高等數(shù)學(xué)重積分的應(yīng)用

1、2021/6/161第四節(jié)一、立體體積一、立體體積 二、曲面的面積二、曲面的面積 三、物體的質(zhì)心三、物體的質(zhì)心 四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 五、物體的引力五、物體的引力 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 重積分的應(yīng)用 第十章 2021/6/1621. 能用重積分解決的實(shí)際問題的特點(diǎn)所求量是 對(duì)區(qū)域具有可加性 從定積分定義出發(fā) 建立積分式 用微元分析法 (元素法) 分布在有界閉域上的整體量 3. 解題要點(diǎn) 畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、 定出積分限、計(jì)算要簡便 2. 用重積分解決問題的方法 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/163一、立體體積一、立體體積 曲頂柱

2、體曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面),(yxfz 則其體積為DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有空間有界域空間有界域 的立體的體積為zyxVddd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/164xoyza2例例1 1. 求半徑為a 的球面與半頂角為 的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解解: 在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)?則立體體積為zyxVdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20ar 0200dsin20drrvdddsind2rM機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/165MAdzdn二、曲面的面積二、曲面的面積xyzSo設(shè)光滑曲

3、面DyxyxfzS),( , ),(:則面積 A 可看成曲面上各點(diǎn)),(zyxM處小切平面的面積 d A 無限積累而成. 設(shè)它在 D 上的投影為 d ,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(稱為面積元素)則Mnd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/166故有曲面面積公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程為zyzxyxAdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx則有zyD即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/167xzxyzyAdd)()(12

4、2若光滑曲面方程為 ,),( , ),(xzDxzxzhy若光滑曲面方程為隱式,0),(zyxF則則有yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,AyxDxzDzzyxFFFF222,0zF且yxdd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/168例例2. 計(jì)算雙曲拋物面yxz 被柱面222Ryx所截解解: 曲面在 xoy 面上投影為,:222RyxD則yxzzADyxdd122yxyxDdd122ddR02201 )1)1( 32232R出的面積 A .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/169三、物體的質(zhì)心三、物體的質(zhì)心設(shè)空間有n個(gè)質(zhì)點(diǎn), ),(kkkzyx其質(zhì)量分別,

5、 ),2, 1(nkmk由力學(xué)知, 該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo),11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11設(shè)物體占有空間域 ,),(zyx有連續(xù)密度函數(shù)則 公式 ,分別位于為為即:采用 “大化小, 常代變, 近似和, 取極限” 可導(dǎo)出其質(zhì)心 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/1610將 分成 n 小塊, ),(kkk將第 k 塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)),(kkk例如,nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(令各小區(qū)域的最大直徑,0zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo).的質(zhì)點(diǎn),即得此質(zhì)點(diǎn)在第 k 塊

6、上任取一點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/1611同理可得zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,),(常數(shù)時(shí)當(dāng)zyx則得形心坐標(biāo)：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的體積為zyxVddd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/1612若物體為占有xoy 面上區(qū)域 D 的平面薄片, ),(yx為yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(,常數(shù)時(shí),ddAyxxxDAyxyyDdd(A 為 D 的面積)得D 的形心坐標(biāo):則它的質(zhì)心坐標(biāo)為

7、MMyMMx其面密度 xMyM 對(duì) x 軸的 靜矩 對(duì) y 軸的 靜矩機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/16134例例3. 求位于兩圓sin2sin4和的質(zhì)心. 2D解解: 利用對(duì)稱性可知0 x而DyxyAydd1D231ddsindsinsin422dsin956042956dsin295620437之間均勻薄片0dsin3143212oyxC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/1614Vzyxzzddd例例4. 一個(gè)煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形, 剖面壁線的方程為, 30,)3(922zzzx內(nèi)儲(chǔ)有高為 h 的均質(zhì)鋼液,解解: 利用對(duì)稱性可知質(zhì)心在 z 軸上，,0 yx采

8、用柱坐標(biāo), 則爐壁方程為,)3(922zzrzyxVdddhzzz02d)3(9zDhyxzddd0因此故自重, 求它的質(zhì)心.oxzh若爐不計(jì)爐體的其坐標(biāo)為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/1615hzzz022d)3(9zDhyxzzddd0zyxdzdd)51233(923hhh225409043060hhhhhzoxzh)41229(923hhhV機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/1616四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域 , 有連續(xù)分布的密度函數(shù). ),(zyx該物體位于(x , y , z) 處的微元 vzyxyxd),()(22因

9、此物體 對(duì) z 軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:zyxzyxyxIzddd),()(22zIdxyoz對(duì) z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和, 故 連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用積分計(jì)算. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/1617類似可得:zyxzyxIxddd),( zyxzyxIyddd),( zyxzyxIoddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx對(duì) x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì) y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/1618如果物體是平面薄片,面密度為Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),( DoyxyxId

10、d),( 則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式是二重積分.xDyo2y2x)(22yx DyyxyxIdd),( 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/1619ddsina0302例例5.求半徑為 a 的均勻半圓薄片對(duì)其直徑解解: 建立坐標(biāo)系如圖, 0:222yayxDyxyIDxdd2D23ddsin441a481a2212oxyDaa的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/1620)sinsincossin(222222rr解解: 取球心為原點(diǎn), z 軸為 l 軸,:2222azyx則zIzyxyx22ddd)(5a525a158dddsin2rr olzxy132220d

11、dsin03rrad04例例6.6.求均勻球體對(duì)于過球心的一條軸 l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.設(shè)球 所占域?yàn)?用球坐標(biāo)) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021/6/1621aaR1122xyzoR例例7. 設(shè)面密度為 ,半徑為R的圓形薄片求它對(duì)位于點(diǎn)解解: 由對(duì)稱性知引力zFddaG,222Ryx)0(), 0 , 0(0aaMDzaGFaGaG2處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力. 2ddGdaR020da0M。, 0z),0,0(zFF 23222)(dayx23222)(dayx2322a )(d機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 五、物體的引力五、物體的引力2021/6/1622)(th( t 為時(shí)間

12、) 的雪堆在融化過程中,其側(cè)面滿足方程,)()(2)(22thyxthz設(shè)長度單位為厘米, 時(shí)間單位為小時(shí), 設(shè)有一高度為已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(比例系數(shù) 0.9 ), 問高度為130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小時(shí)? (2001考研考研)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題2021/6/1623提示提示:yxzo記雪堆體積為 V, 側(cè)面積為 S ,則)(:221220thyxD)()(:22122zththyxDzVzDyxdd)(0dthz)(0221d)()(thzzththS0Dyxzzyxdd)()(1220D)()(162221thyx )(2thd)(2216th02)(th)(12132th)(43thy