2021屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章不等式第二節(jié)二元一次不等式組及簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題學(xué)案理含解析

1、第二節(jié)第二節(jié)二元一次不等式二元一次不等式( (組組) )及簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題及簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題最新考綱考情分析核心素養(yǎng)1.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組.2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.3.會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，并能加以解決.主要考查利用線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)求目標(biāo)函數(shù)的最值、取值范圍、參數(shù)的取值(范圍)以及實(shí)際應(yīng)用， 目標(biāo)函數(shù)大多是線(xiàn)性的，偶爾也會(huì)出現(xiàn)斜率型和距離型的目標(biāo)函數(shù)，主要以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)分值為 5 分.1.直觀(guān)想象2.數(shù)學(xué)運(yùn)算知識(shí)梳理1二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式(組)表示區(qū)域axbyc0直線(xiàn) axb

2、yc0 某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包括邊界直線(xiàn)axbyc01包括邊界直線(xiàn)不等式組各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的2公共部分2.二元一次不等式(組)的解集滿(mǎn)足二元一次不等式(組)的x和y的取值構(gòu)成的3有序數(shù)對(duì)(x， y)， 叫做二元一次不等式(組)的解，所有這樣的4有序數(shù)對(duì)(x，y)構(gòu)成的集合稱(chēng)為二元一次不等式(組)的解集3線(xiàn)性規(guī)劃的有關(guān)概念名稱(chēng)意義約束條件由變量 x，y 組成的5不等式(組)線(xiàn)性約束條件由 x，y 的一次不等式(或方程)組成的6不等式(組)目標(biāo)函數(shù)關(guān)于變量 x，y 的函數(shù)7解析式，如 zx2y線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于變量 x，y 的8一次解析式可行解滿(mǎn)足線(xiàn)性約束條件的解(x，y)可行域所

3、有9可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得10最大值或最小值的可行解線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題在線(xiàn)性約束條件下求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的11最大值或12最小值問(wèn)題常用結(jié)論1判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域的常用結(jié)論把 axbyc0 或 axbyckxb 或 ykxb，則區(qū)域?yàn)橹本€(xiàn) axbyc0 上方(2)若 y0，則直線(xiàn)過(guò)可行域且在 y 軸上截距最大時(shí)，z 值最大，在 y 軸上截距最小時(shí)，z 值最小；若 b0 表示的平面區(qū)域一定在直線(xiàn) axbyc0 的上方()(2)任何一個(gè)二元一次不等式組都表示平面上的一個(gè)區(qū)域()(3)線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能是不唯一的()(4)線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)一定在可行域的頂點(diǎn)或邊界上()(

4、5)在目標(biāo)函數(shù) zaxby(b0)中，z 的幾何意義是直線(xiàn) axbyz0 在 y 軸上的截距()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、走進(jìn)教材2(必修 5p86t3改編)不等式組x3y60，xy20 時(shí)，目標(biāo)函數(shù)zyax要在(1， 3)處取得最大值時(shí)有唯一最優(yōu)解應(yīng)滿(mǎn)足a1，故選 a考點(diǎn)二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域|題組突破|1不等式組2xy60，xy30，y2表示的平面區(qū)域的面積為()a4b1c5d無(wú)窮大解析：選 b作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，abc 的面積即所求求出點(diǎn) a，b，c 的坐標(biāo)分別為 a(1，2)，b(2，2)，c(3，0)，則abc 的面積為 s12(2

5、1)21.2(2019 屆漳州調(diào)研)若不等式組xy0，xy20，2xy20所表示的平面區(qū)域被直線(xiàn) l：mxym10 分為面積相等的兩部分，則 m()a12b2c12d2解析：選 a由題意可畫(huà)出可行域?yàn)閍bc 及其內(nèi)部所表示的平面區(qū)域，如圖所示聯(lián)立可行域邊界所在直線(xiàn)方程，可得 a(1，1)，b23，23 ，c(4，6)因?yàn)橹本€(xiàn) l：ym(x1)1 過(guò)定點(diǎn) a(1，1)，直線(xiàn) l 將abc 分為面積相等的兩部分，所以直線(xiàn) l 過(guò)邊 bc的中點(diǎn) d，易得 d73，83 ，將 d73，83 代入 mxym10，解得 m12，故選 a3不等式組x0，y0，2xy6所表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為()a2b

6、3c4d5解析：選 c由不等式 2xy6 得 y0，y0，當(dāng) x1 時(shí)，0y4，則 y1，2，3，此時(shí)整點(diǎn)有(1，1)，(1，2)，(1，3)；當(dāng) x2 時(shí)，0y2，則 y1，此時(shí)整點(diǎn)有(2，1)；當(dāng) x3 時(shí)，y 無(wú)解故平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為 4.名師點(diǎn)津求平面區(qū)域面積的方法(1)首先畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，若不能直接畫(huà)出，應(yīng)利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問(wèn)題，從而再作出平面區(qū)域(2)對(duì)平面區(qū)域進(jìn)行分析，若為三角形應(yīng)確定底和高若為規(guī)則的四邊形(如平行四邊形或梯形)，可利用面積公式直接求解若為不規(guī)則四邊形，可分割成幾個(gè)規(guī)則圖形分別求解，再求和即可考點(diǎn)簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題多維探究線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題

7、是高考的重點(diǎn)，而線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題具有代數(shù)和幾何的雙重形式，多與函數(shù)、平面向量、數(shù)列、三角函數(shù)、概率、解析幾何等問(wèn)題交叉滲透，自然地融合在一起，使數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答變得更加新穎別致常見(jiàn)的命題角度有：(1)求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值；(2)求非線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值；(3)求目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)值或范圍；(4)線(xiàn)性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用命題角度一求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值【例 1】(2019 年北京卷)若 x，y 滿(mǎn)足|x|1y，且 y1，則 3xy 的最大值為()a7b1c5d7解析令 z3xy，畫(huà)出約束條件|x|1y，y1，即x1y，x0，y1或x1y，x0)的最小值為 13，則實(shí)數(shù) k()a7b5 或 13c5 或294d13

8、解析作出不等式組xy20，4xy40，xy3表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，易知a12，52 ，b75，85 ，由題意可知直線(xiàn) zxky(k0)過(guò)點(diǎn) a12，52 或 b75，85 時(shí)，z 取得最小值，所以1252k13 或7585k13，解得 k5 或 k294.答案c名師點(diǎn)津求解的關(guān)鍵在于抓住目標(biāo)函數(shù)的斜率結(jié)合圖形分析最值點(diǎn)的位置命題角度四線(xiàn)性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用【例 4】某共享汽車(chē)品牌在某市投放 1 500 輛寶馬轎車(chē)，為人們的出行提供了一種新的交通方式該市的市民小王喜歡自駕游，他在該市通過(guò)網(wǎng)絡(luò)組織了一場(chǎng)“周日租車(chē)游”活動(dòng)，招募了 30 名自駕游愛(ài)好者租車(chē)旅游，他們計(jì)劃租用 a，b 兩種型

9、號(hào)的寶馬轎車(chē)，已知 a，b兩種型號(hào)的寶馬轎車(chē)每輛的載客量都是 5 人，每天的租金分別為 600 元/輛和 1 000 元/輛，根據(jù)要求租車(chē)總數(shù)不超過(guò) 12 輛且不少于 6 輛，且 a，b 兩種型號(hào)的轎車(chē)至少各租用 1 輛，則租車(chē)所需的租金最少為_(kāi)元解析設(shè)分別租用 a，b 兩種型號(hào)的轎車(chē) x 輛、y 輛，所需的總租金為 z 元，則 z600 x1 000y，其中 x，y 滿(mǎn)足不等式組5x5y30，6xy12，x1，y1，x，yn*，作出不等式組xy6，xy12，x1，y1所表示的可行域如圖中陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)可化為 y35xz1 000，由圖可知，當(dāng)直線(xiàn) y35xz1 000過(guò)點(diǎn) c 時(shí)，

10、目標(biāo)函數(shù) z 取得最小值 由xy6，y1，解得 c(5， 1)， 所以總租金 z 的最小值為 60051 00014 000(元)答案4 000名師點(diǎn)津解答線(xiàn)性規(guī)劃實(shí)際問(wèn)題的 3 步驟|跟蹤訓(xùn)練|1(2019 年天津卷)設(shè)變量 x，y 滿(mǎn)足約束條件xy20，xy20，x1，y1，則目標(biāo)函數(shù) z4xy 的最大值為()a2b3c5d6解析：選 c畫(huà)出可行域如圖中陰影部分所示，作出直線(xiàn)4xy0，并平移，可知當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn) a 時(shí)，z 取得最大值由x1，xy20可得x1，y1，所以點(diǎn) a 的坐標(biāo)為(1，1)，故 zmax4(1)15.2已知實(shí)數(shù) x，y 滿(mǎn)足約束條件x1，y2x3，yx3，若 zmxy(m

11、0)在可行域內(nèi)取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)，則 m 的值為()a1b3c2d4解析：選 a作出可行域如圖中陰影部分所示，因?yàn)?zmxy(m0)在可行域內(nèi)取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)， 所以由圖可知 m1.故選 a3(2019 屆黃岡質(zhì)檢)設(shè)實(shí)數(shù) x，y 滿(mǎn)足y2x2，xy20，x2，則y1x3的取值范圍是()a15，1b15，1c1，15d1，15解析：選 b由約束條件y2x2，xy20，x2作出可行域如圖中陰影部分所示易知 a(2，0)，聯(lián)立y2x2，x2，解得x2，y6，故 b(2，6).y1x3的幾何意義為可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn) p(3，1)連線(xiàn)的斜率因?yàn)?kpa103215，kpb61231，數(shù)

12、形結(jié)合知，y1x3的取值范圍是15，1.考點(diǎn)線(xiàn)性規(guī)劃的創(chuàng)新交匯問(wèn)題【例】(2020 屆惠州調(diào)研)關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn)受其啟發(fā)，我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來(lái)估計(jì)的值：先請(qǐng)120 名同學(xué)每人隨機(jī)寫(xiě)下一個(gè) x，y 都小于 1 的正實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)，再統(tǒng)計(jì)其中 x，y 能與 1 構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)(x，y)的個(gè)數(shù) m，最后根據(jù)統(tǒng)計(jì)個(gè)數(shù) m 估計(jì)的值如果統(tǒng)計(jì)結(jié)果是 m34，那么可以估計(jì)的值為()a237b4715c1715d5317解析由題意，120 對(duì)正實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)中的 x，y 滿(mǎn)足0 x1，0y1，該不等式組表示的平面區(qū)域的面積為

13、1.若正實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)中的 x，y 能與 1 構(gòu)成鈍角三角形的三邊，則 x，y 需滿(mǎn)足xy1，x2y210，0 x1，0y1，該不等式組表示的平面區(qū)域的面積為412，則412134120，494120，4715，故選 b答案b名師點(diǎn)津線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題常與直線(xiàn)與圓、幾何概型、平面向量、命題判斷等知識(shí)交匯考查，綜合性強(qiáng)，考查知識(shí)內(nèi)容多，求解時(shí)一是要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，二是要注意邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的培養(yǎng)|跟蹤訓(xùn)練|記不等式組4x3y10，x3，y4表示的平面區(qū)域?yàn)?d，過(guò)區(qū)域 d 中任意一點(diǎn) p 作圓 x2y21的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為 a，b，則當(dāng)apb 的值最大時(shí)，cosapb()a32b23c13d12解析：選 d作出不等式組4x3y1