2021高考物理一輪復(fù)習(xí)專題4第4講萬有引力與航天題型突破練含解析

1、第4講 萬有引力與航天考點(diǎn)一開普勒定律與萬有引力定律開普勒定律的理解與應(yīng)用【典例1】(2018全國卷)為了探測(cè)引力波，“天琴計(jì)劃”預(yù)計(jì)發(fā)射地球衛(wèi)星p，其軌道半徑約為地球半徑的16倍，另一地球衛(wèi)星q的軌道半徑約為地球半徑的4倍，p與q的周期之比約為世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)()a.21b.41c.81d.161【解析】選c。據(jù)開普勒第三定律tptq=rp3rq3=81，故選c。萬有引力的計(jì)算【典例2】如圖所示，有一個(gè)質(zhì)量為m，半徑為r，密度均勻的大球體。從中挖去一個(gè)半徑為r2的小球體，并在空腔中心放置一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，則大球體的剩余部分對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的萬有引力大小為(已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零)世

2、紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)()a.gmmr2b.0c.4gmmr2d.gmm2r2【通型通法】1.題型特征：質(zhì)量分布不均勻的球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)萬有引力的計(jì)算。2.思維導(dǎo)引：【解析】選d。若將挖去的小球體用原材料補(bǔ)回，可知剩余部分對(duì)m的吸引力等于完整大球體對(duì)m的吸引力與挖去小球體對(duì)m的吸引力之差，挖去的小球體球心與m重合，對(duì)m的萬有引力為零，則剩余部分對(duì)m的萬有引力等于完整大球體對(duì)m的萬有引力；以大球體球心為中心分離出半徑為r2的球，易知其質(zhì)量為18m，則剩余均勻球殼對(duì)m的萬有引力為零，故剩余部分對(duì)m的萬有引力等于分離出的球?qū)ζ涞娜f有引力，根據(jù)萬有引力定律，f=g18mmr22=gmm2r2，故d正確。天體表面的重力

3、加速度【典例3】(2019茂名模擬)航天員在某星球上為了探測(cè)其自轉(zhuǎn)周期做了如下實(shí)驗(yàn)：在該星球兩極點(diǎn)，用彈簧測(cè)力計(jì)測(cè)得質(zhì)量為m的砝碼所受重力為f，在赤道測(cè)得該砝碼所受重力為f。他還發(fā)現(xiàn)探測(cè)器繞該星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為t。假設(shè)該星球可視為質(zhì)量分布均勻的球體，則其自轉(zhuǎn)周期為()世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)a.tffb.tffc.tf-ffd.tff-f【通型通法】1.題型特征：利用萬有引力求星體自轉(zhuǎn)周期。2.思維導(dǎo)引：【解析】選d。設(shè)星球和探測(cè)器質(zhì)量分別為m、m，在兩極點(diǎn)，有：gmmr2=f，在赤道，有：gmmr2-f=mr42t自2，探測(cè)器繞該星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為t，則有：gmmr2=mr42

4、t2；聯(lián)立以上三式解得t自=tff-f，故d正確，a、b、c錯(cuò)誤。1.萬有引力的計(jì)算：(1)推論：在勻質(zhì)球殼的空腔內(nèi)任意位置處，質(zhì)點(diǎn)受到球殼的萬有引力的合力為零，即f=0。如圖所示，在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(diǎn)(質(zhì)量為m)受到的萬有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(質(zhì)量為m)對(duì)它的引力，即f=gmmr2。(2)質(zhì)量分布不均勻的球體可采用填補(bǔ)法，將球體轉(zhuǎn)變成質(zhì)量分布均勻的。2.萬有引力與重力的區(qū)別：(1)地球?qū)ξ矬w的萬有引力f表現(xiàn)為兩個(gè)效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力f向。在赤道：gmmr2=mg1+m2r在兩極：gmmr2=mg0在一般位置：萬有引力gmmr2等于重力mg

5、與向心力f向的矢量和。越靠近南、北兩極，g值越大，由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較小，常認(rèn)為萬有引力近似等于重力，即gmmr2=mg。(2)星球上空距離星體中心r=r+h處的重力加速度為g，mg=gmm(r+h)2，得g=gm(r+h)2。所以gg=(r+h)2r2?！炯庸逃?xùn)練】1.(多選)由于地球自轉(zhuǎn)的影響，地球表面的重力加速度會(huì)隨緯度的變化而有所不同。已知地球表面兩極處的重力加速度大小為g0，在赤道處的重力加速度大小為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為t，引力常量為g。假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體。下列說法正確的是()a.質(zhì)量為m的物體在地球北極受到的重力大小為mgb.質(zhì)量為m的物體在地球赤道上受到

6、的萬有引力大小為mg0c.地球的半徑為(g0-g)t242d.地球的密度為3g0gt2(g0-g)【解析】選b、c、d。因地球表面兩極處的重力加速度大小為g0，則質(zhì)量為m的物體在地球北極受到的重力大小為mg0，選項(xiàng)a錯(cuò)誤；因在地球的兩極gmmr2=mg0，則質(zhì)量為m的物體在地球赤道上受到的萬有引力大小為f=gmmr2=mg0，選項(xiàng)b正確；在赤道上：gmmr2-mg=m42t2r；聯(lián)立解得：r=(g0-g)t242，選項(xiàng)c正確；地球的密度為=m43r3，聯(lián)立解得：=3g0gt2(g0-g)，選項(xiàng)d正確。2.若地球半徑為r，把地球看作質(zhì)量分布均勻的球體，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響?！膀札垺碧?hào)下潛深度為d，

7、“天宮一號(hào)”軌道距離地面高度為h，“蛟龍”號(hào)所在處與“天宮一號(hào)”所在處的重力加速度之比為()a.r-dr+hb.(r-d)2(r+h)2c.(r-d)(r+h)2r3d.(r-d)(r+h)r2【解析】選c。設(shè)地球的密度為，則在地球表面，重力和地球的萬有引力大小相等，有：g=gmr2。由于地球的質(zhì)量為：m=43r3，所以重力加速度的表達(dá)式可寫成：g=gmr2=g43r3r2=43gr。根據(jù)題意有，質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，故在深度為d的位置，受到地球的萬有引力即為半徑等于(r-d)的球體在其表面產(chǎn)生的萬有引力，故“蛟龍”號(hào)的重力加速度g=43g(r-d)，所以有g(shù)g=r-dr。根

8、據(jù)萬有引力提供向心力gmm(r+h)2=ma，“天宮一號(hào)”所在處的重力加速度為a=gm(r+h)2，所以ag=r2(r+h)2，ga=(r-d)(r+h)2r3，故c正確，a、b、d錯(cuò)誤?？键c(diǎn)二萬有引力定律的應(yīng)用天體質(zhì)量和密度的計(jì)算【典例4】如圖所示是美國的“卡西尼”號(hào)探測(cè)器經(jīng)過長達(dá)7年的“艱苦”旅行，進(jìn)入繞土星飛行的軌道。若“卡西尼”號(hào)探測(cè)器在半徑為r的土星上空離土星表面高h(yuǎn)的圓形軌道上繞土星飛行，環(huán)繞一周飛行時(shí)間為t，已知引力常量為g，則下列關(guān)于土星質(zhì)量m和平均密度的表達(dá)式正確的是世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)()a.m=42r2gt2，=3gt2b.m=42(r+h)3gt2，=3(r+h)2gt2r3

9、c.m=42(r+h)3gt2，=3(r+h)3gt2r3d.m=42t2(r+h)3g，=3t2(r+h)3gr3【解析】選c。設(shè)“卡西尼”號(hào)的質(zhì)量為m，土星的質(zhì)量為m，“卡西尼”號(hào)圍繞土星的中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向心力由萬有引力提供，gmm(r+h)2=m42t2(r+h)，解得m=42(r+h)3gt2。又土星體積v=43r3，所以=mv=3(r+h)3gt2r3，故c正確，a、b、d錯(cuò)誤。人造衛(wèi)星的運(yùn)行問題【典例5】自2016年起4月24日被設(shè)立為“中國航天日”。1970年4月24日我國首次成功發(fā)射的人造衛(wèi)星東方紅一號(hào)，目前仍然在橢圓軌道上運(yùn)行，其軌道近地點(diǎn)高度約為440 km，遠(yuǎn)地點(diǎn)

10、高度約為2 060 km。1984年4月8日成功發(fā)射的東方紅二號(hào)衛(wèi)星運(yùn)行在赤道上空35 786 km的地球同步軌道上。設(shè)東方紅一號(hào)在遠(yuǎn)地點(diǎn)的加速度為a1，東方紅二號(hào)的加速度為a2，固定在地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的加速度為a3，則a1、a2、a3的大小關(guān)系為世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)()a.a2a1a3b.a3a2a1c.a3a1a2d.a1a2a3【通型通法】1.題型特征：人造衛(wèi)星與地球上隨地球自轉(zhuǎn)的物體的加速度。2.思維導(dǎo)引：(1)圓軌道衛(wèi)星：gmmr2=ma=m2r=mv2r。(2)橢圓軌道衛(wèi)星：某點(diǎn)加速度a=gmr2。(3)地表物體：a=2r?！窘馕觥窟xd。東方紅二號(hào)和地球赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體的

11、角速度相同，東方紅二號(hào)的軌道半徑大于地球赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體的半徑，由a=2r得a2a3，東方紅一號(hào)和東方紅二號(hào)由萬有引力提供向心力：gmmr2=ma，結(jié)合二者離地面的高度可得a1a2。本題容易將地球赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體用萬有引力充當(dāng)向心力：gmmr2=ma，得到a3a1，誤選c。宇宙速度問題【典例6】(2019珠海模擬)北京時(shí)間2019年4月10日21時(shí)，人類首張黑洞照片面世，如圖所示。黑洞是宇宙空間內(nèi)存在的一種密度極大、體積極小的天體，黑洞的引力很大，連光都無法逃逸。已知太陽的質(zhì)量為m，半徑為r，引力常量為g，真空中的光速為c，理論分析表明，黑洞的逃逸速度為其第一宇宙速度的2倍。則下列

12、說法正確的是世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)()a.太陽的第一宇宙速度為gm2rb.太陽表面的重力加速度為gmrc.假如太陽成為黑洞，則其半徑的最大值為gmc2(假設(shè)太陽質(zhì)量不變)d.假如太陽成為黑洞，則其半徑的最大值為2gmc2(假設(shè)太陽質(zhì)量不變)【解析】選d。太陽的質(zhì)量為m，半徑為r，物體繞表面飛行，由萬有引力提供向心力，得gmmr2=mv2r，解得太陽的第一宇宙速度v=gmr，故a錯(cuò)誤；設(shè)質(zhì)量為m的物體在太陽表面，則有mg=gmmr2，可得g=gmr2，故b錯(cuò)誤；若太陽成為黑洞，則其第一宇宙速度v1=gr=gmr，光速對(duì)應(yīng)該黑洞的逃逸速度，則有：c=2v1，聯(lián)立可得r=2gmc2，故c錯(cuò)誤，d正確。近地衛(wèi)

13、星、同步衛(wèi)星問題【典例7】(2019石景山模擬)研究表明，地球自轉(zhuǎn)在逐漸變慢，3億年前地球自轉(zhuǎn)的周期約為22小時(shí)。假設(shè)這種趨勢(shì)會(huì)持續(xù)下去，地球的其他條件都不變，未來人類發(fā)射的地球同步衛(wèi)星與現(xiàn)在的相比()世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)a.距地面的高度變大b.向心加速度變大c.線速度變大d.角速度變大【解析】選a。同步衛(wèi)星的周期等于地球的自轉(zhuǎn)周期，根據(jù)gmmr2=m2t2r可知，衛(wèi)星的周期越大，軌道半徑越大，所以地球自轉(zhuǎn)變慢后，同步衛(wèi)星需要在更高的軌道上運(yùn)行，a對(duì)；又由gmmr2=mv2r=m2r=ma可知：r增大，則v減小、變小、a變小，故b、c、d均錯(cuò)誤。衛(wèi)星變軌問題【典例8】2019年春節(jié)期間，中國科幻電影

14、流浪地球熱播，影片中為了讓地球逃離太陽系，人們?cè)诘厍蛏辖ㄔ焯卮蠊β拾l(fā)動(dòng)機(jī)，使地球完成一系列變軌操作。假設(shè)其逃離過程如圖所示，地球現(xiàn)在繞太陽在圓軌道上運(yùn)行，運(yùn)動(dòng)到a點(diǎn)加速變軌進(jìn)入橢圓軌道，在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)到遠(yuǎn)日點(diǎn)b時(shí)再次加速變軌，從而擺脫太陽的束縛，下列說法正確的是世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)()a.地球從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)的時(shí)間小于半年b.沿橢圓軌道運(yùn)行時(shí)，由a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)的過程中，速度逐漸增大c.沿橢圓軌道運(yùn)行時(shí)，在a點(diǎn)的加速度大于在b點(diǎn)的加速度d.在軌道通過a點(diǎn)的速度大于在軌道通過a點(diǎn)的速度【解析】選c。根據(jù)開普勒第三定律a3t2=k可知，軌道的周期大于1年，則從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)的時(shí)間大于半年，故a錯(cuò)誤；沿橢

15、圓軌道運(yùn)行時(shí)，由a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)的過程中，速度逐漸減小，故b錯(cuò)誤；根據(jù)萬有引力定律可知，gmr2=a，在a點(diǎn)的加速度大于在b點(diǎn)的加速度，故c正確；在a點(diǎn)要點(diǎn)火加速變軌才能到達(dá)軌道，在軌道通過a點(diǎn)的速度小于在軌道通過a點(diǎn)的速度，故d錯(cuò)誤。衛(wèi)星的追及與相遇問題【典例9】(2019泉州模擬)當(dāng)?shù)厍蛭挥谔柡湍拘侵g且三者幾乎排成一條直線時(shí)，稱之為“木星沖日”，2017年4月7日出現(xiàn)了一次“木星沖日”。已知木星與地球幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽近似做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，木星到太陽的距離大約是地球到太陽距離的5倍。則下列說法正確的是()a.下一次的“木星沖日”時(shí)間肯定在2019年b.下一次的“木星沖日”時(shí)間

16、肯定在2018年c.木星運(yùn)行的加速度比地球的大d.木星運(yùn)行的周期比地球的小【解析】選b。地球公轉(zhuǎn)周期t1=1年，由開普勒第三定律有t12r13=t22r23，木星公轉(zhuǎn)的周期t2=125t111.18年。設(shè)經(jīng)時(shí)間t再次出現(xiàn)“木星沖日”，有1t-2t=2，其中1=2t1，2=2t2，解得t1.1年，因此下一次“木星沖日”發(fā)生在2018年，故a錯(cuò)誤，b正確；設(shè)太陽質(zhì)量為m，木星質(zhì)量為m，加速度為a。對(duì)木星，由牛頓第二定律可得gmmr22=ma=m42t22r2，解得a=gmr22，t2=2r23gm，由于木星到太陽的距離大約是地球到太陽距離的5倍，因此木星運(yùn)行的加速度比地球的小，木星運(yùn)行的周期比地球

17、的大，故c、d錯(cuò)誤。與拋體運(yùn)動(dòng)結(jié)合問題【典例10】航天站在某一星球距其表面h高度處，以某一速度沿水平方向拋出一個(gè)小球，經(jīng)過時(shí)間t后小球落到星球表面。已知該星球的半徑為r，引力常量為g，則該星球的質(zhì)量為()a.2hr2gt2b.2hr2gtc.2hrgt2d.gt22hr2【解析】選a。設(shè)該星球表面的重力加速度為g，小球在星球表面做平拋運(yùn)動(dòng)，h=12gt2。設(shè)該星球的質(zhì)量為m，在星球表面有mg=gmmr2。由以上兩式得，該星球的質(zhì)量為m=2hr2gt2，a正確。1.計(jì)算天體質(zhì)量和密度的方法：(1)“自力更生”法。利用天體表面的重力加速度g和天體半徑r。由gmmr2=mg得天體質(zhì)量m=gr2g。天

18、體密度=mv=m43r3=3g4gr。gm=gr2稱為黃金代換公式。(2)“借助外援”法。測(cè)出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期t和半徑r。由gmmr2=m42t2r得天體的質(zhì)量m=42r3gt2。若已知天體的半徑r，則天體的密度=mv=m43r3=3r3gt2r3。注意：(1)區(qū)分兩個(gè)質(zhì)量：利用“借助外援”法估算天體質(zhì)量時(shí)，估算的只是中心天體的質(zhì)量而非環(huán)繞天體的質(zhì)量。(2)區(qū)別兩個(gè)半徑：天體半徑r和衛(wèi)星軌道半徑r，只有在天體表面附近的衛(wèi)星才有rr；計(jì)算天體密度時(shí)，v=43r3中的r只能是中心天體的半徑。2.萬有引力定律應(yīng)用的常見模型：(1)地表模型：萬有引力和重力近似相等gm=gr2。(2)環(huán)繞模型：萬有引力提供向心力gmmr2=mv2r=m2r=m42t2r=ma(3)衛(wèi)星發(fā)射與變軌模型：航天器變軌時(shí)半徑的變化(離心還是向心)，根據(jù)萬有引力和所需向心力的大小關(guān)系判斷；穩(wěn)定在新圓軌道上的運(yùn)行速度變化由v=gmr判斷。速度：vav1v3vb。周期：t1t2t3。機(jī)械能：e1e2e3。【加固訓(xùn)練】(多選)宇宙飛船以周期t繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于地球遮擋陽光，會(huì)經(jīng)歷“日全食”過程，如圖所示。已知地球的半徑為r，地球質(zhì)量為m，引力常量為g，地球自轉(zhuǎn)周期為t0，太陽光可看作平行光，航天員在a點(diǎn)測(cè)出的張角為，則()a.飛船繞地球運(yùn)動(dòng)的線速度為2rtsin 2