淺析行列式的計算技巧畢業(yè)論文

1、淺析行列式的計算技巧 摘要：本文通過引用例題來對一些特殊行列式的求解技巧進(jìn)行歸納分析，主要演示了化三角形法，降階法，遞推法，數(shù)學(xué)歸納法，輔助行列式法，拉普拉斯定理的應(yīng)用，范德蒙得行列式的應(yīng)用以及方陣特征值和行列式的關(guān)系的應(yīng)用等方法。引言：在平常的學(xué)習(xí)及其考試中經(jīng)常能遇見有關(guān)特殊行列式計算的題目，如果不能掌握正確的方法和思維方式，此類型的題將會是考生的一個障礙，本人希望通過對若干經(jīng)典考題的解析，使得學(xué)生對行列式求解類型的題目有章可循。下面是對一些特殊行列式求解技巧的淺析，前兩種方法是相對基本的方法，應(yīng)用的范圍較廣，后面幾種方法針對性較強(qiáng)，要對行列式的特征進(jìn)行準(zhǔn)確的判斷。方法一化三角形法化三角形法

2、是將原行列式化為上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺接嬎愕囊环N方法。這是計算行列式的基本方法重要方法之一。因為利用行列式的定義容易求得上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺降男再|(zhì)將行列式化為三角形行列式計算。原則上，每個行列式都可利用行列式的性質(zhì)化為三角形行列式。但對于階數(shù)高的行列式，在一般情況下，計算往往較繁。因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質(zhì)將其作為某種保值變形，再將其化為三角形行列式。例題：計算下列行列式的值：分析顯然若直接化為三角形行列式，計算很繁，所以我們要充分利用行列式的性質(zhì)。注意到從第1列開始；每一列與它一列中有n-1個數(shù)是差1的，根據(jù)行列式的性質(zhì)，先從第n-1列開始乘以1加到

3、第n列，第n-2列乘以1加到第n-1列，一直到第一列乘以1加到第2列。然后把第1行乘以1加到各行去，再將其化為三角形行列式，計算就簡單多了。解：問題推廣例1中，顯然是1,2，n-1,n這n個數(shù)在循環(huán)，那么如果是a0,a1,an-2,an-1這n個無規(guī)律的數(shù)在循環(huán)，行列式該怎么計算呢？把這種行列式稱為“循環(huán)行列式”。2從而推廣到一般，求下列行列式：解：令 首先注意，若u為n次單位根（即un=1），則有：為范德蒙行列式又例1中，循環(huán)的方向與該推廣在方向上相反所以例1與相對應(yīng)方法二降階法設(shè)為階行列式，根據(jù)行列式的按行（列）展開定理有或其中為中的元素的代數(shù)余子式按行（列）展開法可以將一個n階行列式化為

4、n個n-1階行列式計算。若繼續(xù)使用按行（列）展開法，可以將n階行列式降階直至化為許多個2階行列式計算，這是計算行列式的又一基本方法。但一般情況下，按行（列）展開并不能減少計算量，僅當(dāng)行列式中某一行（列）含有較多零元素時，它才能發(fā)揮真正的作用。因此，應(yīng)用按行（列）展開法時，應(yīng)利用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為有較多的零元素，再按該行（列）展開。例題：計算20階行列式分析這個行列式中沒有一個零元素，若直接應(yīng)用按行（列）展開法逐次降階直至化許許多多個2階行列式計算，需進(jìn)行20！*201次加減法和乘法運算，這人根本是無法完成的，更何況是n階。但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素，則很快就可算出結(jié)果

5、。注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對應(yīng)元素僅差1，因此，可按下述方法計算：解：以上就是計算行列式最基本的兩種方法，接下來介紹的一些方法，不管是哪種，都要與行列式的性質(zhì)和基本方法結(jié)合起來。下面是一常用的方法：方法三 遞推法應(yīng)用行列式的性質(zhì)，把一個n階行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式（比如，n-1階或n-1階與n-2階等）的線性關(guān)系式，這種關(guān)系式稱為遞推關(guān)系式。根據(jù)遞推關(guān)系式及某個低階初始行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給n階行列式的值，這種計算行列式的方法稱為遞推法。需要注意的是，用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結(jié)構(gòu)如果沒有的話，即很難找出遞推關(guān)系式，從而不能使

6、用此方法。例題：（雖然這是一道證明題，但我們可以直接求出其值，從而證之。）分析此行列式的特點是：除主對角線及其上下兩條對角線的元素外，其余的元素都為零，這種行列式稱“三對角”行列式1。從行列式的左上方往右下方看，即知dn-1與dn具有相同的結(jié)構(gòu)。因此可考慮利用遞推關(guān)系式計算。證明：dn按第1列展開，再將展開后的第二項中n-1階行列式按第一行展開有：這是由dn-1 和dn-2表示dn的遞推關(guān)系式。若由上面的遞推關(guān)系式從n階逐階往低階遞推，計算較繁，注意到上面的遞推關(guān)系式是由n-1階和n-2階行列式表示n階行列式，因此，可考慮將其變形為：或現(xiàn)可反復(fù)用低階代替高階，有：同樣有：因此當(dāng)時由（1）（2）

7、式可解得： 證畢。方法四 數(shù)學(xué)歸納法一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學(xué)歸納法給出猜想的證明。因此，數(shù)學(xué)歸納法一般是用來證明行列式等式。因為給定一個行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值，然后再去證明。（數(shù)學(xué)歸納法的步驟大家都比較熟悉，這里就不再說了）例題：.證明：證：當(dāng)時，有：結(jié)論顯然成立?，F(xiàn)假定結(jié)論對小于等于時成立。即有：將按第1列展開，得： 故當(dāng)對時，等式也成立。 得證。方法五.輔助行列式法輔助行列式法應(yīng)用條件：行列式各行（列）和相等，且除對角線外其余元素都相同。解題程序：1）在行列式d的各元素中加上一個相同的元素x，使新行列式除主對角線外，其余元素均為0；2）計

8、算的主對角線各元素的代數(shù)余子式;3)例題：.求下列n階行列式的值。解：在的各元素上加上后，則有：又，其余的為零。點評若知道輔助行列式法的解題程序，用此法就可輕松地解出此題。但根據(jù)該行列式的特點，我們也可以用加邊法，把大部分元素化為零，再化為三角形行列式也可輕易解出該行列式。以下幾種方法是利用到公式，所以有的方法在這只簡單地給出其應(yīng)用，只要記住公式，會應(yīng)用就行。方法六 拉普拉斯定理的應(yīng)用拉普拉斯定理的四種特殊情形：1） 2）3） 4）例題： 計算n階行列式：解：方法七 利用范德蒙行列式范德蒙行列式：例題： 計算n階行列式9解：顯然該題與范德蒙行列式很相似，但還是有所不同，所以先利用行列式的性質(zhì)把

9、它化為范德蒙行列式的類型。先將的第n行依次與第n-1行，n-2行，,2行，1行對換，再將得到到的新的行列式的第n行與第n-1行，n-2行，,2行對換，繼續(xù)仿此作法，直到最后將第n行與第n-1行對換，這樣，共經(jīng)過（n-1）+（n-2）+2+1=n（n-1）/2次行對換后，得到上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的結(jié)果得： 方法八 方陣特征值與行列式關(guān)系的應(yīng)用。例題： 求下列行列式的值：解：顯然的個特征值為。 的個特征值為。故的特征值為 由矩陣特征值與對應(yīng)行列式的關(guān)系知：需要注意的是，的特征值也可由特征值的定義得到。上述通過舉例分析來闡述各種特殊行列式計算的一些技巧和思維方式，可以

10、看出數(shù)學(xué)各個知識點之間是具有很強(qiáng)的聯(lián)系性的，我們往往要在注重基礎(chǔ)的前提下發(fā)散思維來尋找問題的突破口。我們同樣可以看出，一些技巧的針對性是非常強(qiáng)的，我們需要在日常的學(xué)習(xí)中不斷的積累總結(jié)，才能以不變應(yīng)萬變，在數(shù)學(xué)的征途中走得更遠(yuǎn)。參考文獻(xiàn)：1、 李師正等 高等代數(shù)復(fù)習(xí)解題方法與技巧 高等教育出版社 20052、 張賢科 許甫華 高等代數(shù)學(xué) 清華大學(xué)出版社 20003、 劉學(xué)鵬等 高等代數(shù)復(fù)習(xí)與研究 南海出版公司 19954、 張禾瑞 郝鈵新 高等代數(shù) 高等教育出版社 19935、 許甫華 張賢科 高等代數(shù)解題方法 清華大學(xué)出版社 20016、 北大數(shù)學(xué)系 高等代數(shù) 高等教育出版社 19887、 李

11、永樂 研究生入學(xué)考試線性代數(shù) 北京大學(xué)出版社 20008、 張敬和等 數(shù)學(xué)二考研題典叢書 東北大學(xué)出版社 2004.39、 張永曙 考研數(shù)學(xué)應(yīng)試強(qiáng)化輔導(dǎo)與解題指南 西北工業(yè)大學(xué)出版社 1999.510、 各高校歷年研究生入學(xué)考試試卷 序號名稱規(guī)格型號單位數(shù)量備注一制冷系統(tǒng)1壓縮機(jī)組4av10臺42冷凝器ln-70臺13貯氨器za-1.5臺14桶泵組合zwb-1.5臺15氨液分離器af-65臺16集油器jy-219臺17空氣分離器kf-32臺18緊急泄氨器jx-108臺19冷風(fēng)機(jī)kll-250臺810冷風(fēng)機(jī)kld-150臺411冷風(fēng)機(jī)kld-100臺212閥門套8613電磁閥套614管道及支架噸18.615管道及設(shè)備保溫m32216管道保溫包扎鍍鋅板噸1.617附件套1二氣調(diào)系統(tǒng)1中空纖維制氮機(jī)ca-30b臺12二氧化碳洗滌器ga-15臺13氣動電磁閥d100臺144電腦控制系統(tǒng)cnjk-406臺15信號