數(shù)值分析第1章緒論教案

1、第1章 緒論 計算方法32學時；實驗16學時，分8次，每次2學時第1章 緒論 計算方法第一章第一章 緒緒 論論1 計算方法的任務與特點計算方法的任務與特點2 數(shù)值問題與數(shù)值算法數(shù)值問題與數(shù)值算法3 誤差誤差4 算法的穩(wěn)定性算法的穩(wěn)定性5 如何學習計算方法如何學習計算方法第1章 緒論 計算方法1 計算方法的任務與特點計算方法的任務與特點 1.1什么叫計算方法 （1）舉例 計算人體身高、氣溫描述、兩分法求根f(x)=0。 （2）定義：計算方法是對科學技術中的實際問題進行數(shù)值求解的方法。 1.2計算方法與計算機的關系 （1）計算方法的產(chǎn)生。 （2）計算方法與計算機的關系。第1章 緒論 計算方法1 計

2、算方法的任務與特點計算方法的任務與特點 1.3 計算方法研究的問題 （1）計算方法的分類 數(shù)值代數(shù)、數(shù)值逼近與微分方程數(shù)值解法。 （2）計算方法研究的問題 計算問題：建筑設計、力學結(jié)構(gòu)計算。 數(shù)值模擬：人口系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)、彈道軌跡。 最優(yōu)化問題：人口控制、系統(tǒng)最優(yōu)化設計。 第1章 緒論 計算方法2 數(shù)值問題與數(shù)值算法數(shù)值問題與數(shù)值算法 （1）數(shù)值問題舉例 曲線擬合。 （2）數(shù)值算法舉例 s=1+2+3+100。 ex=1+x+x2/2!+xn/n!. ax2+bx+c=0，求根。 第1章 緒論 計算方法3 誤差誤差 1.1誤差的來源 用數(shù)值計算方法解決科學技術中的實際問題,必須首先建立數(shù)學模型

3、。而數(shù)學模型又只能在感性認識的基礎上,抓住主要因素,忽略次要因素的情況下獲得,故只能近似地描述所給的實際問題,其與實際問題之間有一定的差異,從而出現(xiàn)誤差。這種誤差稱之為“模型誤模型誤差差”。 第1章 緒論 計算方法 在數(shù)學模型中,常常包含了若干參變量,如比重、加速度、阻力系數(shù)等,這些量一般是通過觀測得來的,而觀測的結(jié)果不可能絕對準確,因而就產(chǎn)生了誤差。這種誤差通常稱為“測量誤差”。 例 設某金屬棒在溫度t時的長度為lt(0時金屬棒的長度為l0),則 ltlt=l0(1+t+t2) 這里l01,、為參數(shù),可估計為 =0.00125310-6 =0.00006810-6第1章 緒論 計算方法于是知

4、,lt-lt為模型誤差,10-6是觀測、而產(chǎn)生的誤差,因此為“測量誤差測量誤差”。在計算過程中,我們常用收斂無窮級數(shù)的前幾項代替無窮級數(shù),即拋棄了無窮級數(shù)的后段。這樣得到的誤差稱為“截斷誤差截斷誤差”。 第1章 緒論 計算方法 1.2 絕對誤差和絕對誤差限 定義假設某一量的準確值為x,近似值為x*,則x與x*之差 的絕對誤差(簡稱誤差),記為(x),即 (x)=x-x* (11) (x)的大小標志著x*的精確度。一般地,在同一量的不同近似值中,(x)越小,x*的精確度越高。 第1章 緒論 計算方法 由于準確值x一般不能得到,于是誤差(x)的準確值也無法求得,但在實際測量或計算時,可根據(jù)具體情況

5、事先估計出它的大小范圍。也就是指定一個適當小的正數(shù),使得 |(x)|=x-x* (12) 我們稱為近似值x的絕對誤差限。有時也用 x=x* (13)第1章 緒論 計算方法 表示近似值的精度或準確值的所在范圍。在實際問題中,絕對誤差一般是有量綱的。例如測得某一物件的長度為5m,其誤差限為0.01m,通常將準確長度s記為 s=50.01 即準確值在5m左右,但不超過0.01m的誤差限。第1章 緒論 計算方法 1.3 相對誤差和相對誤差限 絕對誤差并不足以表示近似值的好壞。例如設 x1=1001 x2=10001 近似值x*1=100的絕對誤差限與x*2=1000的絕對誤差限相同,不過100的誤差為

6、1與1000的誤差為1比較,后者應比前者精確。 第1章 緒論 計算方法 定義 我們把絕對誤差與準確值之比 稱為x*的相對誤差。由于準確值x往往是不知道的,因此在實際問題中,常取 *( )( ),0rxxxxxxx(14)*( )( )rxxx第1章 緒論 計算方法 由式(14)可知,相對誤差可以由絕對誤差求出;反之,絕對誤差也可由相對誤差求出。其關系是 (x)=xr(x) (15) 在討論對近似值進行運算結(jié)果的誤差分析時,相對誤差更能反映出誤差的特征。因此在誤差分析中相對誤差比絕對誤差顯得更為重要。第1章 緒論 計算方法 在實際計算中,由于(x)與x都不能準確地求得,因此相對誤差r(x)也不可

7、能準確地得到,于是也像絕對誤差那樣,只能估計它的大小范圍。即指定一個適當小的正數(shù),使 稱為近似值x*的相對誤差限。 ( )rxx(16) 第1章 緒論 計算方法 例1 給定 g(x)=107(1-cosx),試用四位數(shù)學用表求g(2)的近似值。 甲 用下列步驟解題:由于 cos20.9994,故 g(2)=107(1-cos2) 107(1-0.9994) =6000第1章 緒論 計算方法 乙 用另法計算:由于 g(x)=107(1-cosx)2107sin2 查表sin10.0175,故 g(2)=2107sin212107(0.0175)2 61252x第1章 緒論 計算方法 甲、乙都用一

8、本數(shù)學手冊,表的每一個數(shù)都準確到小數(shù)后第四位,答案為什么不一致?誰的答案較正確呢?下面我們來分析甲、乙算題時各自的相對誤差:記 t1=(1-a)107,其中a=cosx, t2=2107b2,其中b=sin(x/2), 三角函數(shù)表給出了四位數(shù)字,它準確到小數(shù)后第三位,而第四位是經(jīng)過“四舍五入”得到的,即有441*1021*102aabb第1章 緒論 計算方法 1.4 有效數(shù)字 對于一個近似值,我們還希望知道它的準確程度,為此,再引進有效數(shù)字的概念。 定義將近似數(shù)x寫成 x=10m+1(110-1+210-2+ 310-3+n10-n) (17)第1章 緒論 計算方法4 算法的數(shù)值穩(wěn)定性算法的數(shù)

9、值穩(wěn)定性 4.1 算法穩(wěn)定的若干原則 例1一元二次方程 x2+2px-q=0 的兩個根分別為 2122xppqxppq 第1章 緒論 計算方法 當p=-0.5105,q=-1時,方程的兩個根取11位有效數(shù)字為 x1=99999.999990 x2=0.000010000000001 而在字長為8,基底為10的計算機上直接用上述公式計算的結(jié)果為 x1=100000.00 x2=0第1章 緒論 計算方法 結(jié)果x1很好,而x2很不理想。這說明直接用上述公式計算第二個根是不穩(wěn)定的。但是若用根與系數(shù)的關系,因為 x1x2=-q=1 則 x2=1/x1 (123) 因此,如果仍用前述方法算出x1,然后用公

10、式 (123) 計算x2便得到 x1=100000.00 x2=0.000010000000 該結(jié)果是非常好的。這就說明后一種算法有較好的數(shù)值穩(wěn)定性。 第1章 緒論 計算方法 例2 計算積分 11011 1110011,1,2,912,3,91/nxnnxnxnnnex edx nex enxedxenenee (124) 利用分部積分法可得從而有遞推公式 第1章 緒論 計算方法 表 11 第1章 緒論 計算方法 這樣,計算e9時所產(chǎn)生的誤差約為 9!=9!4.41210-70.1601 如果采用新的算法,把上述遞推關系改寫成11,3,2nneenn(125) 從后向前計算,則en中的誤差下降

11、為原來的1/n。所以, 若取n足夠大,誤差逐步減小,其影響愈來愈小。為了 得到出發(fā)值,可考慮關系 111001/(1)nxnnex edxx dxn第1章 緒論 計算方法 表 12 第1章 緒論 計算方法 4.2 改善算法的例子 例1 對于充分大的x計算 由于當x很大時, 與 很接近,直接計算會造成有效數(shù)字的嚴重損失,可將原式化為一個等價的公式來計算,也即1xx 1x x111xxxx第1章 緒論 計算方法 例2 當x接近于0時 例3 對于小的正數(shù),可化 1cossinxxsin()sin2cos()sin22xxx例4對于充分大的n 12(1)111(1)nndxarctg narctgnxarctgn n第1章 緒論 計算方法 例5 對于絕對值小的x,可化2311126xexxx 這里將ex在x=0附近展成冪級數(shù) 2311126xexxx 第1章 緒論 計算方法5 如何學習計算方法如何學習計算方法 5.1 計算方法課程特點 數(shù)學基礎 高等數(shù)學、線性代數(shù)、微分方程、計算機語言。 內(nèi)容抽象 公式推導復雜、計算繁瑣。 理論與實際具有一定偏差，計算時需靈活掌握。第1章 緒論 計算方法5 如何學習