橢圓的簡單幾何性質(第二課時)

1、2021/3/1712.2.22.2.2橢圓的簡單幾何性質橢圓的簡單幾何性質第二第二課時課時2021/3/172定定 義義圖圖 形形方方 程程范范 圍圍對稱性對稱性焦焦 點點頂頂 點點離心率離心率 0 12222 babyax 0 12222 baaybxF1F2MyxOyxOMF1F2|MF1|+|MF2|=2a (2a|F1F2|)(c,0)、( c,0)(0,c)、(0, c)( a,0) (0, b)|x| a |y| b|x| b |y| a關于關于x軸、軸、y軸、軸、原點對原點對稱稱( b,0) (0, a)01ceea 一個框一個框, ,四個點四個點, ,注意光滑和圓扁注意光滑和

2、圓扁, ,莫忘對稱要體現(xiàn)莫忘對稱要體現(xiàn) 2021/3/173已知橢圓方程為已知橢圓方程為6x6x2 2+y+y2 2=6=6它的長軸長是它的長軸長是: : 。短軸長是。短軸長是: : 。焦距是焦距是: : . .離心率等于離心率等于: : 。焦點坐標是焦點坐標是: : 。頂點坐標是。頂點坐標是: : 。 外切矩形的面積等于外切矩形的面積等于: : 。 262)5, 0( 52630(0,6) ( 1,0)4 616122 yx其其標標準準方方程程是是5 1 622bacba則練習練習1.1.2021/3/174例例2 2求適合下列條件的橢圓的標準方程：求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1 1）

3、經(jīng)過點）經(jīng)過點 、 ；（2 2）長軸長等于）長軸長等于 , ,離心率等于離心率等于 ( 3,0)P (0, 2)Q2035解解: :（1 1）由題意，）由題意， , ,又又長軸在長軸在軸上，所以，橢圓的標準方程軸上，所以，橢圓的標準方程為為 3a 2b x22194xy（2 2）由已知，由已知， ， ， ， ，所以橢圓的標準方程為所以橢圓的標準方程為 或或 220a 35cea10a 6c 22210664b 22110064xy22110064yx2021/3/175例例3 橢圓的一個頂點為 ,其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標準方程02，A分析分析:題目沒有指出焦點的位置,要考慮兩種位置

4、橢圓的標準方程為： ；11422yx橢圓的標準方程為： ；116422yx解：解：（1）當 為長軸端點時， ， ， 2a1b02，A（2）當 為短軸端點時， , ， 2b4a02，A綜上所述，橢圓的標準方程是 或 11422yx116422yx2021/3/176已知橢圓 的離心率 ，求 的值 19822ykx21ek21e4k由 ，得：解：解：當橢圓的焦點在 軸上時， ， ，得 82 ka92b12 kcx 當橢圓的焦點在 軸上時， ， ，得 92a82 kbkc12y21e4191k45k由 ，得 ，即 滿足條件的 或 4k45k思考:2021/3/177【變式與拓展】3從橢圓短軸的一個端

5、點看長軸兩端點的視角為 120,則此橢圓的離心率 e 為()D2021/3/178例例5 如圖如圖,一種電影放映燈泡的反射鏡面是旋轉橢圓面（橢圓繞一種電影放映燈泡的反射鏡面是旋轉橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉一周形成的曲面）的一部分。過對稱軸的截口其對稱軸旋轉一周形成的曲面）的一部分。過對稱軸的截口BAC是橢圓的一部分是橢圓的一部分,燈絲位于橢圓的一個焦點燈絲位于橢圓的一個焦點F1上上,片門位于另一個片門位于另一個焦點焦點F2上上,由橢圓一個焦點由橢圓一個焦點F1出發(fā)的光線出發(fā)的光線,經(jīng)過旋轉橢圓面反射后經(jīng)過旋轉橢圓面反射后集中到另一個焦點集中到另一個焦點F2.所在橢圓的方程。求截口已知BACcm

6、FFcmBFFFBC,5 . 4,8 . 2,21121解解:建立如圖所示的直角坐標系建立如圖所示的直角坐標系,設所求橢圓方程為設所求橢圓方程為. 12222byax22221212215 . 48 . 2FFBFBFFBFRt中，在所以由橢圓的性質知，,221aBFBF1 . 4)5 . 48 . 28 . 2(21)(212221BFBFayF2F1xoBC4 . 325. 21 . 42222cab14 . 31 . 42222yx為所以，所求的橢圓方程A2021/3/179的軌跡。，求點的距離的比是常數(shù)的距離和它到直線與定點點例MxlFyxM54425:)0 , 4(),(6,5442

7、5:dMFMPMxlMd的軌跡就是集合點的距離，根據(jù)題意，到直線是點解：設.54425)4(2xyx由此得,22525922yx簡，得將上式兩邊平方，并化192522yx即所以所以,點點M的軌跡是長軸、短軸長分別為的軌跡是長軸、短軸長分別為10、6的橢圓。的橢圓。FlxoyMHd2021/3/1710回憶回憶:直線與圓的位置關系直線與圓的位置關系1.位置關系位置關系:相交、相切、相離相交、相切、相離2.判別方法判別方法(代數(shù)法代數(shù)法) 聯(lián)立直線與圓的方程聯(lián)立直線與圓的方程 消元得到二元一次方程組消元得到二元一次方程組 (1)0直線與圓相交直線與圓相交有兩個公共點有兩個公共點; (2)=0 直線

8、與圓相切直線與圓相切有且只有一個公共點有且只有一個公共點; (3)0直線與橢圓相交直線與橢圓相交有兩個公共點有兩個公共點; (2)=0 直線與橢圓相切直線與橢圓相切有且只有一個公共點有且只有一個公共點; (3)k-3366-k0因為因為所以所以,方程（）有兩個根方程（）有兩個根,那么那么,相交所得的弦的相交所得的弦的弦長弦長是多少是多少?則原方程組有兩組解則原方程組有兩組解.- (1)由韋達定理由韋達定理51542121xxxx222212121212126()()2()2 ()425ABxxyyxxxxx x 2021/3/1721設直線與橢圓交于設直線與橢圓交于P1(x1,y1),P2(x

9、2,y2)兩點兩點,直線直線P1P2的斜率為的斜率為k弦長公式弦長公式:221|1|1|ABABABkxxyyk知識點知識點2:弦長公式弦長公式可推廣到任意二次曲線2021/3/1722例例3:已知斜率為已知斜率為1的直線的直線L過橢圓過橢圓 的右焦點的右焦點,交橢圓于交橢圓于A,B兩點兩點,求弦求弦AB之長之長題型二題型二:弦長公式弦長公式222:4,1,3.abc解 由橢圓方程知( 3,0).F右焦點:3.lyx直線 方程為22314yxxy258 380yxx消 得：1122( ,), (,)A x yB xy設12128 38,55xxxx22212121211()4ABkxxkxxx

10、x852021/3/1723題型二題型二:弦長公式弦長公式2021/3/17242021/3/1725例例5、如圖、如圖,已知橢圓已知橢圓 與直線與直線x+y-1=0交交于于A、B兩點兩點, AB的中點的中點M與橢圓中心連線的與橢圓中心連線的斜率是斜率是 ,試求試求a、b的值。的值。221axby2 2,AB 22oxyABM22110axbyxy 解:2)210yab xbxb 消 得:(2)(1)0bab b =4-4(abab1122( ,), (,)A x yB x y設121221,bbxxx xabab(,)baABMab ab中點22121 21()4ABkxxx x又MOakb

11、222ba 2212 22 ()4bbabab12,33ab 2021/3/1726例例6 :已知橢圓已知橢圓 過點過點P(2,1)引一弦引一弦,使弦在這點被使弦在這點被 平分平分,求此弦所在直線的方程求此弦所在直線的方程.解解:韋達定理韋達定理斜率斜率韋達定理法韋達定理法:利用韋達定理及中點坐標公式來構造利用韋達定理及中點坐標公式來構造題型三題型三:中點弦問題中點弦問題2021/3/1727例例 6 已知橢圓已知橢圓 過點過點P(2,1)引一弦引一弦,使弦在這點被使弦在這點被 平分平分,求此弦所在直線的方程求此弦所在直線的方程.點差法點差法:利用端點在曲線上利用端點在曲線上,坐標滿足方程坐標

12、滿足方程,作差構造作差構造 出中點坐標和斜率出中點坐標和斜率點點作差作差題型三題型三:中點弦問題中點弦問題2021/3/17282222221211()()0bxxayy由2221122212yybxxa 即2111221211AByyxxbkxxayy 2020 xbay 直線和橢圓相交有關弦的中點問題,常用設而不求的思想方法 2021/3/1729例例6已知橢圓已知橢圓 過點過點P(2,1)引一弦引一弦,使弦在這點被使弦在這點被 平分平分,求此弦所在直線的方程求此弦所在直線的方程.所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2,整理得整理得x+2y-4=0從而從而A ,B在直線在直線x+2y-4=0上上而過而過A,B兩點的直線有且只有一條兩點的直線有且只有一條解后反思解后反思:中點弦問題求解關鍵在于充分利用中點弦問題求解關鍵在于充分利用“中點中點”這一這一 條件條件,靈活運用中點坐標公式及韋達定理靈活運用中點坐標公式及韋達定理,題型三題型三:中點弦問題中點弦問題2021/3/17303、弦中點問題弦中點問題的兩種處理方法的兩種處理方法: （1）聯(lián)立方程組）聯(lián)立方程組,消去一個未知數(shù)消去一個未知數(shù),利用韋達定理利用韋達定理; （2）設兩端點坐標）設兩端點坐標,代入曲線方程