高三數(shù)學(xué)三角變換與解三角形PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1高三數(shù)學(xué)三角變換與解三角形高三數(shù)學(xué)三角變換與解三角形1.(2009江西)若函數(shù) 則f(x)的最大值為 ( ) A.1 B.2 C. D.解析 當(dāng)x= 時(shí),函數(shù)取得最大值為2. ,20 ,cos)tan31 ()(xxxxfxxxfcos)tan31 ()()3cos(2sin3cosxxx13 23 B3第1頁(yè)/共40頁(yè)2.(2009廣東)已知ABC中,A,B,C的對(duì)邊分 別為a,b,c,若a=c= 且A=75,則b等于 ( ) A.2 B. C. D.解析 因sin A=sin 75=sin(30+45) =sin 30cos 45+sin 45cos 30= 由a=c= 可知,C=

2、75, 所以B=30,sin B= . 由正弦定理得26 26 32432426 ,426 21.22146262sinsinBAabA第2頁(yè)/共40頁(yè)3.(2009全國(guó))已知ABC中,tan A= ,則 cos A等于 ( ) A. B. C. D. 解析12513513121312135.1312)125(11tan11cos. ),2(,125tan,22AAAAABC中已知D第3頁(yè)/共40頁(yè)4.(2009全國(guó))若 則函數(shù)y=tan 2xtan3x 的最大值為_(kāi).解析,24 x-8.841241)211(211212tan1tan2tan2tan, 1,24,tan222424243tt

3、tttxxxxytxtx令第4頁(yè)/共40頁(yè)題型一 已知三角函數(shù)求值【例1】(2009廣東)已知向量a=( ,-2)與b=(1, )互相垂直,其中 (1)求 的值； 解 (1) a與b互相垂直,ab=sincoscossin 和.cos,20 ,1010)sin()2(的值求若. )2, 0(,0cos2sin.55cos,552sin, )2, 0(,55cos,552sin, 1cossin,cos2sin22又得代入即第5頁(yè)/共40頁(yè)【探究拓展】在解有關(guān)根據(jù)條件求三角函數(shù)值問(wèn)題 時(shí)，首先根據(jù)條件限定某些角的取值范圍,由范圍進(jìn) 而確定出三角函數(shù)值的符號(hào),還應(yīng)注意公式的正用與 逆用及變形應(yīng)用,

4、根據(jù)條件還要注意適當(dāng)拆分角、拼 角等技巧的應(yīng)用. .22)sin(sin)cos(cos)(coscos,10103)(sin1)cos(,22,20 ,20)2(2則第6頁(yè)/共40頁(yè)變式訓(xùn)練1 已知 (1)求sin x的值； 解 . )43,2(,102)4cos(xx.)32sin()2(的值求x4)4sin(sin.1027)4(cos1)4sin(,)2,4(4,)43,2() 1 (2xxxxxx于是所以因?yàn)榈?頁(yè)/共40頁(yè).54221022210274sin)4cos(4cos)4sin(xx.5037243sin2cos3cos2sin)32sin(.2571cos22cos,2

5、524cossin22sin.53)54(1sin1cos),43,2()2(222xxxxxxxxxxx所以所以因?yàn)榈?頁(yè)/共40頁(yè)題型二 三角函數(shù)與解三角形【例2】(2009四川)在ABC中,A,B為銳角,角A, B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,且cos2A= sinB= (1)求A+B的值； (2)若a-b= 求a,b,c的值. 解 (1)A、B為銳角,sin B= cos B= 又cos 2A=1-2sin2A= ,53.1010,12 ,1010.10103sin12B,53,552sin1cos,55sin2AAA第9頁(yè)/共40頁(yè)cos(A+B)=cos Acos B-sin A

6、sin B.4,0.2210105510103552BABA. 5,2,1, 122, 12,5,2,2105,sinsinsin.22sin,43) 1 ()2(cabbbbabcbacbaCcBbAaCC即得由正弦定理知由第10頁(yè)/共40頁(yè)【探究拓展】本小題主要考查同角三角函數(shù)間的關(guān) 系,兩角和差的三角函數(shù)、二倍角公式、正弦定理等 基礎(chǔ)知識(shí)及基本運(yùn)算能力.在求解三角形的面積時(shí)， 應(yīng)注意面積的表達(dá)式有幾種不同表達(dá)方式，應(yīng)靈活 選擇. 第11頁(yè)/共40頁(yè)變式訓(xùn)練2 在ABC中,sin(C-A)=1,sin B= (1)求sin A的值； (2)設(shè)AC= ,求ABC的面積.解.316.33sin

7、, 0sin,31)sin1 (21sin, )2sin2(cos22)24sin(sin,24,2) 1 (2AABABBBABABACAC又且由第12頁(yè)/共40頁(yè)(2)如圖所示,由正弦定理得 又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B.sinsinABCBAC,2331336sinsinBAACBC.233623621sin21,36313632233CBCACSABC第13頁(yè)/共40頁(yè)題型三 向量與解三角形【例3】(2009湖南)在ABC,已知 求角A,B,C的大小. 解設(shè)BC=a,AC=b,AB=c， |32ABACAB,3|2BCAC ,43)65si

8、n(sin.43sin3sinsin,33|3,6), 0(,23cos,3cos2, |32222CCABCabc，BCACABAAAbcAbcACABACAB所以于是得由因此又所以得由第14頁(yè)/共40頁(yè)【探究拓展】解答這一類問(wèn)題,首先要保證向量運(yùn)算 必須正確,否則,反被其累,要很好的掌握正、余弦定 理的應(yīng)用的條件及靈活變形,方能使問(wèn)題簡(jiǎn)捷解答. .32,6,66,32,6,326,32, 032,343236506.0)32sin(,2cos32sin,3sin32cossin2,43)sin23cos21(sin2CBACBACCCCC，CACCCCCCCCC或故或即或從而所以知由即因此

9、第15頁(yè)/共40頁(yè)變式訓(xùn)練3 (2009江西)在ABC中,A、B、C所對(duì) 的邊分別為a、b、c， (1)求C； (2)若 求a,b,c.解.2)31 ( ,6bcA,31CACB.4, 1tan,232123tan21sinsin65coscos65sinsin)6sin(,sinsin2321,2)31 () 1 (CCCCCCCCCBcbbc即得則有得由第16頁(yè)/共40頁(yè).2312,sinsin2)31 (3122, 3122,4.31cos, 31)2(cbaCcAabcababCCabCACB解得則有即得而推出由第17頁(yè)/共40頁(yè)題型四 解三角形與實(shí)際問(wèn)題【例4】(2009海南)如圖,

10、為了解某海域海底構(gòu)造， 對(duì)海平面內(nèi)一條直線上的A、B、C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量.已 知AB=50 m,BC=120 m,于A處測(cè)得水深A(yù)D=80 m,于B 處測(cè)得水深BE=200 m,于C處測(cè)得水深CF=110 m,求 DEF的余弦值. 第18頁(yè)/共40頁(yè)解 作DMAC交BE于N,交CF于M. 在DEF中,由余弦定理得【探究拓展】對(duì)幾何中的計(jì)算問(wèn)題,往往通過(guò)正、余 弦定理把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問(wèn)題,再通過(guò)解三 角函數(shù)達(dá)到求解三角形問(wèn)題的目的. , )m(15012090)()m(13012050, )m(2981017030222222222222BCFCBEEFENDNDEDMMFDF.651615

11、01302298101501302cos222222EFDEDFEFDEDEF第19頁(yè)/共40頁(yè)變式訓(xùn)練4 如圖所示,扇形AOB,圓 心角AOB=60,半徑OA=2,在弧 AB上有一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P做平行于OB 的直線交OA于點(diǎn)C,設(shè)AOP= 求COP面積的最大值及此時(shí) 的值.解 因?yàn)锳OB=60且CPOB,所以O(shè)CP=120, 則在OCP中， OP2=OC2+CP2-2OCCPcos 120 =OC2+CP2+OCCP， 又因OC2+CP22OCCP,所以O(shè)P23OCCP,第20頁(yè)/共40頁(yè) 又OP=OA=2,即OCCP 所以SCOP= OCCPsin 120 = OCCP 即(SCOP)max

12、= 此時(shí)OC=CP， 又OCP=120,所以 =AOP=30. ,342143,33,33第21頁(yè)/共40頁(yè)【考題再現(xiàn)】 (2009山東)設(shè)函數(shù)f(x)=cos(2x+ )+sin2x. (1)求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期； (2)設(shè)A,B,C為ABC的三個(gè)內(nèi)角,若 且C為銳角,求sin A.3)2(,31cosCfB ,41第22頁(yè)/共40頁(yè)【解題示范】 f(x)取得最大值,f(x)最大值= f(x)的最小正周期 故函數(shù)f(x)的最大值為 最小正周期為 6分,)Z(4,222.2sin23212cos21212sin232cos2122cos13sin2sin3cos2cos)() 1

13、 (時(shí)即所以當(dāng)解xkxkxxxxxxxxxf,231,22T,231.第23頁(yè)/共40頁(yè) 因此sin A=sin -(B+C)=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C分求得由分所以為銳角又解得即由10.322sin31cos8.3,.23sin,41sin2321,41)2()2(BBCCCCCf分126322233121322第24頁(yè)/共40頁(yè)1.解三角形常見(jiàn)類型及解法:(1)已知一邊和兩角，用 正弦定理求解,在有解時(shí)只有一解;(2)已知兩邊和夾 角,用余弦定理或正弦定理求解,在有解時(shí)只有一解; (3)已知三邊,用余弦定理求解，在有解時(shí)只有一解; (4)已知兩邊和其中一

14、邊的對(duì)角，用余弦定理或正弦 定理求解,可有兩解、一解或無(wú)解.2.應(yīng)用正、余弦定理解斜三角形應(yīng)用問(wèn)題的方法步 驟:(1)分析:理解題意,分清已知與待求,并畫出示意 簡(jiǎn)圖;(2)建模：根據(jù)條件與所求的目標(biāo),把已知量與 待求量盡量集中在有關(guān)三角形中,建立解斜三角形的第25頁(yè)/共40頁(yè) 數(shù)學(xué)模型;(3)求解:利用余弦定理或正弦定理有序的 解三角形,求得數(shù)學(xué)模型的解；(4)檢驗(yàn):檢驗(yàn)上述所 求解是否有實(shí)際意義，進(jìn)而得出實(shí)際問(wèn)題的解.3.在ABC中常用關(guān)系：(1)abc ABC sin Asin Bsin C;(2)A、B、C成等差數(shù)列 B=60;(3)2b=a+c或b2=ac 0B60. 第26頁(yè)/共4

15、0頁(yè)一、選擇題1.函數(shù)f(x)=sin2x+ sin xcos x在區(qū)間 上的最 大值是 ( ) A.1 B. C. D.解析32,4.23211)(. 1)62sin(21.65623,24.21)62sin(2sin2322cos1cossin3sin)(max2xfxxxxxxxxxxf2313123C第27頁(yè)/共40頁(yè)2.(2009遼寧)已知 等于 ( ) A. B. C. D. 解析22cos2cossinsin, 2tan則43544534.541tan2tantancossincos2cossinsin222222原式D第28頁(yè)/共40頁(yè)3.已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別是2,3,x,

16、則x的取值范 圍是 ( ) A.1x5B. C. D. 解析若3是最大邊,則32x2+22,即x3, 若x是最大邊,則x232+22,即3x . 由上可知135 x513 x50 x513.135 xB第29頁(yè)/共40頁(yè)4.已知a、b、c是ABC的三條對(duì)應(yīng)邊,若滿足(a+b+c) (a+b-c)=3ab,且sin A=2sin Bcos C,那么ABC 是 ( ) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形解析 因?yàn)?a+b+c)(a+b-c)=a2+b2-c2+2ab=3ab, 則 所以C=60, 又sinA=2sin Bcos C,則sin A=sin B,即A=B

17、. ABC為等邊三角形. ,212cos222abcbaCD第30頁(yè)/共40頁(yè)5.在ABC中,若(sin A+sin B):(sin B+sin C): (sin C+sin A)=4:5:6,則C的值為 ( ) A. B. C. D. 解析 由題意可知:(a+b):(b+c):(c+a)=4:5:6, 則a:b:c=5:3:7,令a=5k,b=3k,c=7k (k0),443323.32.2135249925cos222CkkkkkC所以C第31頁(yè)/共40頁(yè)6.在ABC中,若有一個(gè)內(nèi)角不小于120,則最長(zhǎng)邊 與最短邊之比的最小值是 ( ) A. B. C.2 D. 解析 設(shè)C120,則c為最

18、大邊,設(shè)a為最小邊， 則AB,所以A+B=180-C,A(0, ,6. 3cos2sin2sinsin)sin(sinsinAAAABAACac所以B253第32頁(yè)/共40頁(yè)二、填空題7.(2009湖南)在銳角ABC中,BC=1,B=2A,則 的值等于_,AC的取值范圍為_(kāi).解析 由正弦定理:AACcos,sinsinBACABC,230,220,20,3,3,AAAACCACBA.22cos,cossin22sinsinBCAACAAACAACABC第33頁(yè)/共40頁(yè)答案 28.在ABC中,C=60,a、b、c分別為A、B、C的對(duì) 邊，則 =_.解析 由余弦定理可知:a2+b2=c2+ab,

19、.32,cos2,23cos22,46ACAACAA又)3, 2(cabcba. 122222bcacabcbcacabcbcacabcbcacbacabcba又1第34頁(yè)/共40頁(yè)9.如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù),則對(duì)于區(qū)間D上 任意的x1,x2,xn,都有: 現(xiàn)已知y=sin x在0, 上是凸 函數(shù),則在ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值 是_.解析 由題意可知： 所以sin A+sin B+sin C的最大值是nxfxfxfn)()()(21);(21nxxxfn.233sin)3sin(3sinsinsinCBACBA.233233第35頁(yè)/共40頁(yè)10.在ABC中，AC=2BC,若AB=3,則ABC的最大面 積為_(kāi).解析 如圖,作CDAB或其延長(zhǎng)線于D， 設(shè)BC=m,CD=h,BD=t, 則4m2-(3+t)2=m2-t2=h2,m2=2t+3, 當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí),(SABC)max=3. 3,3321,24) 1(3222hSttthABC第36頁(yè)/共40頁(yè)三、解答題11.(2009全國(guó))設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng) 分別為a、b、c,cos(A-C)+cos B= b2=ac,求B.解