(完整版)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)所有性質(zhì)總結(jié),推薦文檔

1、推廣：an am (n m)d .從而d anam ；n m、等差數(shù)列1 .等差數(shù)列的定義：an an 1d (d為常數(shù))(n 2)；2 .等差數(shù)列通項(xiàng)公式：首項(xiàng)：a1,公差：d ,末項(xiàng)：anan a1 (n 1)d dn ai d (n-9 -3 .等差中項(xiàng)(1)如果a , A, b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng).即:b 或 2A a b(2)等差中項(xiàng)：數(shù)列 an是等差數(shù)列2ana n-1 an1(n 2)2ann an 24 .等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:n(a an)n2 na1n(n 1)d(其中A、B是常數(shù)，所以當(dāng)特別地,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù) 2n2d豐0時(shí)，1時(shí)，a|2 (a11 d)

2、n22An BnSn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0)n 1是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng)S2n 12n 1 a1 a2nl2n 1 an1 (項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項(xiàng)和等于項(xiàng)數(shù)乘以中間項(xiàng))5.等差數(shù)列的判定方法(1) 定義法：若an(2)等差中項(xiàng)：數(shù)列數(shù)列an是等差數(shù)列anand 或 an 1是等差數(shù)列(4)數(shù)列an是等差數(shù)列anSnkn bAn2an2an(其中Bn,d (常數(shù)nan-1 an 1N ) an是等差數(shù)列.(n 2) 2an 1 an an 2 .k,b是常數(shù))。(其中A、B是常數(shù))。6 .等差數(shù)列的證明方法an d (常數(shù) n N )an是等差數(shù)列.te乂法：右 ana

3、n 1 d 或 a n 17 .提醒：(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n和公式中，涉及到 5個(gè)元素：a1、d、n、an及Sn,其中a1、d稱作為基 本元素。只要已知這 5個(gè)元素中的任意 3個(gè)，便可求出其余 2個(gè)，即知3求2。(2)設(shè)項(xiàng)技巧：一般可設(shè)通項(xiàng)an a1 (n 1)d奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，a 2d,a d,a,a d,a 2d(公差為d)；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，a 3d,a d,a d,a 3d ,(注意；公差為2d)8.等差數(shù)列的性質(zhì)：(1)當(dāng)公差d 0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an a1 (n 1)d dn a d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d ；前n和Sn na1 n(n-1

4、)d dn2 (a1 0)n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.222(2)若公差d 0,則為遞增等差數(shù)列，若公差 d 0,則為遞減等差數(shù)列，若公差 d 0,則為常數(shù)列。(3)當(dāng)m n p q時(shí)，則有am an ap aq ,特別地，當(dāng) m n 2 P時(shí)，則有am an 2ap.注：a an a? an 1 a3 an 2,(4)若 anbn為等差數(shù)列，則 an b , an2bn都為等差數(shù)列(5)若an是等差數(shù)列，則Sn,52nSn,S3n S2n ,也成等差數(shù)列(6)數(shù)列an為等差數(shù)列，每隔k(k一一* . 一N )項(xiàng)取出一項(xiàng)(am, amk,am 2k,am 3k,)仍為等差數(shù)列(7)設(shè)數(shù)列

5、an是等差數(shù)列，d為公差， 歌 是奇數(shù)項(xiàng)的和,1.當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S偶是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和,Sn是前n項(xiàng)的和a1a3 a5a2nn a1a2n 1a2a4 a6a2n2n a2 a2 n2nannan inan inann an iannanannan 1 an 12、當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n 1時(shí)，則S2n 1SfS偶(2n 1) an+1S奇S偶an+1(n1)an+1S偶nan+1Swn 1(其中an+1是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng))(8)、bn的前n和分別為An、An,Bn且 Bn f(n)則 an (2n 1)anbn(2n 1)bnA2n 1B2n 1f (2n 1).(9)等差數(shù)列a

6、n的前n項(xiàng)和Smn ,前m項(xiàng)和Snm ,則前m+n項(xiàng)和Sm n(10)求Sn的最值法一：因等差數(shù)列前n項(xiàng)是關(guān)于n的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性 n N法二：(1) “首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和an 0 一,r即當(dāng)a10, d 0,由n 可得Sn達(dá)到最大值時(shí)的n值.an 10(2) “首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前 n項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。an 0 _ .即 當(dāng)a1 0, d 0,由可得Sn達(dá)到最小值時(shí)的n值.或求an中正負(fù)分界項(xiàng)an 10法三：直接利用二次函數(shù)的對(duì)稱性：由于等差數(shù)列前n項(xiàng)和的圖像是過(guò)原點(diǎn)的二次函數(shù)，故 n取離二次函

7、數(shù)對(duì)稱軸最近的整數(shù)時(shí),Sn取最大值(或最小值)。若S p = S q則其對(duì)稱軸為n注意：解決等差數(shù)列問(wèn)題時(shí)，通?？紤]兩類方法：基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d的方程；巧妙運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡(jiǎn)，減少運(yùn)算量.、等比數(shù)列1 .等比數(shù)列的定義：烏-q q 0 n 2,且n N* , q稱為公比 an 12 .通項(xiàng)公式：an a1qn 1 a1qn A Bn a1 q 0,A B 0 ,首項(xiàng)：a1;公比：qq推廣：an amqn m,從而得qn m a或q n m電am am3 .等比中項(xiàng)(1)如果a,A,b成等比數(shù)列，那么 A叫做a與b的等差中項(xiàng).即：A ab或A 疝注

8、意：同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，并且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè)(兩個(gè)等比中項(xiàng)互為相反數(shù))2(2)數(shù)列an是等比數(shù)列an an 1 an 14 .等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn公式：a anq1 q當(dāng)q 1時(shí)，Sn na1t7 2 c a11 qn(2)當(dāng) q 1 時(shí)，Sn 1 q-a- -a-qn A A Bn ABn A ( A,B, A,B為常數(shù))1 q 1 q5 .等比數(shù)列的判定方法a(1)用te乂：對(duì)任息的 n,都有an 1 qan或 q(q為吊數(shù)，an 0)an為等比數(shù)列an2(2)等比中項(xiàng)：anan 1an 1 ( an 1an 1 0)an為等比數(shù)列(3)通項(xiàng)公式：an A Bn A B 0 a

9、n為等比數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式：Sn A A Bn或Sn ABn A A,B, A,B為常數(shù)an為等比數(shù)列6 .等比數(shù)列的證明方法a一*依據(jù)te義：右 q q 0 n 2,且n N 或an 1 qanan為等比數(shù)列an 17 .注思(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n和公式中，涉及到 5個(gè)元素：a1、q、n、an及Sn,其中a1、q稱作為基本元素。只要已知這 5個(gè)元素中的任意 3個(gè)，便可求出其余 2個(gè)，即知3求2。(2)為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)項(xiàng)的技巧，一般可設(shè)為通項(xiàng)；an a1qn 1如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為,母，9，a,aq, aq2(公比為 q ,中間項(xiàng)用 a表示)； q q8 .等比數(shù)列的性

10、質(zhì)當(dāng)q 1時(shí)等比數(shù)列通項(xiàng)公式an a1qn 1%qn A Bn A B 0是關(guān)于n的帶有系數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底為公比 q q前n項(xiàng)和Sn a 1 qa1 a1q- 旦qn A A Bn ABn A,系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)是互為相反1 q 1 q 1 q 1 q數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比qn m(2)對(duì)任何m,n N，在等比數(shù)列an中，有an amq，特別的，當(dāng)m=1時(shí),便得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.因此，此公式比等比數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有一般性。*2(3)右 m+n=s+t (m, n, s, t N，則 an am a$ at.特別的，當(dāng) n+m=2k 時(shí)，得 an am ak注：a ana? an 1a3a

11、n 2(4)列an,bn為等比數(shù)列，則數(shù)列,k an ,ank,k an bna (k為非零常數(shù))均為等比數(shù)列anbn 數(shù)列an為等比數(shù)列，每隔k(k*.N )項(xiàng)取出一項(xiàng)(am,am k,am 2k,am 3k,)仍為等比數(shù)列(6)如果an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列l(wèi)og a an是等差數(shù)列 若an為等比數(shù)列，則數(shù)列Sn, S2n Sn, S3n S2n,成等比數(shù)列(8)若an為等比數(shù)列，則數(shù)列a1 a2an,an1an2a2n,a2n1 a2n 2a3n成等比數(shù)列(9)當(dāng)q 1時(shí),當(dāng)0q 1時(shí),a1 0,則an為遞增數(shù)列 a1 0,則an為遞減數(shù)列,a1 0,則an為遞減數(shù)列a1 0,

12、則an為遞增數(shù)列當(dāng)q=1時(shí)，該數(shù)列為常數(shù)列(此時(shí)數(shù)列也為等差數(shù)列) 當(dāng)q0時(shí),該數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列.(10)在等比數(shù)列an中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n (n N*)時(shí)，包 -,.S禺q(11)若an是公比為q的等比數(shù)列，則Sn m Sn qn Sm三、等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)的比較等差數(shù)列性質(zhì)等比數(shù)列性質(zhì)1、定義an+1-an=d(n 1)； an-an-1=d(n2)-q(n 1), =q(n 2)anan-12、通項(xiàng) 公式ana (n 1danam (nm)d(n, m N )n 1an a1 q n man am q3、前n項(xiàng)和(ai aSn2n(n 1)Snnai -2-dq=1，Sn=nai；q i&

13、PT) =口 i-qi-q4、中項(xiàng) a+ba、A、b成等差數(shù)列A=；2an是其前k項(xiàng)an-k與后k項(xiàng)an+k的等差中項(xiàng)，即：a =an-k+an+kn2 A ba、A、b成等比數(shù)列一一a A（不等價(jià)于A 2=ab ,只能 ）=；an是其前k項(xiàng)an*與后k項(xiàng)an+k的等比中項(xiàng)，即：a2=an-k an+k5、下標(biāo)和公式若m+n=p+q，則 am anap aq特別地,若m+n=2p,則am an 2 ap若m+n=p+q，則ama apaq特別地，若2m+n=2p，則 o o o am an ap6、首尾項(xiàng)性質(zhì)等差數(shù)列的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和等于首尾 兩項(xiàng)的和，即：ai an a? an iak

14、 an ” i）等比數(shù)列的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的積等于 首尾兩項(xiàng)的積，即：ai an a2 an iak an *。7、結(jié)論an為等差數(shù)列，若m,n,p成等差數(shù)列，則am，an，ap成等差數(shù)列 an為等比數(shù)列，若m，n，p成等差數(shù)列，則am，a”，ap成等比數(shù)歹u（兩個(gè)等差數(shù)列的和仍是等差數(shù)列）等差數(shù)列 an,bn的公差分別為d，e，則數(shù)歹”an bn仍為等差數(shù)列，公差為 d e（兩個(gè)等比數(shù)列的積仍是等比數(shù)列）等比數(shù)列 an ， bn的公比分別為p，q，則數(shù)列an bn 仍為等比數(shù)列，公差為pq取出等差數(shù)列的所有奇（偶）數(shù)項(xiàng)，組成的新數(shù)列仍為等差數(shù)列，且公差為 2d取出等比數(shù)列的所有奇（偶）數(shù)項(xiàng)

15、，組成的新2數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為 q若 am=n，an=m(mn)，則 am n 0無(wú)此性質(zhì)；若Sm=n，Sn=m(mn)，貝U Sm n (m n)無(wú)此性質(zhì)；若 Sm Sn(m n)，則 Smm 0無(wú)此性質(zhì)；Sm，S2m Sm，S3m S2m， 成等差數(shù)列,公差為m2dS，S2m Sm，S3m S2m， 成等差數(shù) m歹u,公比為q當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，$偶字 nd當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S偶 q當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n i時(shí)，*ani當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n 1時(shí)，81f s偶 a中82n 1（2n 1） a中，uS禺n sf al q s偶8、等差（等比） 數(shù)列的判斷方 法定義法：a an i d n 2等差中項(xiàng)概念；2an an 1 an 1n 2函數(shù)法：an pn q（ p