D110閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)73861PPT課件

1、理學院數(shù)學系 郭彥 1注意注意: 若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結論不一定成立 .一一、最值定、最值定理理定理定理1.1.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)即: 設, ,)(baCxf12則, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷 在該區(qū)間上一定有最大(證明略)點 ,xyab)(xfy O第1頁/共12頁理學院數(shù)學系 郭彥 2例如例如,)1,0(,xxy無最大值和最小值 21,31,110,1)(xxxxxxf22也無最大值和最小值 又如又如, xy11OxyO11第2頁/共12頁理學院數(shù)學系 郭彥 3,)(baxf在因此12mM二、介值定理二、介值定理

2、由定理 1 可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故證證: 設, ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .定理定理2. ( 零點定理 ), ,)(baCxf至少有一點, ),(ba且使.0)(f0)()(bfaf( 證明略 )推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界. b xya)(xfy Oxyab)(xfy O第3頁/共12頁理學院數(shù)學系 郭彥 4定理定理3. ( 介值定介值定理理 )設 , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf則對 A 與 B 之間的任一數(shù) C ,一點, ),(ba證證: 作輔助函數(shù)Cxfx)()(則,)(baCx 且)()

3、(ba)(CBCA0故由零點定理知, 至少有一點, ),(ba使,0)(即.)(Cf推論推論: 在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)C使.)(Cf至少有必取得介于最小值與最大值之間的任何值 .xAbya)(xfy BO第4頁/共12頁理學院數(shù)學系 郭彥 5O1x例例. 證明方證明方程程01423 xx一個根 .證證: 顯然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故據(jù)零點定理, 至少存在一點, ) 1 ,0(使,0)(f即01423說明說明:,21x,0)(8121f內(nèi)必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中點,43x,0)(43f內(nèi)必有方程的根 ;),(4321可用此法求近

4、似根.二分法二分法在區(qū)間)1 ,0(的中點取1 ,0內(nèi)至少有則則4321內(nèi)容小結 第5頁/共12頁理學院數(shù)學系 郭彥 6*三三. 一致連續(xù)一致連續(xù)性性已知函數(shù))(xf在區(qū)間 I 上連續(xù), 即:,0Ix ,0,0)(0 x,0時當 xx)()(0 xfxf一般情形,.,0都有關與x,0無關時與若x就引出了一致連續(xù)的概念 .定義定義:, )(Ixxf對,0若,0存在,21Ixx對任意的都有,)()(21xfxf)(xf則稱在在 I 上一致連續(xù)上一致連續(xù) .顯然:上一致連續(xù)在區(qū)間 Ixf)(上連續(xù)在區(qū)間 Ixf)(,21時當 xx第6頁/共12頁理學院數(shù)學系 郭彥 7例如例如,xxf1)(, 1,0

5、(C但不一致連續(xù) .因為, ) 10(0取點, )(,11211Nnxxnn則 21xx 111nn) 1(1nn可以任意小但)()(21xfxf) 1( nn1這說明xxf1)(在( 0 , 1 上不一致連續(xù) .定理定理4., ,)(baCxf若,)(baxf在則上一致連續(xù).(證明略)思考思考: P74 題 *7提示提示:設)(, )(bfaf存在, 作輔助函數(shù))(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(,)(baCxF顯然第7頁/共12頁理學院數(shù)學系 郭彥 8內(nèi)容小結內(nèi)容小結則設, ,)(baCxf在)(. 1xf上達到最大值與最小值;上可取最大與最小值之間的任何值;4. 當

6、0)()(bfaf時, ),(ba使. 0)(f必存在,ba上有界;在)(. 2xf,ba在)(. 3xf,ba第8頁/共12頁理學院數(shù)學系 郭彥 91. 任給一張面積為 A 的紙片(如圖), 證明必可將它思考與練習思考與練習一刀剪為面積相等的兩片.提示提示: 建立坐標系如圖.xOy則面積函數(shù),)(CS因,0)(SAS)(故由介值定理可知:, ),(0.2)(0AS使)(S第9頁/共12頁理學院數(shù)學系 郭彥 10則, 2,0)(aCxf, )2()0(aff證明至少存在, ,0a使. )()(aff提示提示: 令, )()()(xfaxfx則, ,0)(aCx 易證0)()0(a2. 設設作業(yè)作業(yè)P74 (習題110） 2 ; 3; 5一點習題課 第10頁/共12頁理學院數(shù)學系 郭彥 11,4,0)(上連續(xù)在閉區(qū)間xf備用題備用題 1e3xx至少有一個不超過 4 的 證證：證明令1e)(3xxxf且)0(f1e