數(shù)值分析第1章緒論教案

1、第1章 緒論 計(jì)算方法32學(xué)時(shí)；實(shí)驗(yàn)16學(xué)時(shí)，分8次，每次2學(xué)時(shí)第1章 緒論 計(jì)算方法第一章第一章 緒緒 論論1 計(jì)算方法的任務(wù)與特點(diǎn)計(jì)算方法的任務(wù)與特點(diǎn)2 數(shù)值問(wèn)題與數(shù)值算法數(shù)值問(wèn)題與數(shù)值算法3 誤差誤差4 算法的穩(wěn)定性算法的穩(wěn)定性5 如何學(xué)習(xí)計(jì)算方法如何學(xué)習(xí)計(jì)算方法第1章 緒論 計(jì)算方法1 計(jì)算方法的任務(wù)與特點(diǎn)計(jì)算方法的任務(wù)與特點(diǎn) 1.1什么叫計(jì)算方法 （1）舉例 計(jì)算人體身高、氣溫描述、兩分法求根f(x)=0。 （2）定義：計(jì)算方法是對(duì)科學(xué)技術(shù)中的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值求解的方法。 1.2計(jì)算方法與計(jì)算機(jī)的關(guān)系 （1）計(jì)算方法的產(chǎn)生。 （2）計(jì)算方法與計(jì)算機(jī)的關(guān)系。第1章 緒論 計(jì)算方法1 計(jì)

2、算方法的任務(wù)與特點(diǎn)計(jì)算方法的任務(wù)與特點(diǎn) 1.3 計(jì)算方法研究的問(wèn)題 （1）計(jì)算方法的分類(lèi) 數(shù)值代數(shù)、數(shù)值逼近與微分方程數(shù)值解法。 （2）計(jì)算方法研究的問(wèn)題 計(jì)算問(wèn)題：建筑設(shè)計(jì)、力學(xué)結(jié)構(gòu)計(jì)算。 數(shù)值模擬：人口系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)、彈道軌跡。 最優(yōu)化問(wèn)題：人口控制、系統(tǒng)最優(yōu)化設(shè)計(jì)。 第1章 緒論 計(jì)算方法2 數(shù)值問(wèn)題與數(shù)值算法數(shù)值問(wèn)題與數(shù)值算法 （1）數(shù)值問(wèn)題舉例 曲線(xiàn)擬合。 （2）數(shù)值算法舉例 s=1+2+3+100。 ex=1+x+x2/2!+xn/n!. ax2+bx+c=0，求根。 第1章 緒論 計(jì)算方法3 誤差誤差 1.1誤差的來(lái)源 用數(shù)值計(jì)算方法解決科學(xué)技術(shù)中的實(shí)際問(wèn)題,必須首先建立數(shù)學(xué)模型

3、。而數(shù)學(xué)模型又只能在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上,抓住主要因素,忽略次要因素的情況下獲得,故只能近似地描述所給的實(shí)際問(wèn)題,其與實(shí)際問(wèn)題之間有一定的差異,從而出現(xiàn)誤差。這種誤差稱(chēng)之為“模型誤模型誤差差”。 第1章 緒論 計(jì)算方法 在數(shù)學(xué)模型中,常常包含了若干參變量,如比重、加速度、阻力系數(shù)等,這些量一般是通過(guò)觀(guān)測(cè)得來(lái)的,而觀(guān)測(cè)的結(jié)果不可能絕對(duì)準(zhǔn)確,因而就產(chǎn)生了誤差。這種誤差通常稱(chēng)為“測(cè)量誤差”。 例 設(shè)某金屬棒在溫度t時(shí)的長(zhǎng)度為lt(0時(shí)金屬棒的長(zhǎng)度為l0),則 ltlt=l0(1+t+t2) 這里l01,、為參數(shù),可估計(jì)為 =0.00125310-6 =0.00006810-6第1章 緒論 計(jì)算方法于是知

4、,lt-lt為模型誤差,10-6是觀(guān)測(cè)、而產(chǎn)生的誤差,因此為“測(cè)量誤差測(cè)量誤差”。在計(jì)算過(guò)程中,我們常用收斂無(wú)窮級(jí)數(shù)的前幾項(xiàng)代替無(wú)窮級(jí)數(shù),即拋棄了無(wú)窮級(jí)數(shù)的后段。這樣得到的誤差稱(chēng)為“截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差”。 第1章 緒論 計(jì)算方法 1.2 絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限 定義假設(shè)某一量的準(zhǔn)確值為x,近似值為x*,則x與x*之差 的絕對(duì)誤差(簡(jiǎn)稱(chēng)誤差),記為(x),即 (x)=x-x* (11) (x)的大小標(biāo)志著x*的精確度。一般地,在同一量的不同近似值中,(x)越小,x*的精確度越高。 第1章 緒論 計(jì)算方法 由于準(zhǔn)確值x一般不能得到,于是誤差(x)的準(zhǔn)確值也無(wú)法求得,但在實(shí)際測(cè)量或計(jì)算時(shí),可根據(jù)具體情況

5、事先估計(jì)出它的大小范圍。也就是指定一個(gè)適當(dāng)小的正數(shù),使得 |(x)|=x-x* (12) 我們稱(chēng)為近似值x的絕對(duì)誤差限。有時(shí)也用 x=x* (13)第1章 緒論 計(jì)算方法 表示近似值的精度或準(zhǔn)確值的所在范圍。在實(shí)際問(wèn)題中,絕對(duì)誤差一般是有量綱的。例如測(cè)得某一物件的長(zhǎng)度為5m,其誤差限為0.01m,通常將準(zhǔn)確長(zhǎng)度s記為 s=50.01 即準(zhǔn)確值在5m左右,但不超過(guò)0.01m的誤差限。第1章 緒論 計(jì)算方法 1.3 相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限 絕對(duì)誤差并不足以表示近似值的好壞。例如設(shè) x1=1001 x2=10001 近似值x*1=100的絕對(duì)誤差限與x*2=1000的絕對(duì)誤差限相同,不過(guò)100的誤差為

6、1與1000的誤差為1比較,后者應(yīng)比前者精確。 第1章 緒論 計(jì)算方法 定義 我們把絕對(duì)誤差與準(zhǔn)確值之比 稱(chēng)為x*的相對(duì)誤差。由于準(zhǔn)確值x往往是不知道的,因此在實(shí)際問(wèn)題中,常取 *( )( ),0rxxxxxxx(14)*( )( )rxxx第1章 緒論 計(jì)算方法 由式(14)可知,相對(duì)誤差可以由絕對(duì)誤差求出;反之,絕對(duì)誤差也可由相對(duì)誤差求出。其關(guān)系是 (x)=xr(x) (15) 在討論對(duì)近似值進(jìn)行運(yùn)算結(jié)果的誤差分析時(shí),相對(duì)誤差更能反映出誤差的特征。因此在誤差分析中相對(duì)誤差比絕對(duì)誤差顯得更為重要。第1章 緒論 計(jì)算方法 在實(shí)際計(jì)算中,由于(x)與x都不能準(zhǔn)確地求得,因此相對(duì)誤差r(x)也不可

7、能準(zhǔn)確地得到,于是也像絕對(duì)誤差那樣,只能估計(jì)它的大小范圍。即指定一個(gè)適當(dāng)小的正數(shù),使 稱(chēng)為近似值x*的相對(duì)誤差限。 ( )rxx(16) 第1章 緒論 計(jì)算方法 例1 給定 g(x)=107(1-cosx),試用四位數(shù)學(xué)用表求g(2)的近似值。 甲 用下列步驟解題:由于 cos20.9994,故 g(2)=107(1-cos2) 107(1-0.9994) =6000第1章 緒論 計(jì)算方法 乙 用另法計(jì)算:由于 g(x)=107(1-cosx)2107sin2 查表sin10.0175,故 g(2)=2107sin212107(0.0175)2 61252x第1章 緒論 計(jì)算方法 甲、乙都用一

8、本數(shù)學(xué)手冊(cè),表的每一個(gè)數(shù)都準(zhǔn)確到小數(shù)后第四位,答案為什么不一致?誰(shuí)的答案較正確呢?下面我們來(lái)分析甲、乙算題時(shí)各自的相對(duì)誤差:記 t1=(1-a)107,其中a=cosx, t2=2107b2,其中b=sin(x/2), 三角函數(shù)表給出了四位數(shù)字,它準(zhǔn)確到小數(shù)后第三位,而第四位是經(jīng)過(guò)“四舍五入”得到的,即有441*1021*102aabb第1章 緒論 計(jì)算方法 1.4 有效數(shù)字 對(duì)于一個(gè)近似值,我們還希望知道它的準(zhǔn)確程度,為此,再引進(jìn)有效數(shù)字的概念。 定義將近似數(shù)x寫(xiě)成 x=10m+1(110-1+210-2+ 310-3+n10-n) (17)第1章 緒論 計(jì)算方法4 算法的數(shù)值穩(wěn)定性算法的數(shù)

9、值穩(wěn)定性 4.1 算法穩(wěn)定的若干原則 例1一元二次方程 x2+2px-q=0 的兩個(gè)根分別為 2122xppqxppq 第1章 緒論 計(jì)算方法 當(dāng)p=-0.5105,q=-1時(shí),方程的兩個(gè)根取11位有效數(shù)字為 x1=99999.999990 x2=0.000010000000001 而在字長(zhǎng)為8,基底為10的計(jì)算機(jī)上直接用上述公式計(jì)算的結(jié)果為 x1=100000.00 x2=0第1章 緒論 計(jì)算方法 結(jié)果x1很好,而x2很不理想。這說(shuō)明直接用上述公式計(jì)算第二個(gè)根是不穩(wěn)定的。但是若用根與系數(shù)的關(guān)系,因?yàn)?x1x2=-q=1 則 x2=1/x1 (123) 因此,如果仍用前述方法算出x1,然后用公

10、式 (123) 計(jì)算x2便得到 x1=100000.00 x2=0.000010000000 該結(jié)果是非常好的。這就說(shuō)明后一種算法有較好的數(shù)值穩(wěn)定性。 第1章 緒論 計(jì)算方法 例2 計(jì)算積分 11011 1110011,1,2,912,3,91/nxnnxnxnnnex edx nex enxedxenenee (124) 利用分部積分法可得從而有遞推公式 第1章 緒論 計(jì)算方法 表 11 第1章 緒論 計(jì)算方法 這樣,計(jì)算e9時(shí)所產(chǎn)生的誤差約為 9!=9!4.41210-70.1601 如果采用新的算法,把上述遞推關(guān)系改寫(xiě)成11,3,2nneenn(125) 從后向前計(jì)算,則en中的誤差下降

11、為原來(lái)的1/n。所以, 若取n足夠大,誤差逐步減小,其影響愈來(lái)愈小。為了 得到出發(fā)值,可考慮關(guān)系 111001/(1)nxnnex edxx dxn第1章 緒論 計(jì)算方法 表 12 第1章 緒論 計(jì)算方法 4.2 改善算法的例子 例1 對(duì)于充分大的x計(jì)算 由于當(dāng)x很大時(shí), 與 很接近,直接計(jì)算會(huì)造成有效數(shù)字的嚴(yán)重?fù)p失,可將原式化為一個(gè)等價(jià)的公式來(lái)計(jì)算,也即1xx 1x x111xxxx第1章 緒論 計(jì)算方法 例2 當(dāng)x接近于0時(shí) 例3 對(duì)于小的正數(shù),可化 1cossinxxsin()sin2cos()sin22xxx例4對(duì)于充分大的n 12(1)111(1)nndxarctg narctgnxarctgn n第1章 緒論 計(jì)算方法 例5 對(duì)于絕對(duì)值小的x,可化2311126xexxx 這里將ex在x=0附近展成冪級(jí)數(shù) 2311126xexxx 第1章 緒論 計(jì)算方法5 如何學(xué)習(xí)計(jì)算方法如何學(xué)習(xí)計(jì)算方法 5.1 計(jì)算方法課程特點(diǎn) 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 高等數(shù)學(xué)、線(xiàn)性代數(shù)、微分方程、計(jì)算機(jī)語(yǔ)言。 內(nèi)容抽象 公式推導(dǎo)復(fù)雜、計(jì)算繁瑣。 理論與實(shí)際具有一定偏差，計(jì)算時(shí)需靈活掌握。第1章 緒論 計(jì)算方法5 如何學(xué)習(xí)