考研高數(shù)講義 高數(shù)第四章不定積分上課資料

1、78B持之以恒，厚積薄發(fā)第四章 不定積分79第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)的定義 原函數(shù):若對于，有或，稱為在區(qū)間內(nèi)的原函數(shù)。原函數(shù)存在定理：連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)即若在上連續(xù)，則必存在，使得當時，。【例1】設是在上的一個原函數(shù)，則在上（ ）（A） 可導 （B）連續(xù) （C）存在原函數(shù) （D）是初等函數(shù)【答案】（C）【例2】（92二）若的導函數(shù)是，則有一個原函數(shù)為（A） . （B）. （C）. （D）.【答案】（B）二、不定積分的定義不定積分：在區(qū)間內(nèi)，的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為在區(qū)間內(nèi)的不定積分，記為：，即計算方法：求函數(shù)的不定積分，只要求得它的一個原函數(shù)，加上任意常數(shù)即可。不定積分的幾

2、何意義：一個原函數(shù)對應于一條積分曲線；不定積分對應于積分曲線簇無窮多條積分曲線，被積函數(shù)對應于切線的斜率同一橫坐標處切線平行?！纠?】若的導函數(shù)是,則的原函數(shù)是【答案】【例4】某曲線過點，且其上任一點切線之斜率為該點橫坐標之2倍，求此曲線方程?！敬鸢浮咳?、不定積分的性質(zhì)（1） 或（2） 或（3）（4） 【例5】（90二）設函數(shù)在上連續(xù)，則等于（A） （B） （C） （D）.【答案】（B）【例6】（89三）在下列等式中，正確的結(jié)果是（ ）（A）. （B）.（C）. （D）.【答案】（C）【例7】（95三）設，則 .【答案】四、基本積分表 （1） （2）（3） （4） ；（5）（6）（7） （8）

3、（9） （10）（11） （12）【例8】 求下列不定積分（1） ； （2）；【答案】(1)；（2）（3） （4）；【答案】（3）； （4）（5） ； （6）【答案】（5）； （6）；（7）；【答案】（7）【例9】求下列不定積分：（1）；（2）【答案】（1）； （2）第二節(jié) 換元積分法 換元積分法是把復合函數(shù)的微分法反過來，利用中間變量的代換，得到復合函數(shù)的積分法。通常分為兩類：第一換元積分法和第二換元積分法一、第一換元積分法（湊微分法） 定理1（第一類換元法）：設具有原函數(shù)，可導，則有第一換元法換元公式： 應用方法：若求，如果的形式，則可利用：。【例1】求下列不定積分（1）； （2）；【答案

4、】（1）；（2）（3）； （4）；【答案】（3）； （4）（5）； （6）；【答案】（5）； （6）（7）； （8）；【答案】（7）； （8）（9）； （10）；【答案】（9）； （10）（11）【答案】（11）二、第二換元積分法定理2（第二換元積分法）設為單調(diào)，可導且的函數(shù)，又有原函數(shù)，則：常用第二類換元法：冪代換，三角換元冪代換：含有，（注：都是一次的）【例1】求下列不定積分（1） ；【答案】（1）三角換元：代換，輔助三角形其它函數(shù)值【例1】求下列不定積分（2） 【答案】（2）（3）； 【答案】（3）（4） 【答案】（4）時，原式 時，原式 補 充 公 式（13）（14）（15）（16）（

5、17）（18）（19）（20）（21）第三節(jié) 分部積分法分部積分公式：或 【例1】求下列不定積分（1）； （2）；【答案】（1） （2）（3）； （4）；【答案】（3） （4）（5）；【答案】（5）【例2】求下列不定積分（1）； 【答案】（1）（2）；【答案】（2）（3）；【答案】（3）第四節(jié) 有理函數(shù)的積分一、簡單有理函數(shù)的積分方法：將有理函數(shù)化為整式加部分分式之和，再進行積分部分分式： 【例1】求下列不定積分（1） ；【答案】（1）（2） ；【答案】（2）（3）；【答案】（3）（4）【答案】（4）二、簡單無理函數(shù)的積分方法：利用冪代換化無理式為有理式進行積分冪代換：1、含有， 令，2、【例

6、2】 求下列不定積分（1）【答案】（1）（2）【答案】（2）（3）（93三）【答案】（3）（4）【答案】（4）三、簡單三角有理式的積分若被積函數(shù)滿足，則令若被積函數(shù)滿足，則令若被積函數(shù)滿足，則令萬能公式，則，【例3】求下列不定積分（1）（94一）【答案】（1）（2）（96二）求【答案】（2） 本章強化練習一、與原函數(shù)有關的命題1、（99三）設是連續(xù)函數(shù)，是的原函數(shù)，則（A）當是奇函數(shù)時，必為偶函數(shù).（B）當是偶函數(shù)時，必為奇函數(shù).（C）當是周期函數(shù)時，必為周期函數(shù).（D）當是單調(diào)增函數(shù)時，必為單調(diào)增函數(shù).答案：（A）2、（94三）已知是的一個原函數(shù)，求.答案：3、（96三）設，則 .答案：二、不定積分的計算1、（89二）求.答案：2、（93一）求.答案：3、 （90二）計算.答案：4、（91二）求.答案：5、（01一）求答案：6、（03二）計算不定積分答案：7、（01二）求答案：8、 （00二）設，計算。答案：9、（99二） .答案：10、（98二） .答案：11、（97二） .答案：12、（9