矩陣初等變換的定義

1、湖北科技職業(yè)學(xué)院矩陣初等變換的定義定義1 下面三種對(duì)矩陣的變換,統(tǒng)稱為矩陣的初等行變換. (1)互換矩陣中兩行的位置.如果第i j兩行互換,(2)以任意數(shù)k0去乘矩陣的第i行所有元素,(3)把矩陣的第i行的k倍加到第j行上去(其中k 為任意數(shù)),記作rirj.記作k ri.記作kri+rj第三章 初等變換與線性方程組第一節(jié) 初等變換湖北科技職業(yè)學(xué)院設(shè)矩陣121136135 1015a對(duì)a施以行初等變換.解121136135 1015135rr 123rr 121100405 10151 2110 0400 04032r r1 2110 0400 000例1行階梯形矩陣每一行首位非零元素所在列的

2、位置逐行增加,且零行在非零行下面.行階梯形矩陣特點(diǎn)：湖北科技職業(yè)學(xué)院下列矩陣哪些是行階梯形矩陣,哪些不是?1 23 010 05240 00730 1 75 10 0 1040 0 0210 0 0001 0 5 00 1 2 10 0 0 70 0 10 1 01 0 14 5 6 73 0 1 41 0 0 0湖北科技職業(yè)學(xué)院 如果對(duì)例1中的行階梯矩陣進(jìn)一步實(shí)施行變換,可使它更加簡(jiǎn)化.1 2110 0400 000214r 1 2 110 0 100 0 0012rr 1 2 010 0 100 0 00最后這個(gè)矩陣稱為行最簡(jiǎn)形矩陣,其特點(diǎn)是:(1)滿足行階梯矩陣特征,是一個(gè)行階梯矩陣.

3、(2)它每行中首位非零元素是1,而且首位非零元素所在列除1外,其它元素都是0.1 0200 11 00 001?1 0 11 00 1 2010 0 000?1 0 00 1 00 0 1?湖北科技職業(yè)學(xué)院對(duì)于矩陣的初等變換有如下幾點(diǎn)說(shuō)明: (2)初等行變換后的矩陣一般情況下與原矩陣不相等,所以一定要用“”來(lái)連接變換前后的矩陣. (3)三種初等行變換都是可逆的.即經(jīng)變換后的矩陣再施以同類型的變換又會(huì)回到原矩陣. (1)初等行變換可以將任意mn 階矩陣化為行階梯矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣.37410946112rr 10937446121rr 374109461124512r 2445112r 1245

4、如:湖北科技職業(yè)學(xué)院 注 三種變換都是可逆的 且其逆變換是同一類型的初等變換. (4)如果對(duì)行的三種變換換成對(duì)列的,同樣得到對(duì)列的三種變換,分別記為:)1(kri變換rik的逆變換為(或記作rik)變換ri+krj的逆變換為ri+(k)rj(或記作rikrj)變換rirj的逆變換就是其本身這就是矩陣的初等列變換.矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.cicj (對(duì)調(diào)i j兩列);k ci (以任意數(shù)k0去乘矩陣的第i列的所有元素); kci+ cj (第i列的k倍再加到第j列上).湖北科技職業(yè)學(xué)院 如果矩陣a經(jīng)有限次初等變換變成矩陣b,就稱矩陣a與b等價(jià),記作矩陣等價(jià)的定義.ab 如果an是可逆矩陣,那么an經(jīng)過(guò)有限次的初等變換可化成單位矩陣en,所以.nnae 等價(jià)矩陣具有下列性質(zhì)(i)反身性 aa (ii)對(duì)稱性 若ab 則ba (iii)傳遞性 若ab bc 則ac 定義2湖北科技職業(yè)學(xué)院12 321 2312 121323rrrr 1230340772373rr 123034007例2化為行最簡(jiǎn)形矩陣.312 321 2312a將矩陣解123014/300123131