對有限元方法的認識

1、.我對有限元方法的認識1有限元法概念有限元方法（The Finite Element Method, FEM）是計算機問世以后迅速發(fā)展起來的一種分析方法。每一種自然現(xiàn)象的背后都有相應的物理規(guī)律，對物理規(guī)律的描述可以借助相關的定理或定律表現(xiàn)為各種形式的方程（代數(shù)、微分、或積分）。這些方程通常稱為控制方程（Governing equation）。針對實際的工程問題推導這些方程并不十分困難，然而，要獲得問題的解析的數(shù)學解卻很困難。人們多采用數(shù)值方法給出近似的滿足工程精度要求的解答。有限元方法就是一種應用十分廣泛的數(shù)值分析方法。有限元方法是處理連續(xù)介質問題的一種普遍方法，離散化是有限元方法的基礎。這種

2、思想自古有之：古代人們在計算圓的周長或面積時就采用了離散化的逼近方法：即采用內接多邊形和外切多邊形從兩個不同的方向近似描述圓的周長或面積，當多邊形的邊數(shù)逐步增加時近似值將從這兩個方向逼近真解。近年來隨著計算機技術的普及和計算速度的不斷提高，有限元分析在工程設計和分析中得到了越來越廣泛的重視，已經成為解決復雜的工程分析計算問題的有效途徑，現(xiàn)在從汽車到航天飛機幾乎所有的設計制造都已離不開有限元分析計算，其在機械制造、材料加工、航空航天、汽車、土木建筑、電子電器、國防軍工、船舶、鐵道、石化、能源、科學研究等各個領域的廣泛使用已使設計水平發(fā)生了質的飛躍。國際上早在 60 年代初就開始投入大量的人力和物

3、力開發(fā)有限元分析程序?！坝邢迒卧笔怯蒀lough R W于1960年首次提出的。但真正的有限元分析軟件是誕生于 70 年代初期，隨著計算機運算速度的提高，內、外存容量的擴大和圖形設備的發(fā)展，以及軟件技術的進步，發(fā)展成為有限元分析與設計軟件，但初期其前后處理的能力還是比較弱的，特別是后處理能力更弱。到 70 年代中期有限元界的先導就在有限元軟件中引入了圖形技術及交互式操作方式，使有限元的前后處理進入一個嶄新的歷史階段。此時，用戶就可以從繁瑣的數(shù)據中解放出來。到了 80 年代，隨著 PC 機的發(fā)展，有限元程序開始從大中型計算機向小型、微型機上移植，并努力保持有限元軟件在各種硬件平臺上具有完全統(tǒng)的

4、用戶界面。進入九十年代后，隨著計算機軟硬件的飛速發(fā)展，線性、非線性有限元分析方法的日趨完善，有限元分析已從小規(guī)模線性問題轉向大規(guī)模線性、非統(tǒng)性分析，從單個物理場分析轉向多種物理場之間耦合的大規(guī)模線性、非線性分析。目前，國外大型通用有限元軟件基本上是一個功能強大靈活的設計分析及優(yōu)化軟件包。它可浮動運行于從 PC 機、NT 工作站、 UNIX 工作站直至巨型機的各類計算機及操作系統(tǒng)中，數(shù)據文件在其所有的產品系列和工作平臺上均兼容。有限元法，是一種求解數(shù)學、物理問題的數(shù)值方法。其思想是將原結構劃分為許多單元，用這些離散單元的集合體代替原結構，用近似函數(shù)表示單元內的真實場變量，從而給出離散模型的數(shù)值解

5、。在眾多數(shù)學家的共同努力下，這種方法擺脫了各種各樣的工程背景而成為一種具有普遍意義的數(shù)學方法。從選擇未知量的角度看，有限元方法分為三類：位移法，力法和混合法。因位移法條理清晰，易于實現(xiàn)計算自動化，故應用較廣。2有限元法的基本步驟有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為：(1)建立積分方程，建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達式。 (2)區(qū)域單元剖分，根據求解區(qū)域的形狀及實際問題的物理特點，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。 (3)確定單元基函數(shù)，根據單元中節(jié)點數(shù)目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。(4)單元分析，獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點的參數(shù)值

6、)的代數(shù)方程組單元有限元方程。(5)總體合成，在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進行累加，形成總體有限元方程。(6)邊界條件，邊界條件分為本質邊界條件、自然邊界條件、混合邊界條件。自然邊界條件:一般在積分表達式中可自動得到滿足。本質邊界條件和混合邊界條件:需按一定法則對總體有限元方程進行修正滿足。 (7)解有限元方程，根據邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉 方程組，采用適當?shù)臄?shù)值計算方法求解，可求得各節(jié)點的函數(shù)值。簡單來說，有限元的基本步驟為：結構離散，單元分析，總體分析，數(shù)值求解。3有限元模型建立、網格劃分及求解31有限元模型建立有限元模型的

7、建立可分為直接法和間接法（也稱實體建模）。直接法是直接根據機械結構的幾何外形建立節(jié)點和元素，此法僅僅適用于簡單的或有特殊要求的結構系統(tǒng)。簡單結構如上圖間接法是通過點、線、面、體積，先建立幾何模型，再進行實體網格劃分，以完成有限元模型的建立過程。大部分的有限元分析模型都用實體模型建模。ANSYS以數(shù)學的方式表達結構的幾何形狀，用于在里面填充節(jié)點和單元。此法首先要建立幾何實體，故又稱實體建模。從最低階到最高階，ANSYS實體建模圖元的層次關系為：l 關鍵點（Keypoints）；l 線（Lines）；l 面（Areas）；l 體（Volumes）；如果低階的圖元連在高階圖元上，則低階圖元不能刪除。

8、實體建模的建立方法有：1. 由下往上法（bottom-up Method）由建立最低單元的點到最高單元的體積，即建立點，再由點連成線，然后由線組合成面積，最后由面積組合建立體積；2. 由上往下法（top-down method）及布爾運算命令一起使用。此方法直接建立較高單元對象，其所對應的較低單元對象一起產生，對象單元高低順序依次為體積、面積、線段及點。然后利用布爾運算為對象相互加、減、組合等以得到實體。多數(shù)情況下，實體建模是這兩種方法混合使用。32有限元網格劃分幾何實體模型并不參與有限元分析。所有施加在幾何實體邊界上的載荷或約束必須最終傳遞到有限元模型上（節(jié)點或單元上）進行求解。用有限元進行

9、結構分析時，首先應該對結構的幾何模型進行網格劃分。由幾何模型創(chuàng)建有限元模型的過程叫作網格劃分（meshing)。當計算方法和邊界條件確定以后，幾何模型網格劃分好壞，直接影響計算結果的準確性。通常有這樣的說法：邊界條件決定計算結果正確與否；網格劃分決定計算結果的精確程度。因此，幾何模型網格劃分是有限元結構分析的重要環(huán)節(jié)。網格劃分可以從以下幾個方面考慮。（1）單元類型對于梁結構，在兩個節(jié)點之間可根據需要劃分多個單元。但要注意：如果想得到中間節(jié)點的撓度，需將梁結構劃分偶數(shù)等分。對于拉桿、拉索，在兩個節(jié)點之間，一定不要再劃分單元，即兩節(jié)點之間只用一個單元，如果劃分幾個單元反而不能描述拉桿、拉索的真實變

10、形。對于面或體結構網格劃分時，盡量采用高精度單元，不采用常應變單元。如果為了模擬復雜邊界，對于平面盡量采用6節(jié)點三角形單元或8節(jié)點四邊形單元，不采用3節(jié)點三角形單元或4節(jié)點四邊形單元；對于四面體盡量采用10節(jié)點單元，不采用4節(jié)點單元；對于五面體盡量采用9節(jié)點單元或15節(jié)點單元，不采用6節(jié)點單元；對于六面體盡量20節(jié)點單元，不采用8節(jié)點單元。當然這些情況應該具體問題靈活處理，并不是絕對固定的。（2）面或體單元形態(tài)1）網格劃分時，單元面內角度的變化用扭曲度描述，它代表了單元面內的扭轉和面外翹曲程度。不同單元的扭曲度不同，其值由經驗確定。2）網格劃分時,單元各邊之間的比例不能太大，對于線性單元（例如

11、：4節(jié)點四邊形單元、8節(jié)點六面體單元等）要求小于3；對于二次單元（例如：8節(jié)點四邊形單元、20節(jié)點六面體單元等）要求小于10等等。（3）面或體單元大小標準單元的邊長通常以幾何模型的最小尺寸確定，即如果幾何模型的厚度是結構的最小尺寸，那么標準單元的邊長至少應與這個厚度相當。高應力區(qū)和應力集中區(qū)的單元應該細分，單元大小取決于計算精度要求。（4）面或體單元過渡1）從小單元到大單元過渡時，應使同一節(jié)點所連接的單元不致相差太大，避免突然過渡現(xiàn)象。通常用計算結果調整，保證同一節(jié)點所連接的單元精度值至少在0.1以下。單元精度值根據單元內節(jié)點應力與節(jié)點平均應力的誤差計算。2）難于過度處最好使用過渡單元，過渡單

12、元的使用要比用同一單元勉強過渡的計算結果要好。例如：對于復雜體結構間的過渡，最好使用“金子塔”單元過渡。（5）面或體轉接部位的單元幾何模型圓角過渡處的單元劃分，根據弧長對應的圓心角和半徑確定，對于半徑為3mm左右、圓心角大于90度的轉接弧長，通常至少要劃分34個單元。（6）高應力區(qū)的單元對高應力區(qū)，要進行網格細分應力穩(wěn)定性計算。即采用多次局部網格細分并進行計算，當前、后兩次計算結果滿足所需的精度要求時（通常要求小于0.03）確定網格。總之，幾何模型網格劃分時，要在單元類型、單元形態(tài)、單元大小、單元過渡和局部應力穩(wěn)定等方面下功夫，才能滿足工程上的精度要求，達到預期的結果。網格劃分有三步:第一步：

13、定義單元屬性。單元有下列屬性：單元類型TYPE、實常數(shù)REAL、材料屬性MAT。單元類型選項決定如下的單元特性:1) 自由度 (DOF)設置；例如，一個熱單元類型有一個自由度：TEMP，而一個結構單元類型可能有6個自由度： UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ；2) 單元形狀塊,四面體, 四邊形,三角形等；3) 維數(shù)2-D (僅有X-Y 平面), 3-D；4) 假定的位移形函數(shù)線性及二次。注意：單元類型選擇錯誤，結果肯定是錯誤的。實常數(shù)用于描述那些由單元幾何模型不能完全確定的幾何形狀。例如:1) 梁單元是由連接兩個節(jié)點的線來定義的，這只定義了梁的長度。要指明梁的橫截面屬性，

14、如面積和慣性矩，就要用到實常數(shù)；2) 殼單元是由四面體或四邊形來定義的，這只定義了殼的表面積，要指明殼的厚度，必須用實常數(shù)；3) 許多 3-D 實體單元不需要實常數(shù)，因為單元幾何模型已經由節(jié)點完全定義。材料屬性是定義材料的性質或參數(shù)。如EX，NUXY、應力-應變關系等。第二步：定義網格控制。設計網格劃分的參數(shù)，主要是定義邊界元素的大小和數(shù)目。這一步非常重要，將影響分析時的正確性和經濟性。網格細也許會得到很好的結果，但會占用大量的分析時間 ，有時候，網格過細會造成不同網格劃分時連接困難。因此需要在正確性和經濟性之間找到平衡。解決的辦法是確定網格數(shù)對計算結果的影響趨勢，然后選擇合適的元素大小。另外

15、就是定義網格的形狀如三角形、四邊形和形式如自由網格還是映射網格等。第三步：產生網格。當實體模型建好并劃分網格后，需要對模型加載與施加邊界條件。加載方式有兩種:直接在幾何實體模型加載與在節(jié)點和單元上加載。直接在實體模型加載有以下優(yōu)點：1. 操作比較方便；2. 幾何模型獨立于有限元網格，重新劃分網格或局部網格修改時不影響載荷。無論怎樣加載，ANSYS求解器自動將載荷轉化到有限元模型上。33有限元模型求解在求解初始化前，應進行分析數(shù)據檢查，包括下面內容:1) 統(tǒng)一的單位；2) 單元類型和選項；3) 材料性質參數(shù):考慮慣性時應輸入材料密度;熱應力分析時應輸入材料的熱膨脹系數(shù)；4) 實常數(shù) (單元特性)

16、；5) 單元實常數(shù)和材料類型的設置；6) 模型中不應存在的縫隙；7) 節(jié)點坐標系；8) 集中、體積載荷；9) 面力方向；10) 溫度場的分布和范圍；11) 熱膨脹分析的參考溫度 (與 ALPX 材料特性協(xié)調)。在求解過程中，可能會出現(xiàn)錯誤:有約束不夠、結果不收斂、單元過于扭曲等。針對出現(xiàn)的error對話框，查到問題所在。求解完畢，進入后處理對話框。并不是沒有出現(xiàn)error的結果都是合理的。1. 經驗判斷： 重力方向總是豎直向下的； 離心力總是沿徑向向外的； 沒有一種材料能抵抗 1,000,000 psi 的應力； 彎曲載荷造成的應力使一側受壓，另一側受拉；2. 結構受力是否平衡： 水平方向上的

17、力與豎直方向的力都要平衡； 作用力與反作用力相等等。4有限元軟件的基本介紹有限元分析（FEA，F(xiàn)inite Element Analysis）方法為解決復雜的工程分析計算問題提供了有效的途徑要用有限元方法的理論來解決實際問題離不開計算機（硬件）和程序（軟件），大體要完成以下四方面的工作：1) 數(shù)據儲存2) 數(shù)據管理3) 數(shù)值計算4) 前處理及后處理國際上早20世紀在50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力開發(fā)具有強大功能的有限分析程序。其中最為著名的是由美國國家宇航局（NASA）在1965年委托美國計科學公司和貝爾航空系統(tǒng)公司開發(fā)的NASTRAN有限元分析系統(tǒng)。該系統(tǒng)發(fā)展至今有幾十個版本，

18、是目前世界上規(guī)模最大、功能最強的有限元分析系統(tǒng)。專用或通用有限元分析軟件，主要有德國的ASKA、英國的PAFEC、法國的SYSTUS、美國的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的產品。5有限元法的發(fā)展現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢5.1有限元法的應用有限元法的應用已由彈性力學平面問題擴展到空間問題、板殼問題，由靜力平衡問題擴展到穩(wěn)定問題、動力問題和波動問題，分析對象從彈性材料擴展到塑性、粘彈性、粘塑性和復合材料等，從固體力學擴展到流體力學、傳熱學、電磁學等領域。由于計算機的飛速發(fā)展，使得有限元法在工程中得到了廣泛應用。有限元法

19、是一種求解復雜工程結構的非常有效的數(shù)值方法，是將所研究的工程系統(tǒng)轉化成一個結構近似的有限元系統(tǒng)圈，該系統(tǒng)由節(jié)點及單元組合而成，以取代原有的工程系統(tǒng)。有限元系統(tǒng)可以轉化成一個數(shù)學模式，并根據數(shù)學模式，進而得到該有限元系統(tǒng)的解答，并通過節(jié)點、單元表現(xiàn)出來。完整有限元模型除了節(jié)點、單元外，還包含工程系統(tǒng)本身所具有的邊界條件、約束條件、外力負載等。有限元法是目前工程技術領域中實用性最強，應用最為廣泛的數(shù)值模擬方法。它的基本思想是將問題的求解域劃分為一系列單元，單元之間僅靠節(jié)點連接。單元內部點的待求物理量可由單元節(jié)點物理量通過選定的函數(shù)關系插值求得。由于單元形狀簡單，易于由平衡關系或能量關系建立節(jié)點量之

20、間的方程式，然后將各個單元方程“裝配”在一起而形成總體代數(shù)方程組，加入邊界條件后即可對方程組求解。5.2有限元法的發(fā)展趨勢從發(fā)展上來說，國際上數(shù)值模擬軟件發(fā)展呈現(xiàn)出以下一些趨勢特征 ：1) 從單純的結構力學計算發(fā)展到求解許多物理場問題。數(shù)值模擬分析方法最早是從結構化矩陣分析發(fā)展而來，逐步推廣到板、殼和實體等連續(xù)體固體力學分析，實踐證明這是一種非常有效的數(shù)值分析方法。近年來數(shù)值模擬方法已發(fā)展到流體力學、溫度場、電傳導、磁場、滲流和聲場等問題的求解計算，最近又發(fā)展到求解幾個交叉學科的問題。例如內爆炸時，空氣沖擊波使墻、板、柱產生變形，而墻、板、柱的變形又反過來影響到空氣沖擊波的傳播這就需要用固體力

21、學和流體動力學的數(shù)值分析結果交叉迭代求解，即所謂“流固耦合”的問題。2) 由求解線性工程問題進展到分析非線性問題。線性理論已經遠遠不能滿足設計的要求，許多工程問題如材料的破壞與失效、裂紋擴展等僅靠線性理論根本不能解決，必須進行非線性分析求解。眾所周知，非線性問題的求解是很復雜的，它不僅涉及到很多專門的數(shù)學問題，還必須掌握一定的理論知識和求解技巧，學習起來也較為困難。為此國外一些公司花費了大量的人力和物力開發(fā)非線性求解分析軟件它們具有高效的非線性求解器、豐富而實用的非線性材料庫。3) 與CAD軟件的無縫集成。當今有限元分析軟件的一個發(fā)展趨勢是與通用CAD軟件的集成使用，即在用CAD軟件完成部件和零件的造型設計后，能直接將模型傳送到有限元分析軟件中進行有限元網格劃分并進行分析計算，如果分析的結果不滿足設計要求則重新進行設計和分析，直到滿意為止，從而極大地提高了設計水平和效率。4) 強大的網格處理能力。由于結構離散后的網格質量直接影響到求解時間及求解結果的正確性與否，近年來各軟件開發(fā)商都加大了其在網格處理方面的投入，使網格生成的質量和效率都有了很大的提高?，F(xiàn)在大多數(shù)軟件都能采用映射、拖拉、掃略等功能