2022高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第八章平面解析幾何第七節(jié)雙曲線教師文檔教案文北師大版

1、第七節(jié)第七節(jié) 雙曲線雙曲線 授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第 167 頁(yè) 基礎(chǔ)梳理 1雙曲線的定義 (1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) f1， f2的距離之差的絕對(duì)值(|f1f2|2c0)為非零常數(shù) 2a(2a0，c0. 當(dāng) 2a|f1f2|時(shí)，m 點(diǎn)不存在 2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 x2a2y2b21(a0，b0) y2a2x2b21(a0，b0) 續(xù)表 性質(zhì) 范圍 xa 或 xa ya 或 ya 對(duì)稱性 對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸； 對(duì)稱中心：原點(diǎn) 對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸； 對(duì)稱中心：原點(diǎn) 頂點(diǎn) 頂點(diǎn)坐標(biāo)：a1(a，0)，a2(a，0) 頂點(diǎn)坐標(biāo)：a1(0，a)，a2(0，a) 漸近線 ybax yabx 離

2、心率 eca，e(1，) 實(shí)、虛軸 線段 a1a2叫作雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|a1a2|2a；線段 b1b2叫作雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|b1b2|2b；a 叫作雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b 叫作雙曲線的虛半軸長(zhǎng) a，b，c 間的關(guān)系 c2a2b2(ca0，cb0) 1在雙曲線的定義中，|mf1|mf2|2a，表示靠近 f2的一支，|mf2|mf1|2a，表示靠近f1的一支 2雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于其虛半軸長(zhǎng) 3方程x2my2n1(mn0)表示的曲線 (1)當(dāng) m0，n0 時(shí)，表示焦點(diǎn)在 x 軸上的雙曲線 (2)當(dāng) m0，n0 時(shí)，則表示焦點(diǎn)在 y 軸上的雙曲線 4方程的常見(jiàn)設(shè)法 (1)與雙曲線x2

3、a2y2b21 共漸近線的方程可設(shè)為x2a2y2b2(0) (2)若漸近線的方程為 ybax，則可設(shè)雙線曲方程為x2a2y2b2(0) 四基自測(cè) 1(基礎(chǔ)點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程)以橢圓x24y231 的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程為( ) ax2y231 bx23y21 cx2y221 d.x24y231 答案：a 2(基礎(chǔ)點(diǎn)：雙曲線的定義)若雙曲線 e：x29y2161 的左、右焦點(diǎn)分別為 f1、f2，點(diǎn) p 在雙曲線 e 上，且|pf1|3，則|pf2|等于( ) a11 b9 c5 d.3 答案：b 3(基礎(chǔ)點(diǎn)：雙曲線的漸近線)雙曲線 x2y231 的漸近線方程為_(kāi) 答案：y 3x

4、4(基礎(chǔ)點(diǎn)：雙曲線的焦距)雙曲線x23y221 的焦距為_(kāi) 答案：2 5 授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第 167 頁(yè) 考點(diǎn)一 雙曲線的定義及應(yīng)用 挖掘 1 利用定義求雙曲線方程/ 自主練透 例 1 (1)已知兩圓 c1：(x4)2y22，c2：(x4)2y22，動(dòng)圓 m 與兩圓 c1，c2都相切，則動(dòng)圓圓心 m 的軌跡方程是( ) ax0 bx22y2141(x 2) c.x22y2141 d.x22y2141 或 x0 解析 動(dòng)圓 m 與兩圓 c1，c2都相切，有四種情況：動(dòng)圓 m 與兩圓都外切；動(dòng)圓 m 與兩圓都內(nèi)切；動(dòng)圓 m 與圓 c1外切、與圓 c2內(nèi)切；動(dòng)圓 m 與圓 c1內(nèi)切、與圓 c2

5、外切在情況下，顯然，動(dòng)圓圓心 m 的軌跡方程為 x0；在的情況下，設(shè)動(dòng)圓 m 的半徑為 r， 則|mc1|r 2，|mc2|r 2. 故得|mc1|mc2|2 2； 在的情況下，同理得|mc2|mc1|2 2. 由得|mc1|mc2| 2 2.已知|c1c2|8， 根據(jù)雙曲線定義，可知點(diǎn) m 的軌跡是以 c1(4，0)，c2(4，0)為焦點(diǎn)的雙曲線，且 a 2，c4，b2c2a214，其方程為x22y2141.故選 d. 答案 d (2)已知?jiǎng)訄A m 與圓 c1：(x4)2y22 外切，與圓 c2：(x4)2y22 內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心 m的軌跡方程為( ) a.x22y2141(x 2) bx2

6、2y2141(x 2) c.x22y2141(x 2) d.x22y2141(x 2) 解析 設(shè)動(dòng)圓的半徑為 r， 由題意可得|mc1|r 2， |mc2|r 2， 所以|mc1|mc2|2 22a，故由雙曲線的定義可知?jiǎng)狱c(diǎn) m 在以 c1(4，0)，c2(4，0)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為 2a2 2的雙曲線的右支上，即 a 2，c4b216214，故動(dòng)圓圓心 m 的軌跡方程為x22y2141(x 2) 答案 a 挖掘 2 利用定義求點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離/ 互動(dòng)探究 例 2 (1)(2020 陜西師大附中模擬)設(shè)過(guò)雙曲線 x2y29 右焦點(diǎn) f2的直線交雙曲線的左支于點(diǎn) p，q，若|pq|7，則f2pq 的

7、周長(zhǎng)為( ) a19 b26 c43 d.50 解析 如圖所示，由雙曲線的定義 可得|pf2|pf1|2a， |qf2|qf1|2a， 得|pf2|qf2|pq|4a， f2pq 的周長(zhǎng)為|pf2|qf2|pq| 4a|pq|pq|432726. 答案 b (2)(2020 河南鄭州一模)已知雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為 f1，f2，實(shí)軸長(zhǎng)為 6，漸近線方程為 y13x，動(dòng)點(diǎn) m 在雙曲線左支上，點(diǎn) n 為圓 e：x2(y 6)21上一點(diǎn)，則|mn|mf2|的最小值為( ) a8 b9 c10 d.11 解析 由題意知 2a6，則 a3，又由ba13得 b1，

8、所以 ca2b2 10，則 f1( 10，0) 根據(jù)雙曲線的定義知|mf2|2a|mf1|mf1|6， 所以|mn|mf2|mn|mf1|6|en|mn|mf1|5|f1e|5（ 10）2（ 6）259，當(dāng)且僅當(dāng) f1，m，n，e 共線時(shí)取等號(hào)，故選 b. 答案 b (3)已知雙曲線 c：x216y2b21(b0)，f1、f2分別為 c 的左、右焦點(diǎn)，過(guò) f2的直線 l 分別交 c的左、右支于點(diǎn) a、b，且|af1|bf1|，則|ab|( ) a4 b8 c16 d32 解析 由雙曲線定義知|af2|af1|2a，|bf1|bf2|2a，由于|af1|bf1|，所以兩式相加可得|af2|bf2

9、|4a，而|ab|af2|bf2|， |ab|4a，由雙曲線方程知 a4，|ab|16，故選 c. 答案 c 破題技法 應(yīng)用雙曲線定義時(shí)要注意 (1)距離之差的絕對(duì)值，不能漏掉“絕對(duì)值”，否則軌跡是一支 (2)2aa0，cb0) 考點(diǎn)二 雙曲線的方程及性質(zhì) 挖掘 1 利用雙曲線的性質(zhì)求方程/ 自主練透 例 1 (1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，1)，且漸近線與圓 x2(y2)21 相切的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ) a.x2113y2111 bx22y21 c.y2113x2111 d.y211x21131 解析 法一：設(shè)雙曲線的漸近線方程為 ykx，即 kxy0，由漸近線與圓 x2(y2)21相切可得圓心(0，

10、2)到漸近線的距離等于半徑 1，由點(diǎn)到直線的距離公式可得|k02|k211，解得 k 3.因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，1)，所以雙曲線的焦點(diǎn)在 x 軸上，可設(shè)雙曲線的方程為x2a2y2b21(a0，b0)，將(2，1)代入可得4a21b21，由4a21b21，ba 3得a2113，b211，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2113y2111.故選 a. 法二：設(shè)雙曲線的方程為 mx2ny21(mn0)，將(2，1)代入方程可得，4mn1.雙曲線的漸近線方程為 ymnx，圓 x2(y2)21 的圓心為(0，2)，半徑為 1，由漸近線與圓 x2(y2)21 相切，可得21mn1，即mn3，由可得 m311，n

11、111，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2113y2111.選 a. 答案 a (2)若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3， 2)，且漸近線方程是 y13x，則雙曲線的方程是_ 解析 設(shè)雙曲線的方程是 y2x29.因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)(3， 2)， 所以 2991.所以雙曲線的方程為 y2x291. 答案 y2x291 (3)(2020 成都模擬)設(shè)雙曲線與橢圓x227y2361 有共同的焦點(diǎn)， 且與橢圓相交， 一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為( 15，4)，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_ 解析 法一：橢圓x227y2361 的焦點(diǎn)為(0，3)和(0，3)， 雙曲線的焦距為 2c6. 由雙曲線的定義得 （ 15）2（43）2（ 15）21284

12、42a. a2，b2c2a2945， 雙曲線方程為y24x251. 法二： 設(shè)雙曲線的方程為x227y2361(270，b0)的右焦點(diǎn)，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 of 為直徑的圓與圓 x2y2a2交于 p，q 兩點(diǎn)若|pq|of|，則 c 的離心率為( ) a. 2 b 3 c2 d. 5 解析 設(shè)雙曲線 c：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦點(diǎn) f 的坐標(biāo)為(c，0)由圓的對(duì)稱性及條件|pq|of|可知，pq 是以 of 為直徑的圓的直徑，且 pqof.設(shè)垂足為 m，連接 op，如圖，則|op|a，|om|mp|c2.由|om|2|mp|2|op|2得c22c22a2，故ca 2，即 e 2.

13、故選a. 答案 a (2)(2019 高考全國(guó)卷)雙曲線 c：x24y221 的右焦點(diǎn)為 f，點(diǎn) p 在 c 的一條漸近線上，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)若|po|pf|，則pfo 的面積為( ) a.3 24 b3 22 c2 2 d.3 2 解析 雙曲線x24y221 的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為( 6，0)，一條漸近線的方程為 y22x，不妨設(shè)點(diǎn) p在第一象限，由于|po|pf|，則點(diǎn) p 的橫坐標(biāo)為62，縱坐標(biāo)為226232，即pfo 的底邊長(zhǎng)為 6，高為32，所以它的面積為12 6323 24.故選 a. 答案 a 破題技法 求離心率的方法 方法 解法 題型 直接法 直接求 a，b，c，利用 e ca或 e 1

14、（ba）2 適合易求 a、b、c 構(gòu)造法 構(gòu)造 a、b、c 間的等式或不等式的齊次關(guān)系 可能是 a、c 或 a、b 的關(guān)系 挖掘 3 共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線/ 自主練透 例 3 (1)已知橢圓 c1：x2m2y21(m1)與雙曲線 c2：x2n2y21(n0)的焦點(diǎn)重合，e1，e2，分別為 c1，c2的離心率，則( ) amn 且 e1e21 bmn 且 e1e21 cmn 且 e1e21 d.mn 且 e1e21 解析 設(shè) p 為橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)， f1，f2為它們的左、右公共焦點(diǎn)， 則|pf1|pf2|2m，|pf1|pf2|2n，mn，由結(jié)論一得1e211e222， 法一：

15、(利用均值不等式) e1e2，21e211e222e1e2，e1e21，故選 a. 法二：(利用三角換元) 由1e211e222，0e11，e21， 可設(shè)1e1 2cos ，1e2 2sin ，04， 則 e1e21sin 21. 法三：(利用消元法) 1e211e222，1e2221e21， 1e21e221e412e211e21121， 由 0e11，e21 且1e211e222，得 11e212， 令 t1e21，f(t)(t1)21， 則1e21e22f(t)，t(1，2)， f(t)在(1，2)上單調(diào)遞減，f(1)1，f(2)0， 故 01e21e221，即 e1e21. 答案 a (2)已知 f1，f2為橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，p 為它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且f1pf23，則該橢圓和雙曲線的離心率之積的最小值是( ) a.33 b32 c1 d. 3