DFT的共軛對稱性PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1DFT的共軛對稱性的共軛對稱性第1頁/共37頁1.周期序列共軛對稱分量與共軛反對稱分量周期序列共軛對稱分量與共軛反對稱分量 周期為N的周期序列的共軛對稱分量與共軛反對 稱分量分別定義為 )()(21)()(21)()()(21)()(21)(*NNoNNenNxnxnxnxnxnNxnxnxnxnx同樣，有)()()()()()()(*nxnxnxnxnxnxnxooeeoe第2頁/共37頁*1( ) ( )()2ex nx nxn*1( ) ( )()2ex nx nxn( )Nx n*()NxNn第3頁/共37頁2.有限長序列的圓周共軛對稱分量有限長序列的圓周共軛對稱分量與圓周共軛

2、反對稱分量與圓周共軛反對稱分量 有限長序列的圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱 分量分別定義為)()()(21)()()()()()(21)()()(*nRnNxnxnRnxnxnRnNxnxnRnxnxNNNNoopNNNNeep由于)()()()()()()()()()(nRnxnRnxnRnxnxnRnxnxNoNeNoeN所以)()()(nxnxnxopep 這表明長為N的有限長序列可分解為兩個長度相同的兩個分量。第4頁/共37頁( )() 01( )() 01epepopopxnxNnnNxnxNnnN*1( ) ( )()21( ) ( )()2epopxnx nxNnxnx nxN

3、n 上式已給出有限長序列x(n)的圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量的對稱中心為N=N/2，其圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量可簡寫為：第5頁/共37頁()(),01222()(),01222epepopopNNNxnxnnNNNxnxnn 第6頁/共37頁: ( )( ) ( ) DFT ( )( )( )( )1 ( ) ( )( )21DFT( )( )()( )21 ( ) ( )( )21DFT ( )( )()( )2riepoprrepiiopx nx njx nx nX kXkXkx nx nx nx nX kXNkXkx nx nx nx nX kXNkXk若有則有：證

4、明：第7頁/共37頁圓周共軛對稱分量。的該序列復(fù)數(shù)序列實(shí)部的DFTDFT *圓周共軛反對稱分量。的該序列的復(fù)數(shù)序列虛部乘以DFTDFTj*第8頁/共37頁)(Im)()(21 )(DFT)()(21)( )(Re)()(21)(DFT)()(21)( :)()()()(DFT:)( )()( :kXjkXkXnxnNxnxnxkXkXkXnxnNxnxnxkjXkXkXnxnxnxnxopopepepIRopep證明則有若有第9頁/共37頁5.實(shí)、虛序列的對稱特性實(shí)、虛序列的對稱特性 當(dāng)x(n)為實(shí)序列時，則 X(k)=Xep(k)又據(jù)Xep(k)的對稱性：)()()(*kRkNXkXNNep

5、ep 當(dāng)x(n)為純虛序列時，則 X(k)=Xop(k)又據(jù)Xop(k)的對稱性：)()()(*kRkXkXNNopop)()()(*kRkNXkXNN)()()(*kRkXkXNN第10頁/共37頁 序列 DFT( )( )x nX kRe ( )( )epx nXkIm ( )( )opjx nXk( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k第11頁/共37頁 序列 DFTRe ( )( )( )epx nXkX kIm ( )0( )0opjx nXk( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k第12頁/共37頁 序列 DFTRe ( )0( )0ep

6、x nXkIm ( )( )( )opjx nXkX k( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k第13頁/共37頁11 ( )( )DFT x nX k22( )( )DFT x nXk利用兩序列構(gòu)成一個復(fù)序列12( )( )( )w nx njx n12( ) ( )( )( )W kDFT w nDFT x njx n則12( )( )DFT x njDFT x n12( )( )X kjXk6.共軛對稱性的應(yīng)用舉例共軛對稱性的應(yīng)用舉例第14頁/共37頁1( )Re ( )x nw n由得11( ) ( ( )epX kDFT x nWk*1( )() ( )2NNN

7、WkWNkRk2( )Im ( )x nw n由得221( )( )( )opXkDFT x nWkj*1( )() ( )2NNNWkWNkRkj第15頁/共37頁第16頁/共37頁()jX e回憶時域內(nèi)插恢復(fù)公式回憶時域內(nèi)插恢復(fù)公式!第17頁/共37頁 ( )()( )kNnkNz WnX kNWznXX zx對在單位圓上 點(diǎn)等間隔抽樣，得周期序列：( )( )?X kx n分析：( )z( )( )nnx nX zx n z任意絕對可和的非周期序列，其 變換： 一一.由由頻域抽樣恢復(fù)原序列頻域抽樣恢復(fù)原序列第18頁/共37頁( )( )NxnX kIDFS令為的：101( )( )( )

8、NnkNNkxnIDFS X kX k WN101( )NmknkNNkmx m WWN 1()01( )Nm n kNmkx mWN()rx nrN1()0110Nm n kNkmnrNWmN其它r為任意整數(shù)第19頁/共37頁( )X k由頻域抽樣序列 還原得到的周期序列是原非周期序列 的周期延拓序列，其周期為頻域抽樣點(diǎn)數(shù)N。( )x n所以：時域抽樣造成頻域周期延拓同樣，頻域抽樣造成時域周期延拓1 NM），不失真2NM），混疊失真討論：第20頁/共37頁NM( )( )( )( )( )NNNxn RnIDFS X k Rnx n( )X k( )x n第21頁/共37頁1101( )1N

9、 NkkNzX kNW z( )Mx nNNM點(diǎn)有限長序列，頻域 點(diǎn)等間隔抽樣，且 1100( )( )( )MNnnnnX zx n zx n z11001( )NNnknNnkX k WzN11001( )NNnknNknX kWzN11011( )1NkNNNkkNWzX kNWz內(nèi)插恢復(fù)和表示二、由-)()()(jeXZXkX1.由X(k)恢復(fù)X(Z)則：第22頁/共37頁1101( )( )1N NkkNzX kX zNWz內(nèi)插公式：111( )1NkkNzzNWz內(nèi)插函數(shù)：10( )( )( )NkkX zX kz則內(nèi)插公式簡化為： 內(nèi)插公式與內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插公式與內(nèi)插函數(shù)第23頁/共

10、37頁)(11)(1kNNNkWzzzNZ20,1,.,1jrNzerN零點(diǎn)：，20 (-1)jkNzeN極點(diǎn)：， 階 極點(diǎn) 與一零點(diǎn)相消。這樣只有(N-1)個零點(diǎn),抽樣點(diǎn) 稱作本抽樣點(diǎn)。因此說，內(nèi)插 函數(shù)僅在本抽樣點(diǎn)處不為零,其他(N-1)個抽樣點(diǎn)均為零。kNjeZ2kNje2第24頁/共37頁2()( )()jjkkz eezkN ()jX e用頻域采樣 表示 的內(nèi)插公式( )X k10()( )( )()jNjjkz ekX eX zX ke12sin12 ( )sin2NjNeN內(nèi)插函數(shù)：2.第25頁/共37頁第26頁/共37頁102 ()( ) ()NjkX eX kkN 內(nèi)插恢復(fù)過

11、程描述：212 ()20kikNkNiikN 第27頁/共37頁第28頁/共37頁112120( )( )( )( )()( )LLLmy nx nx nx m xnmRn1122( )( )( )( )X kDFT x nXkDFT x n0kL-1則由時域循環(huán)卷積定理有 Y(k)=DFTy(n)=X1(k)X2(k), 0kL-1如果1.用DFT計(jì)算循環(huán)卷積第29頁/共37頁圖 3.4.1 用DFT計(jì)算循環(huán)卷積 第30頁/共37頁1010( )( )( )( ) ()( )( )( )( ) ()( )NlmLcLLmy nh nx nh m x nmy nh nx nh m x nmRn

12、2.循環(huán)卷積與線性卷積循環(huán)卷積與線性卷積第31頁/共37頁1010( )( )()( )( ) ()( )NcLmqNLqmy nh mx nmqL R nh m x nmqL R n ( )(),Lqx nx nqL可以看出， 上式中 10( ) ()()( )()( )NlmclLqh m x nqLMy nqLy ny nqL R n第32頁/共37頁圖 3.4.2 線性卷積與循環(huán)卷積 0123451234h(n) x(n)nL 60123451234nL 867h(n) x(n)0123451234nL 1067h(n) x(n)（ d ）（ e ）( f )0123451234nN M1 867h(n) x(n)*nM 5012341x(n)nN 401231h(n)（ a ）（ b ）（ c ）89* * 189 10第33頁/共37頁圖 3.4.3 用DFT計(jì)算線性卷積框圖 補(bǔ)L N個零點(diǎn)L點(diǎn)DFT補(bǔ)L M個零點(diǎn)L點(diǎn)DFTL點(diǎn)IDFTy(n)h(n)x(n)第34頁/共37頁0( )( )( )( )()kkkMx nxnxnx nRnkM于是， h(n)與x(n)的線性卷積可表示為000( )( )