套黃金三角形黃金橢圓2概念的內(nèi)涵與外延概念的內(nèi)涵是一個概念所反映的對象的本質(zhì)屬性。 “質(zhì)”本質(zhì)概念的外延是一個概念所反映的全部對象。 “量”范圍概念的內(nèi)涵與外延具有反比關(guān)系：即 內(nèi)涵增加，外延減少； 反之，內(nèi)涵減少，外延增加。平行四邊形內(nèi)涵菱形內(nèi)涵正方形內(nèi)涵平行四邊形外延菱形外延正方形外延3數(shù)學(xué)概念的關(guān)系邏輯方法上只研究概念間的外延關(guān)系.依二個數(shù)學(xué)概念的外延間是否有公共部分或多少,將其關(guān)系分為:相容關(guān)系不相容關(guān)系相容關(guān)系不相容關(guān)系同一關(guān)系從屬關(guān)系交叉關(guān)系對立關(guān)系矛盾關(guān)系A(chǔ)BBAABA BA B4. 數(shù)學(xué)概念的定義定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法.定義由被定義概念、聯(lián)結(jié)項(xiàng)和已定義概念組成有兩邊相等的三角形 叫做 等腰三角形.聯(lián)結(jié)項(xiàng)已定義概念被定義概念概念定義的方式:（1）屬加種差的定義被定義概念=屬+種差如三邊相等的三角形 叫做 等邊三角形.種差屬被定義概念（2）發(fā)生性定義如 由一射線繞著其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的 圖形叫做 角.屬形成特征被定義概念（3）關(guān)系性定義如 能被2整除的 整數(shù) 叫做