變分方法對(duì)二維玻色

1、變分方法對(duì)二維玻色-愛(ài)因斯坦凝聚態(tài)201101020307 陳能進(jìn)云南省紅河學(xué)院一一物理2班 云南 蒙自 661100摘要：根據(jù)給出的英文文章進(jìn)行翻譯之后，對(duì)這篇文章所做的工作進(jìn)行一個(gè)概括性的綜述，也可以提出一些自己的想法！L. Pricoupenko理論物理研究實(shí)驗(yàn)室的液體,皮埃爾與瑪麗居里大學(xué),4 place Jussieu 75252 Paris,France法國(guó)巴黎sceaux 05(收到2003年9月10日,2004年7月1日公布) 我們構(gòu)建一個(gè)多體的二維高斯變分方法困玻色氣體冷凝階段. 粒子之間的相互作用是modelized廣義偽勢(shì)的零距離ultradilute限制,允許恢復(fù)使混亂

2、的結(jié)果, 雖然noncondensate粒子的行動(dòng)在冷凝部分是考慮更高的密度。作為一個(gè)應(yīng)用程序中,我們得到的方程州和解決穩(wěn)定性問(wèn)題中遇到類似的平均場(chǎng)形式一個(gè)漩渦配置。根本原因和最終的未來(lái)的應(yīng)用程序,超冷原子氣體被困在減少幾何圖形已成為一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的領(lǐng)域。二維(2 d)配置是特別有趣的各種期望功能包括Bose -之間的相互作用愛(ài)因斯坦Kosterlitz-Thouless轉(zhuǎn)換、概念可調(diào)的“Bose - Einstein”冷凝物(BEC的1), 而在旋轉(zhuǎn)情況下的可能實(shí)現(xiàn)部分的氣體統(tǒng)計(jì)2。使用偏振Quasi-2D BEC的產(chǎn)生氫原子吸附在氦電影3quasicondensate階段的明確證據(jù)。幾個(gè)實(shí)

3、驗(yàn)組(4 - 8)現(xiàn)在quasi-2D配置感興趣使用光學(xué)和磁光陷阱更靈活等不同的物理參數(shù)原子密度或強(qiáng)度的交互。在理論方面,一般形式非常不同于通常的manybody他們考慮到熱的治療階段波動(dòng)和特定的散射特性(9-14). 在本文中,我們使用高斯變分的方法研究凝析油相的多體的問(wèn)題2D BEC15。我們表明,描述之間的相互作用原子與所謂的 16是一個(gè)潛力簡(jiǎn)單的方法來(lái)構(gòu)造一個(gè)無(wú)間隙的和一致的理論。我們表明,描述之間的相互作用原子與所謂的 16是一個(gè)潛力簡(jiǎn)單的方法來(lái)構(gòu)造一個(gè)無(wú)間隙的和一致的理論。在3D配置,這種形式主義已經(jīng)發(fā)達(dá)16,并允許我們?cè)谝粋€(gè)純粹的變分恢復(fù)的無(wú)間隙的HFB-G2處方17。在2D政權(quán)

4、,這種方式的考慮noncondensed后面的行動(dòng)粒子在凝析氣田帶來(lái)有趣特性。本文由三個(gè)部分組成。在第一個(gè)部分中,我們描述系統(tǒng)的modelization和回憶在兩個(gè)維度雙體的一些基本問(wèn)題使用范圍近似為零。在第二部分,我們開(kāi)發(fā)高斯變分方法(也稱為Hartree-Fock-Bogolubov或HFB)2D困玻色氣體和顯示與HFB-G2方案。在過(guò)去我們?cè)趦蓚€(gè)不同的情況下應(yīng)用形式主義。我們首先計(jì)算狀態(tài)方程(EOS)為零的溫度在均勻的極限。這第一個(gè)結(jié)果概括了擾亂性的EOS。最后,作為測(cè)試的形式主義我們研究一個(gè)漩渦的熱力學(xué)不穩(wěn)定性在不旋轉(zhuǎn)的陷阱。我們得出結(jié)論,與意外結(jié)果在相似但nonvariational

5、方法18,系統(tǒng)在有限溫度下仍不穩(wěn)定。我們考慮N個(gè)玻色子質(zhì)量m的各向異性陷阱的特點(diǎn)是高軸向頻率之后和小縱向頻率之后。在下面,我們假設(shè)系統(tǒng)quasi-two-dimensional何學(xué)。這種情況是當(dāng)?shù)湫偷哪芰縼?lái)實(shí)現(xiàn)(e)的二體散射過(guò)程足夠低相對(duì)于軸向頻率問(wèn)題!”之后。在這個(gè)政權(quán),該系統(tǒng)是冷凍沿著緊方向基態(tài)軸向被困的潛力,我們可以限制我們的研究縱向xy平面。之前的近似處理多體的問(wèn)題,讓我們記住一些基本的雙體平面陷阱。我們?cè)陲w機(jī)上注意空間坐標(biāo) ,分別相對(duì)和質(zhì)心坐標(biāo)和。在零距離的方法雙體波函數(shù)遵循自由薛定諤方程r不等于0時(shí)，所考慮的交互施加接觸條件 在 (二維散射長(zhǎng)度)獲得的嗎通常散射長(zhǎng)度特征長(zhǎng)度使用關(guān)

6、系的陷阱阿茲9注意,短程波函數(shù)不是的一部分所描述的關(guān)系(1)9唯一正確的漸近r遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于行為。然而,zero-range方法當(dāng)粒子間的平均距離是合理的遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于軸向?qū)挾?。在術(shù)語(yǔ)的二維原子密度n,這給了納茲。另一個(gè)和等效方法來(lái)實(shí)現(xiàn)zero-range方法來(lái)解決使用的薛定諤方程定義潛在的16通過(guò) n這個(gè)潛力,是雙體T矩陣評(píng)估能源:L. PRICOUPENKO 是歐拉常數(shù),和RL是正則化接線員: 在裁判解釋道。16, 一個(gè)確切的治療使用這個(gè)偽勢(shì)方法具有兩個(gè)有趣的性質(zhì): (i)的變化參數(shù)不修改可見(jiàn)的確切評(píng)價(jià):這是不變性, (ii)可以視為自由場(chǎng)中央閃耀的函數(shù)大規(guī)模坐標(biāo)。然而,我們記得一些近似治療依賴。在這

7、種類型的形式主義,出現(xiàn)新的自由度提高結(jié)果的方法。例如階玻恩近似在雙體的情況下,可以很容易地之一檢查的散射振幅能量獲得使用一個(gè)統(tǒng)一的。在這種情況下, 直接聯(lián)系的能量散射過(guò)程,一個(gè)簡(jiǎn)單的物理意義?，F(xiàn)在,我們實(shí)現(xiàn)高斯變分的方法2D的情況下冷凝在外部潛在的焦急的 19使用Ref的 (3)潛力。16已經(jīng)表明,這種近似是依賴。我們解釋我們使用下列標(biāo)準(zhǔn)中系統(tǒng)字段測(cè)定。為了簡(jiǎn)化討論,我們打破對(duì)稱分裂原子領(lǐng)域和成古典字段量子漲落20。是不是HFB方案包括在選擇作為一個(gè)審判密度算符的指數(shù)字段的最一般的二次型高頻。對(duì)角化二次形式的使用Bogolubov執(zhí)行轉(zhuǎn)換:在是創(chuàng)造和毀滅Bosonic運(yùn)營(yíng)商準(zhǔn)粒子的量子數(shù)n,盡

8、管振幅匈牙利語(yǔ), 驗(yàn)證模態(tài)方程: 從變分原理我們推斷出selfenergies15也是一個(gè)廣義Gross-Pitaevskii經(jīng)典方程場(chǎng) 其中密度。讓我們堅(jiān)持事實(shí)模態(tài)方程(7)不配合的(所謂的線性化中出現(xiàn)的時(shí)間治療RPA形式主義;看,例如,ReF 15). 作為一個(gè)因此,而冷凝模式相關(guān)在冷凝相變波函數(shù)是一個(gè)解決方案時(shí)變方程的零本征頻率,它不是一般的溶液方程式。(7)。在均勻情況下,這將導(dǎo)致光譜的存在差距通過(guò)定義方程式。(7),在不均勻的情況下,一個(gè)非物質(zhì)的非零本征頻率模式的存在。不幸的是,一個(gè)假的能量的存在規(guī)模由這種模式引入防止從一個(gè)一致的描述系統(tǒng)的熱力學(xué)性質(zhì)。我們顯示在下面,這個(gè)問(wèn)題可以得到

9、解決無(wú)需修改從變分方程推導(dǎo)原則。為此,我們回想一下,情商。(8)對(duì)應(yīng)一個(gè)一階近似,不像出生的一個(gè)確切的方法,HFB明確依賴。這個(gè)的關(guān)鍵然后點(diǎn)選擇一個(gè)字段的具體實(shí)現(xiàn),指出在接下來(lái)的，這樣,冷凝模式, 解決時(shí)變方程,也是解決方程式。(7)以零頻率。這種需求導(dǎo)致的條件22,以便RW的每一點(diǎn)冷凝是一個(gè)隱式解決方程(24) 在限制a3D !阿茲原子間的碰撞在哪里弱橫向約束,修改的情商。(12)在有限溫度下導(dǎo)致了HFB-G2處方17介紹了3D配置: 在的熱貢獻(xiàn)配對(duì)的和大Bose通常是職業(yè)因素素食新聞模式的能量。第一個(gè)應(yīng)用程序,我們考慮均勻介質(zhì)在零溫度。從方程式。(7)、(10)和(12),我們演繹一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)

10、Bogolubov光譜和有條理的方程：給予直接的能源T矩陣必須評(píng)估無(wú)間隙的頻譜。從和 Eq (14)我們推斷EOS圖1所示。在ultradilute限制,我們確切的擾亂性的恢復(fù)結(jié)果(10,14):圖1。狀態(tài)方程的二維均勻玻色氣體。從錫克的公式推導(dǎo)出虛線:EOS米全變分方法(HFB)。Dashed-dotted:擾亂性的EOS(10,14)。增加的2D原子密度值,預(yù)測(cè)EOS偏離情商。(15)(2D氣體參數(shù)的值大于33105日之間的相對(duì)差異這兩個(gè)EOS的超過(guò)5%)。注意,類似于三維情況下,有一個(gè)上界的值密度,可以研究16在，在，和時(shí)，這給了一個(gè)目前的形式主義的基本限制的適用性。在2D陷阱,我們?cè)诹?/p>

11、溫度檢查,靜態(tài)配置,給出了完整的變分方法LDA相同的結(jié)果。在密度的情況下迅速變化,例如在漩渦的存在,或也在有限溫度下,不僅方程式。7)和(10)也Eq。(12)數(shù)值求解。我們認(rèn)為當(dāng)最后一個(gè)例子中一個(gè)不旋轉(zhuǎn)的漩渦陷阱在有限溫度下26。這個(gè)配置是特別有趣的測(cè)試目前的形式主義。事實(shí)上,一個(gè)之前的有條理的但不是變分方法18導(dǎo)致這樣的結(jié)論:渦流熱在消失的溫度不穩(wěn)定,可能是穩(wěn)定的在有限溫度下。我們回想一下,這是由于不穩(wěn)定核心的存在局部態(tài)負(fù)能量年代“榕樹(shù)下吸煙當(dāng)陷阱旋轉(zhuǎn)頻率為零27 在三維旋轉(zhuǎn)BEC實(shí)驗(yàn)中,這種類型的不穩(wěn)定引起的螺旋渦核心冷凝已經(jīng)觀察到28,我們預(yù)計(jì)類似的行為為兩個(gè)維度。然后,我們考慮一個(gè)o

12、ff-equilibrium情況陷阱是在休息和以外的所有模式嗎異常核心局部態(tài)是熱化。在第一次一步,我們已經(jīng)檢查,因此Ref，18,穩(wěn)定發(fā)生在耦合常數(shù)“gapless”任意設(shè)置一個(gè)常數(shù)值的“無(wú)縫”HFB方程。 圖2。典型的異常的演化模式的能量單渦不旋轉(zhuǎn)陷阱作為溫度的函數(shù)。負(fù)能量的存在模式在光譜中導(dǎo)致所謂的熱力學(xué)不穩(wěn)定的單渦27。虛線:耦合常數(shù)用于無(wú)間隙的方程任意使用雙體T矩陣評(píng)估能源。實(shí)線:全變分方案;在有限溫度下,異常模式的能量不穩(wěn)定。在第二個(gè)步驟中,我們使用一個(gè)更現(xiàn)實(shí)的處方假設(shè)進(jìn)入“無(wú)間隙的”T矩陣方程是在能源” (化學(xué)潛在的)。如圖2所示,這nonvariational的方法預(yù)測(cè)也足夠的非

13、物質(zhì)的穩(wěn)定高溫度。相反,使用完整的變分計(jì)劃,Eq。(12)是數(shù)值求解,異常模式不穩(wěn)定(見(jiàn)圖2)。在圖3中,我們展示了一個(gè)典型的密度輪廓和meanfield有關(guān)耦合常數(shù) !圖3。典型的單個(gè)渦在有限溫度下的密度輪廓全變分方法獲得當(dāng)異常模式不是熱化。插圖:平均場(chǎng)在諧振子單元耦合常數(shù),得到解決Eq(12)。在有限溫度下獲得的).函數(shù)距離核心(我們使用符號(hào))。文獻(xiàn)18中解釋說(shuō),出乎意料穩(wěn)定nonvariational方法有關(guān)平均場(chǎng)的術(shù)語(yǔ)。(10)作為寄托的潛力。在這里介紹的形式主義,lowenergy模式的一個(gè)非常不同的結(jié)構(gòu)與尊重均勻的情況下,最重要的是確定的耦合常數(shù)的行為!通過(guò)Eq。(12)。作為一個(gè)

14、因此,情商均勻的結(jié)果。(14)不能應(yīng)用:最低的模式成為廣泛占領(lǐng)增加溫度的結(jié)構(gòu)形狀 !。例如,在圖3中,耦合常數(shù)潛水在原點(diǎn)(回想一下,附近的核心結(jié)構(gòu)在寄的過(guò)程中起著核心作用),提出了一種支持冷凝的邊緣由于人口的表面模式?？傊?我們提出了二維的一種方法被困BEC考慮的行動(dòng)在有限溫度下noncondensed凝析氣田的一部分。在2D這種形式主義包括已知的結(jié)果在遇到相似但BEC和解決穩(wěn)定問(wèn)題nonvariational方法。c莫拉,y Castin m . Olshanii和h .佩蘭承認(rèn)深入討論的話題。LPTL是UMR CNRS 7600。1 D. S. Petrov, M. Holzmann, a

15、nd G. V. Shlyapnikov, Phys. Rev. Lett. 84, 2551 (2000).2 B. Paredes, P. Fedichev, J. I. Cirac, and P. Zoller, Phys. Rev. Lett. 87, 010402 (2001).3 A. I. Safonov, S. A. Vasilyev, I. S. Yasnikov, I. I. Lukashevich,and S. Jaakkola, Phys. Rev. Lett. 81, 4545 (1998).4 A. Grlitz, J. M. Vogels, A. E. Leanh

16、ardt, C. Raman, T. L. Gustavson, J. R. Abo-Shaeer, A. P. Chikkatur, S. Gupta, S. Inouye, T. Rosenband, and W. Ketterle, Phys. Rev. Lett. 87,130402 (2001).5 S. Burger, F. S. Cataliotti, C. Fort, P. Maddaloni, F. Minardi,and M. Inguscio, Europhys. Lett. 57, 1 (2002).6 M. Hammes, D. Rychtarik, B. Enges

17、er, H.-C. Ngerl, and R. Grimm, Phys. Rev. Lett. 90, 173001 (2003).7 D. Rychtarik, B. Engeser, H.-C. Ngerl, and R. Grimm, Phys.Rev. Lett. 92, 173003 (2004).8 Y. Colombe, D. Kadio, M. Olshanii, B. Mercier, V. Lorent, and H. Perrin, J. Opt. B: Quantum Semiclassical Opt. 5, S155(2003).9 D. S. Petrov and

18、 G. V. Shlyapnikov, Phys. Rev. A 64, 012706 (2001).10 V. N. Popov, in Functional Integrals in Quantum Field Theory and Statistical Physics, (D. Reidel Publishing, Dordrecht,1983).11 D. S. Fisher and P. C. Hohenberg, Phys. Rev. B 37, 4936(1988).12 J. O. Andersen, U. Al Khawaja, and H. T. C. Stoof, Ph

19、ys. Rev.Lett. 88, 070407 (2002).13 U. Al Khawaja, J. O. Andersen, N. P. Proukakis, and H. T. C.Stoof, Phys. Rev. A 66, 013615 (2002).14 C. Mora and Y. Castin, Phys. Rev. A 67, 053615 (2003).15 J. P. Blaizot and G. Ripka, in Quantum Theory of Finite Systems(MIT Press, Cambridge, MA, 1985).16 M. Olsha

20、nii and L. Pricoupenko, Phys. Rev. Lett. 88, 010402(2002).17 N. P. Proukakis, S. A. Morgan, S. Choi, and K. Burnett, Phys.Rev. A 58, 2435 (1998).18 T. Isoshima and K. Machida, Phys. Rev. A 59, 2203 (1999).19 A formalism describing a condensate phase in two dimensionsmay appears somewhat surprising.

21、However, it is worth pointingout that for a large interval of temperatures and for typical values of the trap anisotropy parameter vz /vL, that can bereached in near future experiments (from 102 to 103), thermalphase fluctuations characteristic of the low dimensionality arelikely to be quenched whil

22、e the system keeps its 2D character.Taking as an example a typical value of the chemical potentialm =20vL for N=104 atoms, even at the BEC transition temperaturekBTC=vL6N/p, the Thomas Fermi radius issmaller than the characteristic radius over which phase fluctuationsdevelop 1.20 HFB can be consider

23、ed as a variant of the Girardeau-Arnowitzapproach 21. As a consequence, a generalization of HFB without breaking the U(1) symmetry is possible but goes beyondthe scope of the present paper.21 M. Girardeau and R. Arnowitz, Phys. Rev. 113, 755 (1959).22 The potential (3) supports a bound state. As a c

24、onsequence,HFB equations (7)(9) can lead to nontrivial solutions: F=0 whereas n0 corresponding to a molecular condensate composed of dimers (see Ref. 23 for the 3D case). Condition (12) allows avoiding this problem.23 L. Pricoupenko, e-print cond-mat/0006263.24 When L is chosen using Eq. (12), Eqs. (7) and (10) are verysimilar to the one obtained in Refs. 12,13 which can describe also the quasi-condensate phase. However, comparison of the two formalisms makes sense only in the condensate phase. I