圓錐曲線解題技巧

1、 (2005全國全國卷文科卷文科)已知雙曲線已知雙曲線 的一條準(zhǔn)線為的一條準(zhǔn)線為 ，則該雙曲線的離心率為，則該雙曲線的離心率為 ( )A B C D)0( 1222ayax23x232326332 x y oF1F2 b cos 1e2axc 222222cabeaa=1+k2.(k為雙曲線漸近線的斜率為雙曲線漸近線的斜率.) (2004全國東北理科卷全國東北理科卷)設(shè)雙曲線的焦點在設(shè)雙曲線的焦點在x軸上軸上,兩條漸近線為兩條漸近線為y = x，則該雙曲線的離，則該雙曲線的離心率心率e=( ) A. 5 B. C. D.5525412222222cabeaa=1+k2. 其中其中k為雙曲線漸近

2、線的斜率為雙曲線漸近線的斜率.C e2=5/4. (2005全國全國卷文科卷文科)已知雙曲線已知雙曲線 的一條準(zhǔn)線為的一條準(zhǔn)線為 ，則該雙曲線的離心率為，則該雙曲線的離心率為 ( )A B C D)0( 1222ayax23x232326332 x y oF1F2 ba1ka232ac2;3ke將將k2=e2- -1代入上式代入上式, 整理得整理得9e4- -9e2- -4=0e2=4/3.D42212212,2 ,1.3bPFFFcaPFFF2221,32ba ab423440kk 已知已知F1、F2為雙曲線為雙曲線 (a 0,b 0)的焦點，過的焦點，過F2作垂直于作垂直于 x 軸的直線交

3、軸的直線交雙曲線于雙曲線于P, 且且PF1F230(如圖如圖), 求雙求雙曲線的漸近線方程曲線的漸近線方程. 22221xyabxyoPF1F2即即 ec 3a, e23,11costan2.3e 已知已知F1、F2為雙曲線為雙曲線 (a 0,b 0)的焦點，過的焦點，過F2作垂直于作垂直于 x 軸的直線交雙曲軸的直線交雙曲線于線于P, 且且PF1F230(如圖如圖), 求雙曲線的漸近求雙曲線的漸近線方程線方程. 22221xyabxyoPF1F2|PF1|2|PF2|， exP+a=2(exP- -a)，exP3a, k2=e2- -1=2.y= x.2 (2005福建理科福建理科) 已知已

4、知F1、F2是雙曲線是雙曲線 - = - = 1(a0, b0)的兩焦點的兩焦點, 以線段以線段F1F2為邊作正三角為邊作正三角形形MF1F2, 若邊若邊MF1的中點在雙曲線上，則雙曲的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是線的離心率是 ( ) A. 4+2 B. - -1 C. D. +1 22xa22yb333312 x y oF1F2MA30 x1由已知由已知, |AF1|=c, |AF2|= c,3即即 ex1- -a=c, ex1+a= c, 3兩式相減：兩式相減：2a=( - -1)c, 3兩邊同除以兩邊同除以a得得 e=231.31(2005福建理科福建理科)已知已知F1、F2是雙曲

5、線是雙曲線 (a 0,b 0)的兩個焦點，以線段的兩個焦點，以線段F1F2為邊作為邊作正三正三角形角形MF1F2, 若邊若邊MF1的的中點中點在雙曲線上在雙曲線上, 則雙曲則雙曲線的離心率是線的離心率是 ( ) A. 4+2 B. - -1 C. D. +122221xyab333312因為因為|NF1|=exN- -a=c, 即即exN+a= c3 y x oMF2NF1又又|NF2|= |NF1|,3D3 2exN=( +1)c將將xN=c/2代入即得代入即得. 要點提煉：設(shè)雙曲線的離心率為設(shè)雙曲線的離心率為e, 一條有一條有較小傾斜角較小傾斜角 的漸近線的斜率為的漸近線的斜率為k,則雙曲

6、線的則雙曲線的如下性質(zhì)在解題時十分有用：如下性質(zhì)在解題時十分有用：過焦點作一條漸近線的垂線過焦點作一條漸近線的垂線,垂足在雙曲線垂足在雙曲線的準(zhǔn)線上的準(zhǔn)線上, 垂線段的長等于半虛軸長；垂線段的長等于半虛軸長； arccos(1/e)； e2k21. 此外此外, 雙曲線的焦半徑公式：雙曲線的焦半徑公式：r1|ex0a|，r2|ex0a| 在處理涉及雙曲線的在處理涉及雙曲線的焦半徑問題時是十分有用的焦半徑問題時是十分有用的,必須要學(xué)生熟記必須要學(xué)生熟記它它.1122,PFr PFr設(shè)設(shè).162212221rrrr22212(2 )4 520,rrc, 221rr121212F PFSr r 設(shè)而不

7、求 (1994全國全國)設(shè)設(shè)F1, F2為雙曲線為雙曲線 的兩的兩個焦點，點個焦點，點P在雙曲線上，且在雙曲線上，且F1PF2=90則則 F1PF2的面積是的面積是 ( ) A. 1 B. C. 2 D.1422 yx255124rr =1.A x y oF1F2P1 21212PF FPSFFy222244,5xyxy211.55Pyy12121112 51.225PF FPSF Fy 以以F1F2為直徑的圓為直徑的圓的方程是：的方程是： x2+y2=5, (2005全國全國卷卷)已知雙曲線已知雙曲線 的焦的焦點為點為F1、F2, 點點M在雙曲線上且在雙曲線上且MF1MF2=0,則點則點M到

8、到 x軸的距離為軸的距離為( )A B C D1222yx43532 333 x y oF1F2Mx2+y2=3MF1MF2=0MF1MF2x2+y2=3,2x2- -y2=22P y =4.3平幾知識的應(yīng)用C 已知已知F1、F2為雙曲線為雙曲線 (a 0,b 0)的焦點，的焦點，M為雙曲線上的點為雙曲線上的點, , 若若F1MF290, 則則F1MF2的面積等于的面積等于_. 22221xyab x y oF1F2M一般化x2+y2=c2,b2x2- -a2y2=a2b2 c2y2=b2(c2- -a2)=b4 y=b2/c SF1MF2=b2. (2005全國全國卷卷)已知雙曲線已知雙曲線

9、 的焦的焦點為點為F1、F2, 點點M在雙曲線上且在雙曲線上且MF1MF2=0,則點則點M到到 x 軸的距離為軸的距離為( )A B C D1222yx43532 333 x y oF1F2MCSF1MF2=b2=2設(shè)點設(shè)點M到到 x 軸的距離為軸的距離為d,則則 cd=S d= 2.3 將直角坐標(biāo)系中的曲線平移將直角坐標(biāo)系中的曲線平移(或平或平移坐標(biāo)軸移坐標(biāo)軸)，曲線上任意兩點之間的距，曲線上任意兩點之間的距離（弦長）、兩條定弦之間的夾角、離（弦長）、兩條定弦之間的夾角、以及曲線上任一點處的切線的斜率，以及曲線上任一點處的切線的斜率，都是平移變換下的都是平移變換下的不變量不變量. (1995

10、全國全國)直線直線l過拋物線過拋物線y2a(x+1)(a0)的焦點的焦點, 并且與并且與x軸垂直軸垂直, 若若l被拋物線被拋物線截得的線段長為截得的線段長為4, 則則a . 直線直線l過拋物線過拋物線 y24(x+1)的焦點的焦點, 并且并且與與x軸垂直軸垂直, 若若 l 被拋物線截得的線段長被拋物線截得的線段長為為 . 4 4 y2a(x- -3)（2003 新課程卷）設(shè)新課程卷）設(shè)a0，f(x)=ax2+bx+c, 曲曲線線 y=f(x)在點在點 P(x0, f(x0)處的切線的傾斜角的處的切線的傾斜角的取值范圍為取值范圍為 ，則點，則點P到曲線到曲線y=f(x)對稱軸對稱軸距離的取值范圍

11、為距離的取值范圍為 ( ) A. B. C. D.0,410,a10,2a0,2ba10,2ba 曲線曲線 y=f(x)在點在點 P(x0, f(x0)處處的切線的斜率的切線的斜率 k=2ax0.依題意依題意,0k1,1,即即 002ax01.1.010.2xa B f (x)=2ax, x y oFP y=ax2 y=- -14a y =2ax, y | =1.12xa21xya 證明：點證明：點P處的切線斜率為處的切線斜率為1 x y oFP 證明：點證明：點P處的切線斜率為處的切線斜率為1 法一法一：由由 y2=2px 2yy =2p,pyy1.ypy法二法二：由由2ypx1222pyp

12、x 21.pxyF 回回 顧顧 y2=2px PF = p x y oA2px x=- 命題命題1 設(shè)拋物線設(shè)拋物線y2=2px(p0)的通徑為的通徑為PQ，則則拋物線在點拋物線在點P、Q處的切線的斜率分別為處的切線的斜率分別為1和和- -1,且切線通過拋物線的準(zhǔn)線與且切線通過拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點軸的交點.xyOPQF2px= -M x y oFP (2004 全國東部卷全國東部卷) 設(shè)拋物線設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與的準(zhǔn)線與x軸交于點軸交于點Q，若過點，若過點Q的直線的直線l與拋物線有公共點，與拋物線有公共點，則直線則直線l的斜率的取值范圍是的斜率的取值范圍是 ( ) A. B. - -

13、2,2 C. - -1,1 D. - -4,41 1, 2 2 y2=18x y2=8(x- -6)C 已知已知F為拋物線為拋物線C：y24x的焦點，的焦點，P為為C上的上的任一點，過點任一點，過點F且斜率為且斜率為1的直線與的直線與C交于交于A、B兩點，若兩點，若 PAB的面積為的面積為4 ，則這樣的點，則這樣的點P有有 ( ) (A) 1個個 (B) 2個個 (C) 3個個 (D) 4個個 2AB：x- -y- -1=0 求得求得|AB|=8 ；取點取點M(1,2) MAB的面積為的面積為42C2 點點M到直線到直線AB的距離為的距離為 x y oABFM 引申引申1 1橢圓通徑一個端點處

14、切線的斜率橢圓通徑一個端點處切線的斜率 x y oF1P22,byaxa由由2212.2bxyaax 得得22.xcbcyeaac 引申引申2 2 雙曲線通徑端點處切線的斜率為雙曲線通徑端點處切線的斜率為 e. 引申引申3 3 過橢圓過橢圓 上一點上一點 P (x0, y0) 的切線方程為：的切線方程為：22221(0)xyabab00221;x xy yab20020().b xkfxa y 切 引申引申4 4 過雙曲線過雙曲線 上一點上一點 P (x0, y0) 的切線方程為：的切線方程為：22221(0,0)xyabab00221;x xy yab20020().b xkfxa y切 引

15、申引申5 5 過拋物線過拋物線y2=2px上一點上一點P (x0, y0)的切的切線方程為：線方程為： y0y=p (x+x0 ) y0y=p (x+x0 )k切切=0py 命題命題2 若若PQ為焦點在為焦點在x軸上的圓錐曲線軸上的圓錐曲線的通徑，則曲線在點的通徑，則曲線在點P、Q處的切線的斜率處的切線的斜率為為e和和- -e，且切線通過相應(yīng)準(zhǔn)線與，且切線通過相應(yīng)準(zhǔn)線與x軸的交軸的交點點. 或表述為：過焦點在或表述為：過焦點在x軸上的圓錐曲線軸上的圓錐曲線的準(zhǔn)線與的準(zhǔn)線與x軸的交點，且斜率為軸的交點，且斜率為e(或或- -e)的的直線，與圓錐曲線相切，且切點為圓錐曲直線，與圓錐曲線相切，且切點

16、為圓錐曲線一條通徑的端點線一條通徑的端點. x y o作離心率為作離心率為1/2的橢圓的橢圓 x y oFAB|OF|c, |FA|b, |OA|a. c|AB|2ab |AB|2abc2.be作離心率為作離心率為2的雙曲線的雙曲線 (2004湖南理科卷湖南理科卷)如圖，過拋物線如圖，過拋物線x2=4y的對的對稱軸上任一點稱軸上任一點P(0,m) (m0)作直線與拋物線交于作直線與拋物線交于A，B兩點，點兩點，點Q是點是點P關(guān)于原點的對稱點關(guān)于原點的對稱點. ( I ) 設(shè)點設(shè)點P分有向線段分有向線段AB所成的比為所成的比為 ，證明，證明QP(QA- - QB)； ( II ) 設(shè)直線設(shè)直線A

17、B的方程是的方程是x- -2y+12=0，過過A、B兩點兩點的圓的圓C與拋物線在點與拋物線在點A處有處有共同的切線，求圓共同的切線，求圓C的方程的方程. x y oAPBQ x y oAPBQ(0,- -m)(x1,y1)(x2,y2)AP=(- -x1, m- -y1), PB=(x2, y2- -m), 由已知由已知, x1=- - x2, y1- -m=- - (y2- -m). 即即2222221212,.xxymym因為因為A、P、B共線共線, 且且AP= PB.QP= QA+ QB= (QA+ QB).11111欲證欲證QP(QA- - QB), 只須證只須證QP (QA- - Q

18、B)=0, 即證即證|QA|2- - 2|QB|2=0. 而而 |QA|2- - 2|QB|2= +(y1+m)2- - 2 +(y2+m)221x22x光 的 反 射基本原理: ()光的傳播遵循光的傳播遵循“光行最速原理光行最速原理”; ()光的反射應(yīng)滿足：光的反射應(yīng)滿足：“入射角入射角=反射角反射角”;由此推得由此推得 入射線與反射線關(guān)于入射線與反射線關(guān)于法線法線對稱對稱; 投影線為水平線時投影線為水平線時, k入射線入射線+k反射線反射線=0.光 的 反 射基本技巧: 始始點點終終點點 入射線入射線; 始始點點終終點的對稱點點的對稱點反射線反射線.始始點的對稱點點的對稱點終終點點 (19

19、89全國全國) 自點自點A( -3, 3 )發(fā)出的光線發(fā)出的光線 l 射到射到x軸上被軸上被 x 軸反射，其反射光線所在直線與圓軸反射，其反射光線所在直線與圓x2+y2- -4x- -4y+7=0相切相切, 求光線求光線 l 所在直線的方程所在直線的方程. (x-2)2+(y-2)2=1 x1 y o1- -1.A.A?始點的對稱點始點的對稱點終終點點 -反射線反射線；終終點的對稱點點的對稱點始始點點 -入射線入射線. (2005江蘇江蘇) 點點P(- -3,1)在橢圓在橢圓 的左準(zhǔn)線上的左準(zhǔn)線上, 過點過點P且方向為且方向為a=(2,- -5)的光線的光線, 經(jīng)經(jīng)直線直線y=- -2反射后通

20、過橢圓的左焦點反射后通過橢圓的左焦點, 則這個橢圓則這個橢圓的離心率為的離心率為 ( ) A. B. C. D. 222210 xyabab33132212 x y o P(- -3,1) F(- -c,0)MNl解法一：依題意依題意, 入射線方程為入射線方程為y- -1=- - (x+3)52令令y=- -2, 得得M(- - , - -2);95令令y=0, 得得N(- - ,0).135F(- -1,0) a2=323ac33e x y o P(- -3,1) F(- -c,0)MNl解法二： 點點F關(guān)于直線關(guān)于直線y=- -2的的對稱點為對稱點為Q(- -c,- -4 ).c=1 a2

21、=323ac 依題意依題意, kPQ=- - ,52Q33e 要點提煉： 光反射的理論依據(jù)，是物理學(xué)中的光反射的理論依據(jù)，是物理學(xué)中的光行最速光行最速原理原理；數(shù)學(xué)中處理這類問題的基本方法是運用；數(shù)學(xué)中處理這類問題的基本方法是運用平面幾何中的平面幾何中的對稱性對稱性，這就是，這就是“通法通法”. 只有把只有把握住握住“通法通法”，不論題目如何變化，你才能在，不論題目如何變化，你才能在解題時得心應(yīng)手，游刃有余解題時得心應(yīng)手，游刃有余. (2004江蘇卷江蘇卷)已知橢圓的中心在原點，離心已知橢圓的中心在原點，離心率為率為 ，一個焦點是，一個焦點是F(- -m,0) (m是大于零的常是大于零的常數(shù)數(shù)

22、). ()求橢圓方程；求橢圓方程； ()設(shè)設(shè)Q是橢圓上的一點，且過點是橢圓上的一點，且過點F，Q的直的直線線l與與y軸交于點軸交于點M，若，若|MQ|=2|QF|，求直線，求直線l的的斜率斜率.12()22221.43xymm()22221.43xymm x y oMQF|MQ|=2|QF|()分析：由題設(shè)，由題設(shè)，|xM- -xQ|=2|xQ- -xF|，即即|xQ|=2|xQ+m|，即即xQ=- -2m 或或 xQ=- - m.233x2+4y2=12m2,y=k(x+m)(3+4k2)x2+8k2mx+4k2m2- -12m2=0令令x=- -2m ，得，得k=0； 令令x=- - m

23、，得，得k=2 .623(2004東北理科卷東北理科卷) 給定拋物線給定拋物線C：y2=4x，F(xiàn)是是C的焦點，過點的焦點，過點F的直線的直線l與與C相交于相交于A、B兩點兩點. () 設(shè)設(shè)l的斜率為的斜率為1，求，求OA與與OB的夾角；的夾角； () 設(shè)設(shè)BF= FA, 若若 4, 9，求，求l在在y軸上截距軸上截距的變化范圍的變化范圍. x y oABF () 由對稱性，我們只須研由對稱性，我們只須研究如圖的情況究如圖的情況. x y oABF24 ,1yxxmy ( 1 ) 當(dāng)當(dāng)yB=- -4yA時，時，234 ,44ABAABAyyymyyy 2440ymyyA=1m = .34令令x=

24、0，得，得y1=4.3( 2 ) 當(dāng)當(dāng)yB=- -9yA時，同理可得時，同理可得y2=3.4 m 433 4,.344 3CDABE (2000新課程卷新課程卷) 如圖如圖, 已知梯形已知梯形ABCD中中, |AB|=2|CD|, 點點E分有向線段分有向線段AC所成的比為所成的比為 ，雙，雙曲線過曲線過C、D、E三點，且以三點，且以A、B為焦點為焦點. 當(dāng)當(dāng) 時，求雙曲線離心率時，求雙曲線離心率e的取值范圍的取值范圍.2334由由|AE|= |EC|,xy設(shè)設(shè)|AB|=2c, 則則A(- -c,0), C( , yC), 又設(shè)又設(shè)E(x0, y0),2c得得 x0+c= ( - -x0),2c

25、x0=(2)2(1)c|EC|= (exC+a)- -(- -ex0- -a)=2a+e(xC+x0),因為因為|EC|=|AC|- -|AE|因為因為|EC|= (exC+a)- -(- -ex0- -a)=2a+e(xC+x0), |AE|= |EC|,x0=(2)2(1)c所以所以- -ex0- -a= 2a+e( +x0)2c t = 0(2)2(1)xea - -2et- -2= 4+e(e+2t) 2e( +1)t= - -(e2 +4 +2) 將將代入代入兩邊同乘以兩邊同乘以2a e2( - -2)= - -(e2 +4 +2) e2= 123211 因為因為2334所以所以 7 e210,得得710.e (2004天津理科卷天津理科卷)橢圓的中心是原點橢圓的中心是原點O，它的，它的短軸長為短軸長為2 ，相應(yīng)于焦點，相應(yīng)于焦點F(c,0)的準(zhǔn)線的準(zhǔn)線l與與x軸軸相交于點相交于點A，|OF|=2|FA|.過點過點A的直線與橢圓相的直線與橢圓相交于交于P、Q兩點兩點. ()求橢圓的方程及離心率；求橢圓的方程及離心率； ()若若OPOQ=0，求直線，求直線 PQ的方程；的方程； ()設(shè)設(shè)AP= AQ( 1).過點過點P且平行于且平行于l的直線的直線與橢圓相交于另一點與橢圓相交于另一點M. 證明：證明：FM=- - FQ.2M