MonteCarlo方法及其簡單應(yīng)用(圖文)

1、MonteCarlo方法及其簡單應(yīng)用(圖文)論文導(dǎo)讀：本文介紹了Monte Carlo方法的思想，主要從在定積分計(jì)算方面介紹了隨機(jī)投點(diǎn)法和平均值法，并將其推廣到二重積分、三重積分和多重積分情形，最后以棋手分獎金問題介紹了 Monte Carlo方法在古典概率問題中的應(yīng)用.分析了誤差，介紹了減少誤差的方法. 給出這些方法的實(shí)例及其Mathematica實(shí)現(xiàn)程序.關(guān)鍵詞：MonteCarlo方法，積分計(jì)算，古典概率，模擬1 引言Monte Carlo方法，源于第二次世界大戰(zhàn)美國關(guān)于研制原子彈的“曼哈頓計(jì)劃”.該計(jì)劃的主持人之一、數(shù)學(xué)家馮諾伊曼用馳名世界的賭城摩納哥的Monte Carlo來命名這種

2、方法,為它蒙上了一層神秘色彩.Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人們所發(fā)現(xiàn)和利用.19世紀(jì)人們用投針試驗(yàn)的方法來確定圓周率.20世紀(jì)40年代電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn),特別是近年來高速電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn),使得用數(shù)學(xué)方法在計(jì)算機(jī)上大量、快速地模擬這樣的試驗(yàn)成為可能.Monte Carlo方法研究的問題大致可分為兩種類型:一種是問題本身就是隨機(jī)的,另一種本身屬于確定性問題,但可以建立它的解與特定隨機(jī)變量或隨機(jī)過程的數(shù)字特征或分布函數(shù)之間的聯(lián)系,因而也可用隨機(jī)模擬方法解決.文1-7 介紹了Monte Carlo方法的思想，但沒有給出具體的實(shí)例及實(shí)現(xiàn)過程。發(fā)表論文。本文介紹了MonteCarlo方法

3、的思想，從計(jì)算定積分和古典概率兩方面的應(yīng)用進(jìn)行研究，給出了實(shí)例及其Mathematica實(shí)現(xiàn)程序.2 Monte Carlo方法2.1 Monte Carlo方法思想概述Monte Carlo方法，有時(shí)也稱隨機(jī)模擬(RandomSimulation)方法或統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)(Statistical Testing)方法.它的基本思想是:首先建立一個(gè)概率模型或隨機(jī)過程,使它的參數(shù)等于問題的解；然后通過對模型或過程的觀察、抽樣來計(jì)算所求參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征；最后給出所求解的近似值,而解的精度可用估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)誤差來表示.假設(shè)所求的量是隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,那么近似確定的方法是對進(jìn)行重復(fù)抽樣,產(chǎn)生相互獨(dú)立的值的序列并計(jì)

4、算其算術(shù)平均值:根據(jù)大數(shù)定理，當(dāng)充分大時(shí),以概率1成立，即可用作為的估計(jì)值.Monte Carlo方法以概率統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ),以隨機(jī)抽樣(隨機(jī)變量的抽樣)為手段，在很多方面有重要的應(yīng)用.它的優(yōu)點(diǎn)表現(xiàn)在三個(gè)方面：方法和程序的結(jié)構(gòu)簡單，易分析、易理解；收斂的概率性和收斂速度與問題的維數(shù)無關(guān)，很好的避免了維數(shù)問題；受問題條件限制的影響較小，很好的提高可行性.使用Monte Carlo方法的步驟如下：(l)構(gòu)造或描述概率過程(2)實(shí)現(xiàn)從已知概率分布中抽樣(3)建立各種估計(jì)量2.2 Monte Carlo方法的可行性從Monte Carlo方法的基本思想可以得到它通常的做法，利用數(shù)學(xué)或物理方法產(chǎn)生0，1中

5、均勻分布的隨機(jī)數(shù)，在變換得到任意分布的隨機(jī)數(shù).隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)很大時(shí)，可以由大數(shù)定理，求出事件的概率值.這種做法的可行性主要依據(jù)下面的事實(shí)：（1）如果隨機(jī)變量的分布函數(shù)是，由于非降.對于任意的,(),可以定義：作為的反函數(shù).我們考慮隨機(jī)變量的分布，這里假定是連續(xù)函數(shù)，則對于有：（1）即服從上的均勻分布.（2）反之，如果服從上的均勻分布，則對于任意的分布函數(shù)，令，則：（2）因此是服從分布函數(shù)的隨機(jī)變量.所以我們只要能夠產(chǎn)生中均勻分布的隨機(jī)變量的子樣，那么通過（2）式我們就可以得到任意分布函數(shù)的隨機(jī)變量的子樣.再結(jié)合大數(shù)定理、就可以運(yùn)用Monte Carlo方法進(jìn)行隨機(jī)模擬，解決一些實(shí)際的問題.3 Monte Carlo方法在定積分中的應(yīng)用3.1隨機(jī)投點(diǎn)法對于定積分.為使計(jì)算機(jī)模擬簡單起見，設(shè)，有限，令，并設(shè)是在上均勻分布的二維隨機(jī)變量，其聯(lián)合密度函數(shù)為.則