(完整版)高數(shù)下冊(cè)復(fù)習(xí)資料

1、高等數(shù)學(xué)（一）教案期末總復(fù)習(xí)第七章常微分方程1 .基本概念：通解，特解，初始條件2 .可分離變量的微分方程3 .齊次方程（簡(jiǎn)單類(lèi)型）4 . 一階線性方程：公式法（掌握交換自變量與因變量類(lèi)型）5 .二階常系數(shù)齊次線性微分方程：特征方程法求通解正確的設(shè)出特解）6 .二階常系數(shù)非齊次線性微分方程（非齊次特解與齊次通解關(guān)系,第八章向量與解析幾何向量代數(shù)定義定義與運(yùn)算的幾何表達(dá)在直角坐標(biāo)系下的表小向量uuu有大小、后方向.記作a或ABa axi ayj azk (ax,ay,az) rrraxprjxa,ayprjya,azprjza模向量a的模記作aaJax2ay2az2和差cabax bx,ay b

2、y,az bzcabc ab單位向量o ao aa(ax,ay,az)j a ayaaa22222 ayaz力向余弦設(shè)a與x, y,z軸的夾角分別為 , 貝U方向余弦分另為 cos , cos , coscosea ( co2,cos +axayaz十,cos 千,cos -raaa)s , cos , cos )22cos cos 1點(diǎn)乘（數(shù)量積）a b角a b|cos , 為向量a與b的夾a b axbxavbvazbzx xy yz z叉乘（向量積） cabc a b sin為向量a與b的夾角 向重c與a , b都垂直a bijkaxayazbxbybz定理與公式垂直a b a b 0a

3、 b axbxavbv azbz0x xy yz z平行a/b a b 0axay aza /bbxbybz交角余弦皿八旦力舄人. 一一a bcosaxbxaybyazbz也If里大川本？區(qū)cosabTax2ay2 az2 Tbx2by2bz2向量a在非零向量b上的投影，.、a bprj aaxbxay byazbzprjbaacos(a b)-IblpiJ baJbx2by2bz2平向直線法向量 n A,B,C點(diǎn) Mo(X0,yo，Zo)方向向量 T m,n, p點(diǎn) M0(x0, y0,z)方程名稱方程形式及特征方程名稱方程形式及特征一般式Ax By Cz D 0一般式AxB1 y Cz D

4、10A2x B2y C2z D20點(diǎn)法式A(x xJ B(y y) C(z z)0點(diǎn)向式x x y y zz0mnp三點(diǎn)式xxyyz z1x2xy2y1z2z1x3xy3y1z3z10參數(shù)式xx0mtyyntzz0pt截距式x y z 1 a b c兩點(diǎn)式xxyNozz0xxyy乙z0卸回垂直A1A2B1B2C1C20線線垂直m1m2 n1n2p1P20囿囿平行上旦 C1a2b2c2線線平行m1n1p1m2n2p2線圓垂直ABCm n p線面平行Am Bn Cp 0點(diǎn)面距離Mo(xo, yo,zo)Ax By Cz D 0向向距離Ax By Cz D1 0 Ax By Cz D2 0d|Axo

5、 By。Cz。DdD1D2IJa2b2 c2Ta2 b2 c2向向夾角線線夾角線向夾角n1 A1,BGn24星。S1 m1,n1, p1 S2 m2,n2,p2s m,n,p n A,B,C|AA2BB2 CiC2|cos|m1m2n1n2p1p21|Am Bn CpSin222222A Bl Ci 飛 a B2 C2;222/222m min1p1m m2 n2 p2I1 _ 2_ 27222A A B C y m n px ，y (t)，z (t),(t )切向量T ( (t),(t), (t)切“線”方程： y y0-zz(t)(t)(t)空 間 曲法平“面”方程：(t)(x x)(t)

6、(y y)(t)(z 。)0線:y(x)z(x)切向量切“線”方程：x x0y V。 z z01(x)(x)T (1, (x),(x)法平“面”方程：(x x)(x) (y y)(x)(z 4) 0空 間 曲 面F(x,y,z) 0法向量r ，l，、n ( Fx(x0, y0,z0),Fy(x0, y0,z0),Fz(x0, y0,z。)切平“面”方程：Fx(x0，y0，z)(x x) Fx(x, y0，z)(y y)Fx(x0, y0，z)(z zO)0法”線”方程：x X0y y。z z0Fx(x, y, z)Fy(x, y, z)Fz(x0, y0,z)Z f(x, y)In ( fx(

7、x0,y), fy(X0, y0) , 1 )或r ,，、n (fx(X0,y。)，fy(x0,y。)，1)切平“面”方程：fx(x0,y0)(x X0) fy(x0,y)(y y) (z z0) 0法”線”方程：X X0y yz z0fx(x0,y0)fy(x0,y0)1第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用（一）基本概念1、 距離，鄰域，內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)，聚點(diǎn)，開(kāi)集，閉集，連通集，區(qū)域，閉區(qū)域，有界集，無(wú)界集。2、 多元函數(shù)：z f（x,y）,圖形：3、4、連續(xù):（x,y）%0）f（X，y）Af(Xo,yQ)-5 -6、全微分：設(shè)Z（二） 性質(zhì)5、偏導(dǎo)數(shù)：f(X0X, y0) f(x0, y0)f

8、x(Xc yo) lim x 0xfy(xo，yo)lim f(x0，y0 y) f(x0，y0)y 0yf(x，y),則dz 1dx *y高等數(shù)學(xué)(一)教案期末總復(fù)習(xí)2：閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性定理，最大最小值定理，介值定理)3、 微分法1) 定義：u2) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：鏈?zhǔn)椒▌t若 z f(u,v),u u(x,y),v v(x,y),則zzuzvzzuzvxuxvxyu yvy3) 隱函數(shù)求導(dǎo)：兩邊求偏導(dǎo)，然后解方程(組)(三) 應(yīng)用1) 極值2) 無(wú)條件極值：求函數(shù)z f (x, y)的極值fx 0解方程組fy求出所有駐點(diǎn)，對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)仇小)，令A(yù) fxx(x0,y0), B f

9、xy(2,y0),C fyyd*),若AC B2 0 , A 0 ,函數(shù)有極小值，若AC B2 0, A 0,函數(shù)有極大值；若AC B20 ,函數(shù)沒(méi)有極值；若AC B20 ,不定。2)條件極值：求函數(shù) z f (x, y)在條彳(x, y) 0下的極值令：L(x,y) f (x,y)(x,y)Lagrange 函數(shù)Lx 0解方程組Ly 0(x, y) 02、幾何應(yīng)用1)曲線的切線與法平面x x(t)曲線: y y，則 上一點(diǎn)M(x0,y0,z0)(對(duì)應(yīng)參數(shù)為tO)處的 z z(t)切線方程為:x Xox(t0)y Vo z Zo y(to) z(to)x-8 -Vo)z (to)(zzo)法平

10、面方程為：x (t0)( xx0) y (t0)( y3) 曲面的切平面與法線曲面 ：F (x, y, z) 0 ,則 上一點(diǎn)M(X0，y0,Z0)處的切平面方程為：Fx(X0，y0，Zo)(x X。) Fy(X0,y0，4)(y y。) Fz(%, 丫。，4)(2 zj 0法線方程為:X X0Fx(x0,y0,Z0)y yz Z0Fy(x0,y0,Z0)Fz(x0,y0,Z0)第十章重積分重積分積分類(lèi)型計(jì)算方法二重積分I f x, y dD(1) 利用直角坐標(biāo)系b2 (X)X一型f (x, y)dxdydxf (x, y)dyai(x)Dd2 (y)Y一型f (x, y)dxdy c dyf

11、 (x, y)dxD1(2)利用極坐標(biāo)系使用原則典型例題課上的例題及課后 作業(yè)平面薄片的質(zhì) 量質(zhì)量=面密度 面積(1)積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標(biāo)方程表示(含圓弧，直線段)；(2)被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量表示較簡(jiǎn)單(含(x2y2), 為實(shí)數(shù))f ( cos , sin ) d dD2 ( )(3)利用積分區(qū)域的對(duì)稱性與被積函數(shù)的奇偶性 當(dāng)D關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，(關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，有類(lèi)似結(jié)論)0f (x, y)對(duì)于x是奇函數(shù)，應(yīng)用該性質(zhì)更方便即( x, y) f(x,y)I 2 f(x,y)dxdy f (x, y)對(duì)于 x是偶函數(shù)，Di 即( x, y) f(x,y) D1是D的右半部分 計(jì)算步驟及注

12、意事項(xiàng)1 .畫(huà)出積分區(qū)域2 .選擇坐標(biāo)系 標(biāo)準(zhǔn)：域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)軸，被積函數(shù):3 .確定積分次序原則4 .確定積分限方法5 .計(jì)算要簡(jiǎn)便注意關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分區(qū)域分塊少，累次積分好算為妙 圖示法先積一條線，后掃積分域 充分利用對(duì)稱性，奇偶性二重積分If(x,y,z)dv空間立體物的 質(zhì)里質(zhì)量=密度面積-E+ “一一投影法(1)利用直角坐標(biāo)5不、小 截面法by2(x)Z2(x,y)投影 f(x,y,z)dV dx dyf(x,y,z)dzay1(x)z1(x,y)x r cos(2)利用柱面坐標(biāo)y r sinz z相當(dāng)于在投影法的基礎(chǔ)上直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)適用范圍：積分區(qū)域表面用柱面坐標(biāo)

13、表示時(shí)方程簡(jiǎn)單；如旋轉(zhuǎn)體被積函數(shù) 用柱面坐標(biāo)表示時(shí) 變量易分離.如f(x2 y2)f(x2 z2) b弓()f(x,y, z)dV a dz d r( ) f( cos , sin ,z) dx cos r sin cos(3)利用球面坐標(biāo)y sin r sin sinz r cos2 dv r sin drd d適用范圍：積分域 表面用球面坐標(biāo)表示時(shí) 方程簡(jiǎn)單；如，球體，錐體.222被積函數(shù) 用球面坐標(biāo)表示時(shí) 變量易分離.如，f(x y z )222( , )2Id df( sin cos , sin sin , cos ) sin d11式,)(4)利用積分區(qū)域的對(duì)稱性與被積函數(shù)的奇偶性高

14、等數(shù)學(xué)(一)教案期末總復(fù)習(xí)曲線積分與曲面積分積分類(lèi)型計(jì)算方法典型例題第一類(lèi)曲線積分I Lf(x,y)ds 曲形構(gòu)件的質(zhì)量 質(zhì)量二線密度 弧長(zhǎng)參數(shù)法(轉(zhuǎn)化為定積分)(1)L:y (x)If( (t), (t)7 2(t)2(t)dt(2) L: x (t) ( t ) I bf(x, y(x)/l y2(x)dx y (t)ax r( )cos(3) r r( ) () L:y r( )sinIf(r( )cos ,r( )sin )Jr2( ) r2( )d(1) 參數(shù)法(轉(zhuǎn)化為定積分)L: x(t) (t單調(diào)地從到)y (t)LPdx QdyP (t), (t) (t) Q (t), (t)

15、 (t)dt平囿第一類(lèi)曲線 積分I l Pdx Qdy(2)利用格林公式(轉(zhuǎn)化為二重積分)條件：L封閉，分段光滑，有向(左手法則圍成平面區(qū)域D)P, Q具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)結(jié)論：o Pdx Qdy ( )dxdy Ld x y滿足條件直接應(yīng)用應(yīng)用：有瑕點(diǎn)，挖洞不是封閉曲線，添加輔 助線變力沿曲線所做 的功(3)利用路徑無(wú)關(guān)定理 (特殊路徑法)等價(jià)條件：_Q_ 上。Pdx Qdy 0xyLLPdx Qdy與路徑無(wú)關(guān)，與起點(diǎn)、終點(diǎn)有關(guān)Pdx Qdy具有原曲數(shù)u(x, y) (特殊路徑法，偏積分法，湊微分法)(4)兩類(lèi)曲線積分的聯(lián)系I LPdx Qdy JPcos Qcos )ds空間第二類(lèi)曲線 積分

16、I LPdx Qdy Rd變力沿曲線所做 的功(1)參數(shù)法(轉(zhuǎn)化為定積分)Pdx Qdy Rdz P (t), (t), (t) (t) Q (t), (t), (t) (t)R (t), (t), (t) (t)dtlz(2)利用斯托克斯公式(轉(zhuǎn)化第二類(lèi)曲面積分) 然件：L封閉，分段光滑，有向P, Q, R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù):Pdx Qdy Rdz結(jié)論：/ R Q、z 川 / pR、z/ Q川()dydz ()dzdx ()dxdyy zz xx y滿足條件直接應(yīng)用應(yīng)用,不是封閉曲線，添加輔 助線第一類(lèi)曲面積分I f(x,y,Zdv曲面薄片的質(zhì)量 質(zhì)量=面密度 面積投影法:z z(x, y)

17、投影到xoy面22I f (x, y, z)dvf (x,y,z(x,y) 1 zx zydxdyDxy類(lèi)似的還用投影到 yoz面和zox面的公式第二類(lèi)曲面積分IPdydz Qdz(流體流向曲面一側(cè)的流量(1)投影法 Pdydz p(x(y,z),y,z)dydz Dyz:z z(x, y), 為 的法向量與x軸的夾角 前側(cè)取“ +”，cos 0 ；后側(cè)取“”，cos 0 Qdzdx p(x, y(x, z),z)dzdxDyz:y y(x, z), 為 的法向量與y軸的夾角 右側(cè)取“ +”，cos 0 ；左側(cè)取“”，cos 0以 Rdxy Qdxdy Q(x, y, z(x, y)dxdyD

18、yz:x x(y, z), 為的法向量與x軸的夾角 上側(cè)取“ +”，cos 0 ；下側(cè)取“，cos 0(2)高斯公式右手法則取定的側(cè)條件： 封閉，分片光滑，是所圍空間閉區(qū)域的外側(cè)巳Q, R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)PQ R結(jié)論：o Pdydz Qdzdz Rdxdy()x y z滿足條件直接應(yīng)用應(yīng)用：不是封閉曲面，添加輔 助面(3)兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系Pdydz Qdzdx Rdxcy (Pcos Qcos Rcos )dS轉(zhuǎn)換投影法：dydz ( -z)dxdydzdx ( -z)dxdyxy所有類(lèi)型的積分：定義：四步法一一分割、代替、求和、取極限； 性質(zhì)：對(duì)積分的范圍具有可加性，具有線性性；對(duì)坐標(biāo)的積分，積分區(qū)域?qū)ΨQ與被積函數(shù)的奇偶性。第十二章級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)收斂，各項(xiàng)同乘同一常數(shù)仍收斂?jī)蓚€(gè)收斂級(jí)數(shù)的和差仍收斂注：一斂、一散之和必發(fā)散；兩散和、差必發(fā)散用