微積分在物理學(xué)上的應(yīng)用

1、.微積分在物理學(xué)上的應(yīng)用1 引言 微積分是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本學(xué)科，內(nèi)容包括微分學(xué)，積分學(xué)，極限及其應(yīng)用，其中微分學(xué)包括導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，因此使速度，加速度等物理元素可以使用一套通用的符號來進(jìn)行討論。而在大學(xué)物理中，使用微積分去解決問題是及其普遍的。對于大學(xué)物理問題，可是使其化整為零，將其分成許多在較小的時(shí)間或空間里的局部問題來進(jìn)行分析。只要這些局部問題分的足夠小，足以使用簡單，可研究的方法來解決，再把這些局部問題的結(jié)果整合起來啊，就可以得到問題的結(jié)果。而這種將問題無限的分割下去，局部問題無限的小下去的方法，即稱為微分，而把這些無限個(gè)微分元中的結(jié)果進(jìn)行求和的方法，即是積分。這種解決物理問題的思想和方法即是

2、微積分的思想和方法。2 微積分的基本概念及微分的物理含義微積分是一種數(shù)學(xué)思想，其建立在函數(shù)，實(shí)數(shù)和極限的基礎(chǔ)上，其主要探討的就是連續(xù)變量。在運(yùn)用微積分去解決物理問題時(shí)，可以將我們所需要得出的結(jié)果看成是一個(gè)整體，再將這個(gè)整體先微分，即將其分成足夠小的個(gè)體，我們可以將這個(gè)個(gè)體的變量看成衡量，得出個(gè)體結(jié)果后，再將其積分，即把個(gè)體的結(jié)果累積起來進(jìn)行求和。例如，在我們研究勻變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們就可以在其運(yùn)動(dòng)過程中選取一個(gè)微小的時(shí)間dt，而這一時(shí)間內(nèi)的位移為dt，在每一段時(shí)間內(nèi)速度的變化量非常小，可以近似忽略，那么我們就可以將這段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)近似看成勻速直線運(yùn)動(dòng)，再把每段時(shí)間內(nèi)的位移相加，無限求和，就可以

3、得出總的位移。在物理學(xué)中，每個(gè)物理公式都是某些物理現(xiàn)象和規(guī)律的數(shù)學(xué)表示，因此，我們在使用這些公式時(shí)，面對物理量和公式的微分形式我們不能僅僅從數(shù)學(xué)方面去考慮，更要從物理含義上去考慮。在我們使用微分符號時(shí)，不能只從數(shù)學(xué)角度去理解其為無限小，更要結(jié)合具體的物理量和角度去判斷他的正確含義。例：如圖所示，一通有交流電流i=的長直導(dǎo)線旁有一共面的單匝矩形線圈ABCD，試求線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢大小。解：設(shè)在某個(gè)時(shí)刻，長直導(dǎo)線電流產(chǎn)生的磁場為 B= 在圖中做一個(gè)微元面dS,dS=ldx,則該面元上的磁場可以近似于均勻磁場，微元面dS上的磁通量為 d線圈圍成的面上通過的磁通量為 線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢為 在這個(gè)例題中

4、，微元面dS的磁通量與線圈的感應(yīng)電動(dòng)勢都有，但他們的物理含義卻是不一樣的，前者的表示微元面 dS上的磁通量，是一個(gè)微小量，而后者的表示的是微笑時(shí)間內(nèi)的磁通量變化量，是一個(gè)微小變化量。3 微元的選取以及微積分解決物理問題時(shí)的一般步驟3.1 微元的選取在使用微積分去解決物理問題時(shí)，微元的選取是非常重要的，有的時(shí)候在微元的選擇上并不是僅僅只有一個(gè)，因此，選取一個(gè)合適的微元對我們解決問題會(huì)有很大幫助。我們通常在微元的選取方面有以下幾點(diǎn)注意，第一，在我們選取微元時(shí)，要保證我們們所選擇的微元能夠讓我們可以將原本的問題近似處理的比較簡單，以使我們能夠更加便利且清晰的區(qū)解決物理問題；第二，我們要使我們選擇的微

5、元盡可能地大，這樣在我們?nèi)シe分時(shí)可以更為方便，如果微分過細(xì)，那么我們的過程會(huì)更精準(zhǔn)，可是相對的，我們在積分時(shí)面臨的過程也會(huì)更加繁瑣，因此我們要處理好微分和積分之間的運(yùn)算；第三，能用一元微元去解決問題時(shí)盡量使用一元微元，因?yàn)橹胤e分使用起來要比一元積分麻煩的很多。選取微元要遵循以下幾個(gè)原則：1.可加性原則，由于在題目中我們所選取的微元要可以疊加演算，因此，選取的微元要具備可加性；2.有序性原則，為了保證我們所選取的微元能夠在疊加區(qū)域可以不遺漏，不重復(fù)的疊加，我們就需要注意按照量的某種序來選取微元；3.平權(quán)型原則，疊加演算實(shí)際上就是一種復(fù)雜的“加權(quán)疊加”。對于一般的“權(quán)函數(shù)”而言，疊加演算，也就是求

6、定積分是十分復(fù)雜的，但如果“權(quán)函數(shù)”具備了“平權(quán)性”特征（在定義域內(nèi)的值處處相等），原本復(fù)雜的題目就會(huì)化成簡單的形式更有利于我們?nèi)ソ鉀Q問題。例：求半徑為R的均勻帶電半球面在點(diǎn)O的電場強(qiáng)度，設(shè)球面上電荷面密度0.解法一：如圖，在球面上任取面元dS，將其上的電荷為一點(diǎn)電荷dq，則有 dq=dS=(Rd)(R)d =dd則該點(diǎn)電荷元在點(diǎn)O產(chǎn)生的場強(qiáng)dE=dq/(40)=dd/(40)根據(jù)對稱性，即得出點(diǎn)O場強(qiáng)E0沿Z軸正方向，大小為E=dE=/(40)解法二：如圖，沿著與Z軸的垂直方向把半球面分割成許多不同半徑的帶電圓環(huán)，任取一圓環(huán)，其上的電荷在點(diǎn)O產(chǎn)生的場強(qiáng)dE=dqz/40 =(/20)d方向沿

7、OZ軸正方向，點(diǎn)O場強(qiáng)E=dE=/(40)由例子可知選取的微元不同，解法也是不同的，代表的物理含義也是不一樣的，然而微元的選取并不影響結(jié)果，因此我們要正確理解其含義，才能更好地從物理概念，物理實(shí)質(zhì)上去把握微積分。3.2 微積分解決物理問題時(shí)的一般步驟1.根據(jù)題意分析，選取一個(gè)具有廣泛意義的微元，對微元進(jìn)行分析，若是題目簡單且物理含義比較明顯，且遵從題意，可直接進(jìn)行積分。2.若是題目較復(fù)雜，根據(jù)題意，對于一個(gè)暫態(tài)過程寫出一個(gè)平衡等式，然后對兩邊微分，在得到一個(gè)微元結(jié)果后，對這個(gè)分式進(jìn)行積分操作。以上步驟都是在遵從題意的基礎(chǔ)下進(jìn)行，進(jìn)行微分分析的結(jié)果一般是一個(gè)微分方程，在求解時(shí)要注意初始條件，在積

8、分時(shí)，更要注意取上下限時(shí)，要滿足邊界條件。例：圓柱形桶的內(nèi)壁高為h，內(nèi)半徑為R，桶底有一半徑為r的小孔，試問從盛滿水開始打開小孔直至流完桶中的水，共需多長時(shí)間？解：如圖建立坐標(biāo)系，在沒有摩擦力的情況下，當(dāng)桶內(nèi)水位高度為h-x時(shí)，水從小孔中單位時(shí)間內(nèi)流過單位截面積的流量為v=，其中g(shù)為重力加速度設(shè)積分變量x,其變化區(qū)間為0，h任取x,x+x0,h，當(dāng)桶中液體下降x時(shí)，所需要的時(shí)間用dt表示，根據(jù)水的流量體積相等得dx=vdt所以dt=/dx,x0,h流完一桶水所需的時(shí)間 tf=dx但因?yàn)楸环e函數(shù)是0，h上的無界函數(shù)，所以tf =dx =由此題可看出，在我們通常使用微積分解決物理問題時(shí)，建立坐標(biāo)系

9、是很好的一個(gè)方法，可以有助于我們更好地去解決問題。4 微積分在物理學(xué)各領(lǐng)域的應(yīng)用4.1 微積分在質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的應(yīng)用微積分在力學(xué)中的使用是非常普遍的，要用好微積分去解決問題，首先要在思想上認(rèn)識到物體在運(yùn)動(dòng)過程中，反應(yīng)其運(yùn)動(dòng)特征的物理量是隨著時(shí)間的變化而變化的。運(yùn)用微積分可以得出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程以及他的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。就比如說當(dāng)我們對函數(shù)中的t進(jìn)行求一階導(dǎo)數(shù)時(shí)，我們就可以得到該函數(shù)所表示的質(zhì)點(diǎn)的加速度函數(shù)。而我們可以將微積分在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的問題可以分成以下幾類：1. 在已知道運(yùn)動(dòng)方程的前提下求其中的加速度和速度 ；2. 在已知質(zhì)點(diǎn)的加速度，以及該質(zhì)點(diǎn)的初始速度的前提下，求該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。例1：一人站在岸上，用

10、一條繩子拉船使其向岸邊靠攏，如圖所示，若人以恒定速率v0收繩，求船的速度。 解：如圖所示，設(shè)設(shè)船與輪子的距離為l,船的瞬時(shí)位移為x，由圖可知=-那么船的瞬時(shí)速度為v=根據(jù)題意可知 v0=-所以 v=-v0在解決此類問題時(shí)，我們要善于從幾何關(guān)系中找到質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，而在一般情況下運(yùn)動(dòng)方程往往是t的隱函數(shù)形式。因此，將方程中的t進(jìn)行一階及二階求導(dǎo)，就可以得出瞬時(shí)速度和瞬時(shí)加速度隨著一些空間變量的變化規(guī)律。例2：如圖，質(zhì)量M=2.0kg的木箱，懸掛在一輕彈簧下，彈簧靜伸長x0=0.01m，一質(zhì)量m=2.0kg的橡皮泥距箱子底板h=0.30m處自由落下，黏在箱子底部后，同箱子一起向下運(yùn)動(dòng)，求箱子下降的

11、最大距離。解：球落到箱子底部時(shí)的速度為 v0=設(shè)當(dāng)橡皮泥與箱子一起運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度為v,則 mv0=(M+m)v所以 v=v0根據(jù)動(dòng)量定理知 （Mg+mg-kx）dt=d(m+M)v得出 (Mg+mg-kx)dx=(M+m)vdv上式積分后得 dx=化簡整理后 （M+m）+k=-(M+m)gx1+k整理之后得出 x=0.03m例3：質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在力的作用下做平面曲線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為=A+B，式中,A,B,都是正的恒量，則力在=0到=這段時(shí)間內(nèi)做的功是多少？解：在這段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量為 =- =+ =m(- =由動(dòng)能定理知，功W等于動(dòng)能增量，所以 W=4.2 微積分在剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的應(yīng)用剛

12、體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的一些基本公式：運(yùn)動(dòng)方程：=（t）（表示角位置隨時(shí)間t的變化關(guān)系）角速度：=角加速度：=例1：一長為l,質(zhì)量為m的均勻直桿，兩端分別固定有質(zhì)量為2m和m的小球，桿可繞與桿垂直的水平光滑固定軸O在直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，軸到桿中心C的距離OC=.開始桿與水平方向成角，且處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖所示，求桿釋放后，轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)的角速度及質(zhì)心C的速度和加速度。解：應(yīng)用積分轉(zhuǎn)動(dòng)定律，當(dāng)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到如圖（1）的位置時(shí) 有 =I其中=mg = (1)I為各物體對軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和，即 I= =結(jié)合上述式子 =I=I即 得到 質(zhì)心速度為 質(zhì)心加速度為 在熟練掌握定理的同時(shí)運(yùn)用微積分來解答此類問題是對我們是十分有幫助的

13、，因此在解題過程中我們要把兩者結(jié)合好，才更有利于我們解決此類問題。例2：如圖所示，一半徑為r的空心管放在豎直的平面內(nèi)，管內(nèi)有一鏈條，它的線密度為。開始時(shí)，鏈條的兩端分別與管口A和B重合，受到干擾后，鏈條的一端由管口滑下，求圖示位置鏈條的速度。解：如圖所示（2）所示取管內(nèi)鏈條上的一小質(zhì)元dm=,其重力對點(diǎn)O力矩為 d 則管內(nèi)部分鏈條的重力對O力矩為 (2)而管外鏈條下垂部分重力對O力矩為 則瞬時(shí)和力矩為 M=根據(jù)角動(dòng)量定理得到 M= 所以 即 對其進(jìn)行積分，得到 解得 v=當(dāng)我們遇到這樣的題目，要善于在題目中間找到等價(jià)關(guān)系，靈活的運(yùn)用微積分和定理之間的關(guān)系更有利于我們?nèi)ソ鉀Q問題。該題利用角動(dòng)量定理，再對其進(jìn)行積分，以此求出速度v。4.3 微積分在靜電場方面的應(yīng)用設(shè)真空中的電荷為q，P點(diǎn)位于空間一點(diǎn)，為從q到P點(diǎn)的矢徑。P點(diǎn)的電場強(qiáng)度為 由疊加原理，點(diǎn)電荷系在空間P點(diǎn)處的電場強(qiáng)度由定積分的定義，連續(xù)帶電體在空間P點(diǎn)處的電場強(qiáng)度 設(shè)真空中的電荷為q，P點(diǎn)位于空間一點(diǎn)，為從q到P點(diǎn)的矢徑。P點(diǎn)的電勢為由疊加原理，點(diǎn)電荷系在空間P點(diǎn)處的電勢由定積分的定義，連續(xù)帶電體在空間P點(diǎn)處的電勢例1：在一半徑為R的非導(dǎo)體細(xì)圓環(huán)上，電荷的線密度，式中為正的常數(shù)，如圖所示，